Ecuación de Bethe-Salpeter

La ecuación de Bethe-Salpeter (BSE, llamada así por Hans Bethe y Edwin Salpeter ) ^[1] es una ecuación integral cuya solución describe la estructura de un estado ligado relativista de dos cuerpos (partículas) en una teoría cuántica de campos (QFT) de formalismo covariante. La ecuación fue publicada por primera vez en 1950 al final de un artículo de Yoichiro Nambu , pero sin derivación. ^[2]

Debido a su aplicación común en varias ramas de la física teórica, la ecuación de Bethe-Salpeter aparece en muchas formas. Una forma que se utiliza a menudo en la física de alta energía es

${\displaystyle \Gamma(P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma(P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})}$

donde es la amplitud de Bethe-Salpeter (BSA), la función de Green que representa la interacción y los propagadores vestidos de las dos partículas constituyentes.${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización S}$

En la teoría cuántica, los estados ligados son sistemas físicos compuestos con una vida útil significativamente más larga que la escala de tiempo de la interacción que rompe su estructura (de lo contrario, los sistemas físicos en consideración se denominan resonancias ), lo que permite un amplio tiempo para que los constituyentes interactúen. Al tener en cuenta todas las interacciones posibles que pueden ocurrir entre los dos constituyentes, el BSE es una herramienta para calcular las propiedades de los estados ligados profundos. El BSA como su solución codifica la estructura del estado ligado en consideración.

Como se puede derivar mediante la identificación de estados ligados con polos en la matriz S de la función de 4 puntos que involucra las partículas constituyentes, la ecuación está relacionada con la descripción del campo cuántico de los procesos de dispersión aplicando las funciones de Green .

Como herramienta de uso general, las aplicaciones de la BSE se pueden encontrar en la mayoría de las teorías cuánticas de campos. Algunos ejemplos son el positronio (estado ligado de un par electrón - positrón ), los excitones (estados ligados de un par electrón-hueco ^[3] ) y los mesones (como estados ligados quark -antiquark). ^[4]

Incluso para sistemas simples como el positronio , la ecuación no se puede resolver exactamente bajo la electrodinámica cuántica (EDQ), a pesar de su formulación exacta. Se puede lograr una reducción de la ecuación sin la solución exacta. En el caso en que se pueda ignorar la producción de pares de partículas, si uno de los dos constituyentes fermiones es significativamente más masivo que el otro, el sistema se simplifica en la ecuación de Dirac para la partícula ligera bajo el potencial externo de la pesada.

El punto de partida para la derivación de la ecuación de Bethe-Salpeter es la ecuación de Dyson de dos partículas (o cuatro puntos)

${\displaystyle G=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\,G}$

en el espacio de momento, donde "G" es la función de Green de dos partículas , "S" son los propagadores libres y "K" es un núcleo de interacción, que contiene todas las interacciones posibles entre las dos partículas. El paso crucial ahora es suponer que los estados ligados aparecen como polos en la función de Green. Se supone que dos partículas se juntan y forman un estado ligado con masa "M", este estado ligado se propaga libremente y luego el estado ligado se divide nuevamente en sus dos constituyentes. Por lo tanto, se introduce la función de onda de Bethe-Salpeter , que es una amplitud de transición de dos constituyentes en un estado ligado , y luego se hace un Ansatz para la función de Green en la vecindad del polo como${\displaystyle \langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle }$${\displaystyle \Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle }$${\displaystyle \phi _{i}}$${\estilo de visualización \psi}$

${\displaystyle G\approx {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}},}$

donde P es el momento total del sistema. Se ve que si para este momento se cumple la ecuación, que es exactamente la relación de energía-momento de Einstein (con el momento de cuatro puntos y ), la función de Green de cuatro puntos contiene un polo. Si se introduce ese Ansatz en la ecuación de Dyson anterior y se establece el momento total "P" de modo que se cumpla la relación de energía-momento, en ambos lados del término aparece un polo.$Estilo de visualización P^{2}=M^{2}}$ ${\displaystyle P_{\mu}=\left(E/c,{\vec {p}}\right)}$${\displaystyle P^{2}=P_{\mu }\,P^{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}{\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}}$

Comparando los rendimientos de los residuos

${\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\Psi ,\,}$

Ésta es ya la ecuación de Bethe-Salpeter, escrita en términos de las funciones de onda de Bethe-Salpeter. Para obtener la forma anterior se introducen las amplitudes de Bethe-Salpeter "Γ"

${\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }$

y finalmente llega

${\displaystyle \Gamma =K_{12}\,S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }$

que está escrito arriba, con la dependencia explícita del momento.

En principio, el núcleo de interacción K contiene todas las interacciones irreducibles entre dos partículas posibles que pueden ocurrir entre los dos constituyentes. Para realizar cálculos prácticos, uno tiene que modelarlo eligiendo un subconjunto de las interacciones. Como en las teorías cuánticas de campos , la interacción se describe mediante el intercambio de partículas (por ejemplo, fotones en QED o gluones en cromodinámica cuántica ), además de las interacciones de contacto, la interacción más simple se modela mediante el intercambio de solo una de estas partículas portadoras de fuerza con un propagador conocido.

Como la ecuación de Bethe-Salpeter resume la interacción infinitas veces desde un punto de vista perturbativo, el gráfico de Feynman resultante se asemeja a la forma de una escalera (o arco iris), de ahí el nombre de esta aproximación.

Mientras que en la QED la aproximación de escalera causó problemas con la simetría cruzada y la invariancia de calibre, lo que indica la inclusión de términos de escalera cruzada. En cromodinámica cuántica (QCD) esta aproximación se utiliza con frecuencia fenomenológicamente para calcular la masa de los hadrones y su estructura en términos de amplitudes de Bethe-Salpeter y amplitudes de Faddeev, un Ansatz bien conocido del cual es propuesto por Maris y Tandy. ^[4] Tal Ansatz para el vértice vestido de quark-gluón dentro del truncamiento de la escalera arcoíris respeta la simetría quiral y su ruptura dinámica , que por lo tanto es un modelado importante de la interacción nuclear fuerte . Como ejemplo, la estructura de los piones se puede resolver aplicando el Ansatz de Maris-Tandy de la ecuación de Bethe-Salpeter en el espacio euclidiano. ^[5]

En cuanto a las soluciones de cualquier ecuación homogénea, la de la ecuación de Bethe-Salpeter se determina hasta un factor numérico. Este factor debe especificarse mediante una determinada condición de normalización. Para las amplitudes de Bethe-Salpeter, esto se hace normalmente exigiendo la conservación de la probabilidad (similar a la normalización de la función de onda mecánica cuántica ), que corresponde a la ecuación ^[6]

${\displaystyle 2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}\,S_{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\,K\right)\,S_{1}\,S_{2}\right)\Gamma }$

Las normalizaciones del tensor de carga y de energía-momento del estado ligado conducen a la misma ecuación. En la aproximación de escalera de arco iris, este núcleo de interacción no depende del momento total de la amplitud de Bethe-Salpeter, en cuyo caso el segundo término de la condición de normalización se anula. Nakanishi derivó una normalización alternativa basada en el valor propio del operador lineal correspondiente. ^[6]

La ecuación de Bethe-Salpeter se aplica a toda la región cinemática de la amplitud de Bethe-Salpeter. En consecuencia, determina las amplitudes donde las funciones no son continuas. Tales singularidades se ubican generalmente cuando el momento constituyente es temporal, que no son directamente accesibles desde las soluciones del espacio euclidiano de esta ecuación. En cambio, se desarrollan métodos para resolver este tipo de ecuaciones integrales directamente en la región temporal. ^[7] En el caso de estados escalares ligados a través de un intercambio de partículas escalares en el truncamiento de la escalera arco iris, la ecuación de Bethe-Salpeter en el espacio de Minkowski se puede resolver con la ayuda de la representación integral de Nakanishi. ^[8]

• ABIÉNTESE
• Corrección de Araki-Sucher
• Ecuación de Breit
• Ecuación de Lippmann-Schwinger
• Ecuación de Schwinger-Dyson
• Ecuaciones de Dirac de dos cuerpos
• Código YAMBO

Muchos libros de texto modernos sobre teoría cuántica de campos y algunos artículos ofrecen explicaciones pedagógicas sobre el contexto y los usos de la ecuación de Bethe-Salpeter. Véase:

• W. Greiner, J. Reinhardt (2003). Electrodinámica cuántica (3.ª ed.). Springer . ISBN 978-3-540-44029-1.
• ZK Silagadze (1998). "Modelo de Wick–Cutkosky: una introducción". arXiv : hep-ph/9803307 .

Una buena introducción la ofrece el artículo de revisión de Nakanishi.

• N. Nakanishi (1969). "Un estudio general de la teoría de la ecuación de Bethe-Salpeter". Suplemento del Progreso de la Física Teórica . 43 : 1–81. Bibcode :1969PThPS..43....1N. doi : 10.1143/PTPS.43.1 .

Para aspectos históricos, véase

• EE Salpeter (2008). "Ecuación de Bethe-Salpeter (orígenes)". Scholarpedia . 3 (11): 7483. arXiv : 0811.1050 . Código Bib : 2008SchpJ...3.7483S. doi : 10.4249/scholarpedia.7483 . S2CID  32913032.

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