Análisis asintótico

En análisis matemático , el análisis asintótico , también conocido como asintótica , es un método para describir el comportamiento límite .

A modo de ejemplo, supongamos que nos interesan las propiedades de una función f  ( n ) cuando n se hace muy grande. Si f ( n ) = n ² + 3 n , entonces cuando n se hace muy grande, el término 3 n se vuelve insignificante comparado con n ² . Se dice que la función f ( n ) es " asintóticamente equivalente a n ² , cuando n → ∞ ". Esto se suele escribir simbólicamente como f  ( n ) ~ n ² , que se lee como " f ( n ) es asintótica a n ² ".

Un ejemplo de un resultado asintótico importante es el teorema de los números primos . Sea π( x ) la función de conteo de primos (que no está directamente relacionada con la constante pi ), es decir, π( x ) es el número de números primos que son menores o iguales a x . Entonces el teorema establece que$${\displaystyle \pi(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$$

El análisis asintótico se utiliza comúnmente en informática como parte del análisis de algoritmos y a menudo se expresa allí en términos de notación O grande .

Formalmente, dadas las funciones f  ( x ) y g ( x ) , definimos una relación binaria si y sólo si (de Bruijn 1981, §1.4)$${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{como }}x\to \infty )}$$$${\displaystyle \lim_{x\to \infty} {\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

El símbolo ~ es la tilde . La relación es una relación de equivalencia sobre el conjunto de funciones de x ; se dice que las funciones f y g son asintóticamente equivalentes . El dominio de f y g puede ser cualquier conjunto para el cual se defina el límite: p. ej., números reales, números complejos, números enteros positivos.

La misma notación también se utiliza para otras formas de pasar a un límite: p. ej. x → 0 , x ↓ 0 , | x | → 0 . La forma de pasar al límite a menudo no se indica explícitamente, si está clara en el contexto.

Aunque la definición anterior es común en la literatura, es problemática si g ( x ) es cero infinitamente a menudo cuando x tiende al valor límite. Por esa razón, algunos autores usan una definición alternativa. La definición alternativa, en notación o minúscula , es que f ~ g si y solo si$${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

Esta definición es equivalente a la definición anterior si g ( x ) no es cero en algún entorno del valor límite. ^{[1] [2]}

Si y , entonces, bajo algunas condiciones suaves, ^{[ se necesita más explicación ]} se cumple lo siguiente:${\displaystyle f\sim g}$${\displaystyle a\sim b}$

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, para cada r real
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$si${\displaystyle \lim g\neq 1}$
• ${\displaystyle f\veces a\sim g\veces b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Estas propiedades permiten que funciones asintóticamente equivalentes se intercambien libremente en muchas expresiones algebraicas.

• Factorial : esta es la aproximación de Stirling$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$
• Función de partición
  Para un entero positivo n , la función de partición, p ( n ), da el número de formas de escribir el entero n como una suma de enteros positivos, donde no se considera el orden de los sumandos.$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• Función aérea
  La función de Airy, Ai( x ), es una solución de la ecuación diferencial y″ − xy = 0 ; tiene muchas aplicaciones en física.$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• Funciones de Hankel $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

Una expansión asintótica de una función f ( x ) es en la práctica una expresión de esa función en términos de una serie , cuyas sumas parciales no necesariamente convergen, pero tales que al tomar cualquier suma parcial inicial se obtiene una fórmula asintótica para f . La idea es que los términos sucesivos proporcionen una descripción cada vez más precisa del orden de crecimiento de f .

En símbolos, significa que tenemos pero también y para cada k fijo . En vista de la definición del símbolo, la última ecuación significa en la notación o minúscula , es decir, es mucho menor que${\displaystyle f\sim g_{1},}$${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\estilo de visualización \sim}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$${\displaystyle g_{k}.}$

La relación adquiere su pleno significado si para todo k , lo que significa que forma una escala asintótica . En ese caso, algunos autores pueden escribir abusivamente para denotar el enunciado. Sin embargo, se debe tener cuidado de que este no sea un uso estándar del símbolo y que no corresponda a la definición dada en § Definición.${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} = o (g_ {k})}$$estilo de visualización g_ {k}}$${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$${\estilo de visualización \sim}$

En la situación actual, esta relación se deduce en realidad de la combinación de los pasos k y k −1; al restar de uno se obtiene ie${\ Displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$${\ Displaystyle g_ {k} + o (g_ {k}) = o (g_ {k-1}),}$${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

En caso de que la expansión asintótica no converja, para cualquier valor particular del argumento habrá una suma parcial particular que proporcione la mejor aproximación y la adición de términos adicionales disminuirá la precisión. Esta suma parcial óptima generalmente tendrá más términos a medida que el argumento se acerque al valor límite.

• Función gamma $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• Integral exponencial $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• Función error donde m !! es el factorial doble .$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$

Las expansiones asintóticas ocurren a menudo cuando se utiliza una serie ordinaria en una expresión formal que obliga a tomar valores fuera de su dominio de convergencia. Por ejemplo, podríamos empezar con la serie ordinaria$${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$$

La expresión de la izquierda es válida en todo el plano complejo , mientras que el lado derecho converge solo para . Al multiplicar por e integrar ambos lados se obtiene${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$$

La integral del lado izquierdo se puede expresar en términos de la integral exponencial . La integral del lado derecho, después de la sustitución , se puede reconocer como la función gamma . Evaluando ambas, se obtiene la expansión asintótica${\displaystyle u=w/t}$$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$$

Aquí, el lado derecho claramente no es convergente para ningún valor distinto de cero de t . Sin embargo, al mantener t pequeño y truncar la serie de la derecha a un número finito de términos, se puede obtener una aproximación bastante buena al valor de . Sustituyendo y notando que esto da como resultado la expansión asintótica dada anteriormente en este artículo.${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$${\displaystyle x=-1/t}$${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

En estadística matemática , una distribución asintótica es una distribución hipotética que, en cierto sentido, es la distribución "límite" de una secuencia de distribuciones. Una distribución es un conjunto ordenado de variables aleatorias Z _i para i = 1, …, n , para algún entero positivo n . Una distribución asintótica permite que i tenga un rango sin límite, es decir, n es infinito.

Un caso especial de distribución asintótica es cuando las últimas entradas tienden a cero, es decir, el valor de Z _i tiende a 0 a medida que i tiende a infinito. Algunos casos de "distribución asintótica" se refieren únicamente a este caso especial.

Esto se basa en la noción de una función asintótica que se aproxima limpiamente a un valor constante (la asíntota ) a medida que la variable independiente tiende a infinito; "limpio" en este sentido significa que para cualquier cercanía deseada épsilon hay algún valor de la variable independiente después del cual la función nunca difiere de la constante en más de épsilon.

Una asíntota es una línea recta a la que se aproxima una curva pero que nunca se encuentra ni cruza. De manera informal, se puede decir que la curva se encuentra con la asíntota "en el infinito", aunque no se trata de una definición precisa. En la ecuación, y se vuelve arbitrariamente pequeña en magnitud a medida que x aumenta.${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

El análisis asintótico se utiliza en varias ciencias matemáticas . En estadística , la teoría asintótica proporciona aproximaciones limitantes de la distribución de probabilidad de las estadísticas de muestra , como la estadística de razón de verosimilitud y el valor esperado de la desviación . Sin embargo, la teoría asintótica no proporciona un método para evaluar las distribuciones de muestras finitas de las estadísticas de muestra. Los límites no asintóticos se proporcionan mediante métodos de teoría de aproximación .

Ejemplos de aplicaciones son los siguientes.

• En matemáticas aplicadas , el análisis asintótico se utiliza para construir métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones .
• En estadística matemática y teoría de probabilidad , las asintóticas se utilizan en el análisis del comportamiento a largo plazo o en muestras grandes de variables aleatorias y estimadores.
• En informática, en el análisis de algoritmos , considerando el rendimiento de los algoritmos.
• El comportamiento de los sistemas físicos , un ejemplo es la mecánica estadística .
• En el análisis de accidentes, al identificar la causa del choque a través del modelado de recuento con un gran número de choques en un tiempo y espacio determinados.

El análisis asintótico es una herramienta clave para explorar las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que surgen en el modelado matemático de fenómenos del mundo real. ^[3] Un ejemplo ilustrativo es la derivación de las ecuaciones de la capa límite a partir de las ecuaciones completas de Navier-Stokes que rigen el flujo de fluidos. En muchos casos, la expansión asintótica está en potencia de un parámetro pequeño, ε : en el caso de la capa límite, esta es la relación adimensional del espesor de la capa límite con una escala de longitud típica del problema. De hecho, las aplicaciones del análisis asintótico en el modelado matemático a menudo ^[3] se centran en un parámetro adimensional que se ha demostrado, o se ha asumido, que es pequeño a través de una consideración de las escalas del problema en cuestión.

Las expansiones asintóticas surgen típicamente en la aproximación de ciertas integrales ( método de Laplace , método del punto de silla , método del descenso más pronunciado ) o en la aproximación de distribuciones de probabilidad ( serie de Edgeworth ). Los grafos de Feynman en la teoría cuántica de campos son otro ejemplo de expansiones asintóticas que a menudo no convergen.

De Bruijn ilustra el uso de asintóticos en el siguiente diálogo entre el Dr. NA, un analista numérico, y el Dr. AA, un analista asintótico:

NA: Quiero evaluar mi función para valores grandes de , con un error relativo de como máximo el 1%.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

A.M.: .${\displaystyle f(x)=x^{-1}+\mathrm {O} (x^{-2})\qquad (x\to \infty )}$

NA: Lo siento, no entiendo.

AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO:${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<8x^{-2}\qquad (x>10^{4}).}$

NA: Pero mi valor es sólo 100.${\displaystyle x}$

AA: ¿Por qué no lo dijiste? Mis evaluaciones dan

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<57000x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: Esto no es ninguna novedad para mí. Ya lo sé .${\displaystyle 0<f(100)<1}$

AA: Puedo mejorar un poco mis estimaciones. Ahora me doy cuenta de que

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<20x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: Pedí el 1%, no el 20%.

AA: Es casi lo mejor que puedo conseguir. ¿Por qué no tomas valores mayores de ?${\displaystyle x}$

NA: !!! Creo que es mejor preguntarle a mi máquina de computación electrónica.

Máquina: f(100) = 0,01137 42259 34008 67153

AA: ¿No te lo había dicho? Mi estimación del 20% no se alejaba mucho del 14% del error real.

N / A: !!! . . . !

Algunos días después, la señorita NA quiere saber el valor de f(1000), pero su máquina necesitaría un mes de cálculos para dar la respuesta. Vuelve a hablar con su colega asintótico y obtiene una respuesta totalmente satisfactoria. ^[4]

• Balser, W. (1994), De series de potencias divergentes a funciones analíticas, Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• de Bruijn, NG (1981), Métodos asintóticos en análisis, Publicaciones de Dover , ISBN 9780486642215
• Estrada, R.; Kanwal, RP (2002), Un enfoque distributivo de la asintótica, Birkhäuser , ISBN 9780817681302
• Miller, PD (2006), Análisis asintótico aplicado, American Mathematical Society , ISBN 9780821840788
• Murray, JD (1984), Análisis asintótico, Springer, ISBN 9781461211228
• Paris, RB; Kaminsky, D. (2001), Asintótica e integrales de Mellin-Barnes, Cambridge University Press

• Análisis asintótico: página de inicio de la revista publicada por IOS Press
• Un artículo sobre el análisis de series temporales utilizando distribuciones asintóticas