Elección social fraccionaria

La elección social fraccionaria , estocástica o ponderada es una rama de la teoría de la elección social en la que la decisión colectiva no es una única alternativa, sino una suma ponderada de dos o más alternativas. ^[1] Por ejemplo, si la sociedad tiene que elegir entre tres candidatos (A, B o C), entonces en la elección social estándar se elige exactamente uno de estos candidatos. Por el contrario, en la elección social fraccionaria es posible elegir cualquier combinación lineal de estos, por ejemplo, "2/3 de A y 1/3 de B". ^[2]

Una interpretación habitual de la suma ponderada es la de una lotería en la que el candidato A es elegido con una probabilidad de 2/3 y el candidato B con una probabilidad de 1/3. La regla también puede interpretarse como una receta para compartir, por ejemplo:

Tiempo compartido: el candidato A es elegido (determinísticamente) por 2/3 del tiempo mientras que el candidato B es elegido por 1/3 del tiempo.
Distribución del presupuesto: el candidato A recibe 2/3 del presupuesto mientras que el candidato B recibe 1/3 del presupuesto.
La división justa con diferentes derechos también se puede utilizar para dividir un recurso heterogéneo entre los candidatos A y B, siendo sus derechos 2/3 y 1/3.

Definiciones formales

Existe un conjunto finito de alternativas (también llamadas: candidatos ) y un conjunto finito de votantes (también llamados: agentes ). Los votantes pueden tener diferentes preferencias sobre las alternativas. Las preferencias de los agentes pueden expresarse de varias maneras:

Preferencias dicotómicas : cada votante tiene un conjunto de "candidatos aprobados" que son todos equivalentes a sus ojos. Este modelo se explica en la página sobre votación por aprobación fraccionaria .

Relaciones de preferencia : cada votante tiene una clasificación de candidatos. La relación puede ser estricta o débil . Estricta significa que no hay "empates": el agente siempre prefiere a un candidato u otro. Débil significa que puede haber empates: el agente puede ser indiferente entre dos o más candidatos.
Distribuciones ideales: cada votante tiene en mente una distribución ideal de probabilidad/tiempo/presupuesto entre los candidatos. Este modelo se explica en la página sobre Agregación de propuestas presupuestarias .

Una función de elección social aleatoria (RSCF) toma como entrada el conjunto de relaciones de preferencia de los votantes. Devuelve como salida una " mezcla ": un vector p de números reales en [0,1], un número para cada candidato, de modo que la suma de los números sea 1. Esta mezcla puede interpretarse como una variable aleatoria (una lotería), cuyo valor es igual a cada candidato x con probabilidad p ( x ). También puede interpretarse como una asignación determinista de una proporción fraccionaria a cada candidato.

Dado que los votantes expresan preferencias sobre candidatos individuales únicamente, para evaluar los RSCF es necesario "elevar" estas preferencias a preferencias sobre combinaciones. Este proceso de elevación se suele denominar extensión de lotería y da como resultado uno de varios ordenamientos estocásticos .

Propiedades

Propiedades básicas

Dos propiedades básicas deseadas de las RSCF son el anonimato (los nombres de los votantes no importan) y la neutralidad (los nombres de los resultados no importan). El anonimato y la neutralidad no siempre pueden satisfacerse mediante una función de elección social determinista. Por ejemplo, si hay dos votantes y dos alternativas A y B, y cada votante quiere una alternativa diferente, entonces la única combinación anónima y neutral es 1/2*A+1/2*B. Por lo tanto, el uso de combinaciones es esencial para garantizar las propiedades básicas de equidad. ^[3]^{: 1}

Propiedades de consistencia

Las siguientes propiedades implican cambios en el conjunto de votantes o en el conjunto de alternativas.

Consistencia de Condorcet : si existe un ganador de Condorcet, entonces la función devuelve una mezcla degenerada en la que este ganador obtiene 1 y las otras alternativas obtienen 0 (es decir, el ganador de Condorcet se elige con probabilidad 1).

Consistencia de agenda : sea p una mezcla y sean A,B conjuntos de alternativas que contienen el apoyo de p . Entonces, la función devuelve p para A unión B, si y solo si devuelve p para A y para B. Esta propiedad fue llamada expansión/contracción por Sen. ^[4]^[5]^[6]

Consistencia de la población : si la función devuelve una mezcla p para dos conjuntos disjuntos de votantes, entonces devuelve el mismo p para su unión. ^[7]^[8]^[9]

Independencia de los clones (también llamada consistencia de clonación ): si una alternativa es "clonada", de tal manera que todos los votantes clasifican todos sus clones uno cerca del otro, entonces el peso (=probabilidad) de todas las otras alternativas en la mezcla devuelta no se ve afectado.^[9]

Una variante más fuerte es la consistencia de la composición : también requiere que, en cada componente, el peso de cada alternativa sea proporcional a su peso cuando el componente se considera aisladamente.

Estas propiedades garantizan que un planificador central no pueda realizar manipulaciones simples como dividir alternativas, clonar alternativas o dividir la población.

Tenga en cuenta que las propiedades de consistencia dependen únicamente de la clasificación de las alternativas individuales: no requieren la clasificación de las mezclas.

Propiedades de comparación de mezclas

Las siguientes propiedades implican comparaciones de mezclas. Para definirlas con exactitud, se necesita una suposición sobre cómo los votantes clasifican las mezclas. Esto requiere un orden estocástico en las loterías. Existen varios de estos ordenamientos; los más comunes en la teoría de la elección social, en orden de fuerza, son DD (dominación determinista), BD (dominación bilineal), SD (dominación estocástica) y PC (dominación por comparación por pares). Consulte el orden estocástico para obtener definiciones y ejemplos.

Eficiencia : ninguna combinación es mejor para al menos un votante y al menos igual de buena para todos los votantes. Se puede definir la eficiencia DD, la eficiencia BD, la eficiencia SD, la eficiencia PC y la eficiencia ex post (el resultado final siempre es eficiente).

A prueba de estrategias : informar preferencias falsas no conduce a una combinación que sea mejor para el votante. Una vez más, se puede definir la a prueba de estrategias DD, la a prueba de estrategias BD, la a prueba de estrategias SD y la a prueba de estrategias PC.

Participación : abstenerse de participar no conduce a una combinación que sea mejor para el votante. Una vez más, se puede definir la participación DD, la participación BD, la participación SD y la participación PC.

Funciones comunes

Algunas reglas comúnmente utilizadas para la elección social aleatoria son: ^[3]

Dictadura aleatoria : se selecciona un votante al azar y este determina el resultado. Si las preferencias son estrictas, se obtiene una mezcla en la que el peso de cada alternativa es exactamente proporcional al número de votantes que la clasifican en primer lugar. Si las preferencias son débiles y el votante elegido es indiferente entre dos o más opciones mejores, se selecciona un segundo votante al azar para que elija entre ellas, y así sucesivamente. Esta extensión se denomina dictadura aleatoria serial . Satisface los requisitos de eficiencia ex post, fuerte resistencia a la estrategia de SD, participación muy fuerte en SD, consistencia de agenda y consistencia de clonación. No cumple con los requisitos de consistencia de Condorcet, consistencia de composición y (con preferencias débiles) consistencia de población.

Max Borda : devuelve una combinación en la que todas las alternativas con el mayor recuento de Borda tienen un peso igual y todas las demás alternativas tienen un peso de 0. En otras palabras, elige aleatoriamente uno de los ganadores de Borda (se pueden utilizar otras funciones de puntuación en lugar de Borda). Satisface la eficiencia de SD, la participación de SD fuerte y la consistencia de la población, pero no satisface ninguna forma de prueba de estrategia ni ninguna otra consistencia.

Borda proporcional : devuelve una combinación en la que el peso de cada alternativa es proporcional a su recuento de Borda . En otras palabras, realiza una aleatorización entre todas las alternativas, donde la probabilidad de cada alternativa es proporcional a su puntaje (se pueden usar otras funciones de puntaje en lugar de Borda). Satisface una sólida resistencia a la estrategia de SD, una sólida participación de SD y una consistencia de población, pero no cualquier forma de eficiencia ni ninguna otra consistencia.

Loterías máximas : una regla basada en comparaciones de alternativas por pares. Para dos alternativas cualesquiera x,y , calculamos cuántos votantes prefieren x a y, y cuántos votantes prefieren y a x , y sea M _xy la diferencia. La matriz resultante M se llama matriz de margen mayoritario . Una mezcla p se llama máxima si y solo si. Cuando se interpreta como una lotería, significa que p es débilmente preferida a cualquier otra lotería por una mayoría esperada de votantes (el número esperado de agentes que prefieren la alternativa devuelta por p a la devuelta por cualquier otra lotería q , es al menos tan grande como el número esperado de agentes que prefieren la alternativa devuelta por q a la devuelta por p ). Una lotería máxima es el análogo continuo de un ganador de Condorcet . Sin embargo, aunque un ganador de Condorcet podría no existir, una lotería máxima siempre existe. Esto se deduce de la aplicación del teorema Minimax a un juego de suma cero simétrico apropiado para dos jugadores. Satisface la eficiencia de PC, la resistencia a la estrategia DD, la participación de PC y todas las propiedades de consistencia, en particular, la consistencia Condorcet. $p^{T}M\geq 0$

Véase también

Votación de aprobación fraccionada
Incentivos de participación en la elección social fraccionaria. ^[10]

Referencias

^ Aziz, Haris (28 de marzo de 2015). "La paradoja de Condorcet y el teorema del votante mediano para la elección social aleatoria". Boletín de Economía . 35 (1): 745–749. ISSN 1545-2921.
^ Pattanaik, Prasanta K.; Peleg, Bezalel (1986). "Distribución del poder bajo reglas de elección social estocástica". Econometrica . 54 (4): 909–921. doi :10.2307/1912843. ISSN 0012-9682. JSTOR 1912843.
^ por Felix Brandt (26 de octubre de 2017). "Tirando los dados: resultados recientes en la elección social probabilística". En Endriss, Ulle (ed.). Tendencias en la elección social computacional . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.
^ Sen, Amartya K. (1971). "Funciones de elección y preferencia revelada". The Review of Economic Studies . 38 (3): 307–317. doi :10.2307/2296384. ISSN 0034-6527. JSTOR 2296384.
^ Sen, Amartya (1977). "Teoría de la elección social: un nuevo examen". Econometrica . 45 (1): 53–89. doi :10.2307/1913287. ISSN 0012-9682. JSTOR 1913287.
^ Sen, Amartya (1 de enero de 1986). "Capítulo 22 Teoría de la elección social". Manual de economía matemática . 3 : 1073–1181. doi :10.1016/S1573-4382(86)03004-7. ISBN 9780444861283. ISSN 1573-4382.
^ Smith, John H. (1973). "Agregación de preferencias con electorado variable". Econometrica . 41 (6): 1027–1041. doi :10.2307/1914033. ISSN 0012-9682. JSTOR 1914033.
^ Young, HP (1974-09-01). "Una axiomatización de la regla de Borda". Journal of Economic Theory . 9 (1): 43–52. doi :10.1016/0022-0531(74)90073-8. ISSN 0022-0531.
^ ab Fine, B.; Fine, K. (1974). "Elección social y ranking individual I". The Review of Economic Studies . 41 (3): 303–322. doi :10.2307/2296751. ISSN 0034-6527. JSTOR 2296751.
^ Aziz, Haris (8 de noviembre de 2016). "Incentivos de participación en la elección social aleatoria". arXiv : 1602.02174 [cs.GT].

[1] Aziz, Haris (28 de marzo de 2015). "La paradoja de Condorcet y el teorema del votante mediano para la elección social aleatoria". Boletín de Economía . 35 (1): 745–749. ISSN 1545-2921.

[2] Pattanaik, Prasanta K.; Peleg, Bezalel (1986). "Distribución del poder bajo reglas de elección social estocástica". Econometrica . 54 (4): 909–921. doi :10.2307/1912843. ISSN 0012-9682. JSTOR 1912843.

[:0-3] r Felix Brandt (26 de octubre de 2017). "Tirando los dados: resultados recientes en la elección social probabilística". En Endriss, Ulle (ed.). Tendencias en la elección social computacional . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.

[4] Sen, Amartya K. (1971). "Funciones de elección y preferencia revelada". The Review of Economic Studies . 38 (3): 307–317. doi :10.2307/2296384. ISSN 0034-6527. JSTOR 2296384.

[5] Sen, Amartya (1977). "Teoría de la elección social: un nuevo examen". Econometrica . 45 (1): 53–89. doi :10.2307/1913287. ISSN 0012-9682. JSTOR 1913287.

[6] Sen, Amartya (1 de enero de 1986). "Capítulo 22 Teoría de la elección social". Manual de economía matemática . 3 : 1073–1181. doi :10.1016/S1573-4382(86)03004-7. ISBN 9780444861283. ISSN 1573-4382.

[7] Smith, John H. (1973). "Agregación de preferencias con electorado variable". Econometrica . 41 (6): 1027–1041. doi :10.2307/1914033. ISSN 0012-9682. JSTOR 1914033.

[8] Young, HP (1974-09-01). "Una axiomatización de la regla de Borda". Journal of Economic Theory . 9 (1): 43–52. doi :10.1016/0022-0531(74)90073-8. ISSN 0022-0531.

[:1-9] Fine, B.; Fine, K. (1974). "Elección social y ranking individual I". The Review of Economic Studies . 41 (3): 303–322. doi :10.2307/2296751. ISSN 0034-6527. JSTOR 2296751.

[10] Aziz, Haris (8 de noviembre de 2016). "Incentivos de participación en la elección social aleatoria". arXiv : 1602.02174 [cs.GT].