Distribución F

Pescador-Snedecor

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	d 1 , d 2 > 0 grados de libertad
Apoyo	${\displaystyle x\en (0,+\infty )\;}$si , de lo contrario$estilo de visualización d_{1}=1$${\displaystyle x\in[0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
CDF	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
Significar	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ para d 2 > 2
Modo	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ para d 1 > 2
Diferencia	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}}\!}$ para d 2 > 4
Oblicuidad	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ para d 2 > 6
Exceso de curtosis	ver texto
Entropía	${\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}$ ${\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{2}}{d_{1}}}\!}$[1]
MGF	No existe, momentos crudos definidos en el texto y en [2] [3]
CF	ver texto

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución F o F -ratio , también conocida como distribución F de Snedecor o distribución Fisher-Snedecor (en honor a Ronald Fisher y George W. Snedecor ), es una distribución de probabilidad continua que surge con frecuencia como la distribución nula de una estadística de prueba , más notablemente en el análisis de varianza ( ANOVA ) y otras pruebas F. ^{[2] [3] [4] [5]}

La distribución F con d ₁ y d ₂ grados de libertad es la distribución de

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

donde y son variables aleatorias independientes con distribuciones de chi-cuadrado con respectivos grados de libertad y .${\textstyle U_{1}}$${\textstyle U_{2}}$${\textstyle d_{1}}$${\textstyle d_{2}}$

Se puede demostrar que la función de densidad de probabilidad (pdf) para X está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{alineado}}}$

para valores reales x > 0. Aquí está la función beta . En muchas aplicaciones, los parámetros d ₁ y d ₂ son números enteros positivos , pero la distribución está bien definida para valores reales positivos de estos parámetros.${\displaystyle \mathrm {B}}$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

donde I es la función beta incompleta regularizada .

La expectativa, la varianza y otros detalles sobre F( d ₁ , d ₂ ) se dan en el recuadro lateral; para d ₂  > 8, el exceso de curtosis es

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

El momento k -ésimo de una distribución F( d ₁ , d ₂ ) existe y es finito solo cuando 2 k < d ₂ y es igual a

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$^[6]

La distribución F es una parametrización particular de la distribución beta prima , también llamada distribución beta de segundo tipo.

La función característica se enumera incorrectamente en muchas referencias estándar (por ejemplo, ^[3] ). La expresión correcta ^[7] es

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

donde U ( a , b , z ) es la función hipergeométrica confluente de segundo tipo.

Una variable aleatoria de la distribución F con parámetros y surge como la relación de dos variables de chi-cuadrado escaladas apropiadamente : ^[8]${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

dónde

• ${\displaystyle U_{1}}$y tienen distribuciones de chi-cuadrado con y grados de libertad respectivamente, y${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$
• ${\displaystyle U_{1}}$y son independientes .${\displaystyle U_{2}}$

En los casos en que se utiliza la distribución F , por ejemplo en el análisis de varianza , la independencia de y podría demostrarse aplicando el teorema de Cochran .${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$

De manera equivalente, dado que la distribución chi-cuadrado es la suma de variables aleatorias normales estándar independientes , la variable aleatoria de la distribución F también puede escribirse

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}$

donde y , es la suma de los cuadrados de las variables aleatorias de distribución normal y es la suma de los cuadrados de las variables aleatorias de distribución normal .${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$${\displaystyle S_{1}^{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$${\displaystyle S_{2}^{2}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$

En un contexto frecuentista , una distribución F escalada da por lo tanto la probabilidad , con la distribución F en sí, sin ninguna escala, aplicándose donde se toma igual a . Este es el contexto en el que la distribución F aparece más generalmente en las pruebas F : donde la hipótesis nula es que dos varianzas normales independientes son iguales, y las sumas observadas de algunos cuadrados seleccionados apropiadamente se examinan luego para ver si su razón es significativamente incompatible con esta hipótesis nula.${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

La cantidad tiene la misma distribución en las estadísticas bayesianas, si se toma una distribución previa de Jeffreys invariante al reescalamiento no informativa para las probabilidades previas de y . ^[9] En este contexto, una distribución F escalada da la probabilidad posterior , donde las sumas observadas y ahora se toman como conocidas.${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$${\displaystyle s_{1}^{2}}$${\displaystyle s_{2}^{2}}$

• Si y ( distribución Chi cuadrado ) son independientes , entonces${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Si ( distribución gamma ) son independientes, entonces${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• Si ( distribución beta ) entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Equivalentemente, si , entonces .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$
• Si , entonces tiene una distribución beta prima : .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
• Si entonces tiene la distribución chi-cuadrado${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$es equivalente a la distribución T-cuadrada de Hotelling escalada .${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$
• Si entonces .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$
• Si es la distribución t de Student , entonces:${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}$$
• La distribución F es un caso especial de la distribución de Pearson tipo 6
• Si y son independientes, con Laplace( μ , b ) entonces${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,Y\sim }$ $${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$$
• Si entonces ( distribución z de Fisher )${\displaystyle X\sim F(n,m)}$${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$
• La distribución F no central se simplifica a la distribución F si .${\displaystyle \lambda =0}$
• La distribución F doblemente no central se simplifica a la distribución F si${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Si es el cuantil p para y es el cuantil para , entonces${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$$${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$$
• La distribución F es un ejemplo de distribuciones de razón.
• La distribución W ^[10] es una parametrización única de la distribución F.

• Tabla de valores críticos de la distribución F
• Los primeros usos de algunas palabras de las matemáticas: la entrada sobre la distribución F contiene una breve historia
• Calculadora gratuita para pruebas F