Intuicionismo

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En la filosofía de las matemáticas , el intuicionismo , o neointuicionismo (opuesto al preintuicionismo ), es un enfoque en el que las matemáticas se consideran puramente el resultado de la actividad mental constructiva de los humanos en lugar del descubrimiento de principios fundamentales que se afirma que existen en una realidad objetiva. ^[1] Es decir, la lógica y las matemáticas no se consideran actividades analíticas en las que se revelan y aplican propiedades profundas de la realidad objetiva, sino que se consideran la aplicación de métodos internamente consistentes utilizados para realizar construcciones mentales más complejas, independientemente de su posible existencia independiente en una realidad objetiva.

La característica distintiva fundamental del intuicionismo es su interpretación de lo que significa que un enunciado matemático sea verdadero. En el intuicionismo original de Brouwer , la verdad de un enunciado matemático es una afirmación subjetiva: un enunciado matemático corresponde a una construcción mental, y un matemático puede afirmar la verdad de un enunciado solo verificando la validez de esa construcción por intuición . La vaguedad de la noción intuicionista de verdad a menudo conduce a malas interpretaciones sobre su significado. Kleene definió formalmente la verdad intuicionista desde una posición realista, pero Brouwer probablemente rechazaría esta formalización como carente de sentido, dado su rechazo de la posición realista/platónica. Por lo tanto, la verdad intuicionista sigue estando algo mal definida. Sin embargo, debido a que la noción intuicionista de verdad es más restrictiva que la de las matemáticas clásicas, el intuicionista debe rechazar algunos supuestos de la lógica clásica para asegurarse de que todo lo que prueba es de hecho intuicionistamente verdadero. Esto da lugar a la lógica intuicionista .

Para un intuicionista, la afirmación de que existe un objeto con ciertas propiedades es una afirmación de que se puede construir un objeto con esas propiedades. Cualquier objeto matemático se considera un producto de una construcción de una mente y, por lo tanto, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que afirma que la existencia de una entidad puede probarse refutando su no existencia. Para el intuicionista, esto no es válido; la refutación de la no existencia no significa que sea posible encontrar una construcción para el supuesto objeto, como se requiere para afirmar su existencia. Como tal, el intuicionismo es una variedad del constructivismo matemático ; pero no es el único tipo.

La interpretación de la negación es diferente en la lógica intuicionista que en la lógica clásica. En la lógica clásica, la negación de un enunciado afirma que el enunciado es falso ; para un intuicionista, significa que el enunciado es refutable . ^[2] Por lo tanto, existe una asimetría entre un enunciado positivo y uno negativo en el intuicionismo. Si un enunciado P es demostrable, entonces P ciertamente no puede ser refutable. Pero incluso si se puede demostrar que P no puede ser refutado, esto no constituye una prueba de P. Por lo tanto, P es un enunciado más fuerte que no-no-P .

De manera similar, afirmar que A o B son ciertas, para un intuicionista, es afirmar que A o B pueden ser probadas . En particular, la ley del tercio excluido , " A o no A ", no se acepta como un principio válido. Por ejemplo, si A es algún enunciado matemático que un intuicionista aún no ha probado o refutado, entonces ese intuicionista no afirmará la verdad de " A o no A ". Sin embargo, el intuicionista aceptará que " A y no A " no puede ser verdadero. Por lo tanto, los conectivos "y" y "o" de la lógica intuicionista no satisfacen las leyes de De Morgan como lo hacen en la lógica clásica.

La lógica intuicionista sustituye la verdad abstracta por la constructibilidad y se asocia con una transición de la prueba de la teoría de modelos a la verdad abstracta en las matemáticas modernas . El cálculo lógico preserva la justificación, en lugar de la verdad, a través de las transformaciones que producen proposiciones derivadas. Se ha considerado que brinda apoyo filosófico a varias escuelas de filosofía, en particular al antirrealismo de Michael Dummett . Por lo tanto, contrariamente a la primera impresión que su nombre podría transmitir, y como se observa en enfoques y disciplinas específicos (por ejemplo, los conjuntos y sistemas difusos ), las matemáticas intuicionistas son más rigurosas que las matemáticas fundadas convencionalmente, donde, irónicamente, los elementos fundamentales que el intuicionismo intenta construir/refutar/refundar se toman como intuitivamente dados. ^{[ cita requerida ]}

Entre las diferentes formulaciones del intuicionismo, existen varias posiciones diferentes sobre el significado y la realidad del infinito.

El término infinito potencial se refiere a un procedimiento matemático en el que hay una serie interminable de pasos. Después de completar cada paso, siempre hay otro paso por realizar. Por ejemplo, considere el proceso de contar:${\displaystyle 1,2,...}$

El término infinito actual se refiere a un objeto matemático completo que contiene un número infinito de elementos. Un ejemplo es el conjunto de números naturales , .${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,...\}}$

En la formulación de la teoría de conjuntos de Cantor, hay muchos conjuntos infinitos diferentes, algunos de los cuales son mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales es mayor que , porque cualquier intento de poner los números naturales en correspondencia uno a uno con los números reales siempre fracasará: siempre habrá un número infinito de números reales "sobrantes". Cualquier conjunto infinito que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales se dice que es "contable" o "numerable". Los conjuntos infinitos mayores que esto se dicen que son "incontables". ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

La teoría de conjuntos de Cantor dio origen al sistema axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), que hoy constituye el fundamento más común de las matemáticas modernas . El intuicionismo se creó, en parte, como reacción a la teoría de conjuntos de Cantor.

La teoría constructiva de conjuntos moderna incluye el axioma de infinito de ZFC (o una versión revisada de este axioma) y el conjunto de números naturales. La mayoría de los matemáticos constructivos modernos aceptan la realidad de los conjuntos infinitos numerables (sin embargo, véase Alexander Esenin-Volpin para un contraejemplo).${\displaystyle \mathbb {N} }$

Brouwer rechazó el concepto de infinito actual, pero admitió la idea de infinito potencial.

Según Weyl 1946, 'Brouwer dejó en claro, como creo que está más allá de toda duda, que no hay evidencia que respalde la creencia en el carácter existencial de la totalidad de todos los números naturales... la secuencia de números que crece más allá de cualquier etapa ya alcanzada al pasar al siguiente número, es una multiplicidad de posibilidades abiertas hacia el infinito; permanece para siempre en el estado de creación, pero no es un reino cerrado de cosas existentes en sí mismas. El hecho de que convirtamos ciegamente una en otra es la verdadera fuente de nuestras dificultades, incluidas las antinomias, una fuente de naturaleza más fundamental que la que indicaba el principio del círculo vicioso de Russell. Brouwer nos abrió los ojos y nos hizo ver hasta qué punto las matemáticas clásicas, alimentadas por una creencia en el 'absoluto' que trasciende todas las posibilidades humanas de realización, van más allá de las afirmaciones que pueden reclamar un significado real y una verdad fundada en la evidencia.

—   Kleene 1991, págs. 48-49

La historia del intuicionismo se remonta a dos controversias en las matemáticas del siglo XIX.

La primera de ellas fue la invención de la aritmética transfinita por Georg Cantor y su posterior rechazo por parte de varios matemáticos destacados, entre ellos el más famoso, su maestro Leopold Kronecker , un finitista confirmado .

El segundo de ellos fue el intento de Gottlob Frege de reducir todas las matemáticas a una formulación lógica a través de la teoría de conjuntos, y su descarrilamiento por parte de un joven Bertrand Russell , el descubridor de la paradoja de Russell . Frege había planeado una obra definitiva en tres volúmenes, pero justo cuando el segundo volumen estaba a punto de imprimirse, Russell le envió una carta en la que describía su paradoja, que demostraba que una de las reglas de autorreferencia de Frege era contradictoria en sí misma. En un apéndice del segundo volumen, Frege reconoció que uno de los axiomas de su sistema conducía de hecho a la paradoja de Russell. ^[4]

Según cuenta la historia, Frege cayó en una depresión y no publicó el tercer volumen de su obra como había planeado. Para más información, véase Davis (2000), capítulos 3 y 4: Frege: From Breakthrough to Despair y Cantor: Detour through Infinity. Véase van Heijenoort para las obras originales y el comentario de van Heijenoort.

Estas controversias están estrechamente vinculadas, ya que los métodos lógicos utilizados por Cantor para demostrar sus resultados en aritmética transfinita son esencialmente los mismos que los utilizados por Russell para construir su paradoja. Por lo tanto, la forma en que uno decide resolver la paradoja de Russell tiene implicaciones directas sobre el estatus que se le otorga a la aritmética transfinita de Cantor.

A principios del siglo XX, LEJ Brouwer representaba la postura intuicionista y David Hilbert la postura formalista (véase van Heijenoort). Kurt Gödel ofreció opiniones que se denominan platónicas (véanse varias fuentes sobre Gödel). Alan Turing considera: " sistemas no constructivos de lógica en los que no todos los pasos de una prueba son mecánicos, sino que algunos son intuitivos". ^[5] Más tarde, Stephen Cole Kleene presentó una consideración más racional del intuicionismo en su Introducción a las metamatemáticas (1952). ^[6]

Nicolas Gisin adopta las matemáticas intuicionistas para reinterpretar la indeterminación cuántica , la teoría de la información y la física del tiempo . ^[7]

• Henri Poincaré ( preintuicionismo / convencionalismo )
• LEJ Brouwer
• Michael Dummett
• Arend Heyting
• Esteban Kleene

• Lógica intuicionista
• Aritmética intuicionista
• Teoría de tipos intuicionista
• Teoría de conjuntos intuicionista
• Análisis intuicionista

• "Análisis". Encyclopædia Britannica . 2006. Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD 15 de junio de 2006, " Análisis constructivo " ( Ian Stewart , autor)
• WS Anglin, Matemáticas: una historia concisa y filosofía , Springer-Verlag, Nueva York, 1994.

En el capítulo 39, Fundamentos , con respecto al siglo XX, Anglin da descripciones muy precisas y breves del platonismo (con respecto a Gödel), el formalismo (con respecto a Hilbert) y el intuicionismo (con respecto a Brouwer).

• Martin Davis (ed.) (1965), The Undecidable , Raven Press, Hewlett, NY. Recopilación de artículos originales de Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser y Post. Republicado como Davis, Martin, ed. (2004). The Undecidable . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43228-1.
• Martin Davis (2000). Motores de lógica: matemáticos y el origen de la computadora (1.ª ed.). WW Norton & Company, Nueva York. ISBN 0-393-32229-7.
• John W. Dawson Jr., Dilemas lógicos: La vida y obra de Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.

Menos legible que Goldstein pero, en el Capítulo III Excursis , Dawson ofrece una excelente "Historia resumida del desarrollo de la lógica hasta 1928".

• Rebecca Goldstein , Incompletitud: La prueba y la paradoja de Kurt Godel , Atlas Books, WW Norton, Nueva York, 2005.

En el capítulo II, Hilbert y los formalistas, Goldstein ofrece un contexto histórico más amplio. Como platónico, Gödel se mostró reticente ante el positivismo lógico del Círculo de Viena. Goldstein analiza el impacto de Wittgenstein y el impacto de los formalistas. Goldstein señala que los intuicionistas se oponían aún más al platonismo que al formalismo .

• (en francés) Jacques Hartong y Georges Reeb , Intuitionnisme 84 (publicado por primera vez en La Mathématique Non-standard , éditions du CNRS)

Una reevaluación del intuicionismo, desde el punto de vista (entre otros) de las matemáticas constructivas y el análisis no estándar .

• Frege, Gottlob (1893). Grundgesetze der Arithmetik (en alemán). Vol. 1. Jena: Hermann Pohle. Traducción parcial: Montgomery Furth, 1964. The Basic Laws of Arithmetic. Univ. of California Press. Traducción de secciones seleccionadas en Frege (1960). Traducción completa de ambos volúmenes: Philip A. Ebert y Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Oxford University Press.

• Frege, Gottlob (1903). Grundgesetze der Arithmetik (en alemán). vol. 2. Jena: Hermann Pohle. Traducción de secciones seleccionadas en Frege (1960). Traducción completa de ambos volúmenes: Philip A. Ebert y Marcus Rossberg, 2013, Basic Laws of Arithmetic. Prensa de la Universidad de Oxford.

• Frege, Gottlob (1960) [1893]. "Grundgesetze der Arithmetik: Nachwort" [Frege sobre la paradoja de Russell]. En Geach, Peter; Negro, Max (eds.). Traducciones de los escritos filosóficos de Gottlob Frege (2 ed.). Oxford: Albahaca Blackwell.

• van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reimpreso con correcciones, 1977. Los siguientes artículos aparecen en van Heijenoort:

• LEJ Brouwer , 1923, Sobre la importancia del principio del tercero excluido en matemáticas, especialmente en la teoría de funciones [reimpreso con comentario, p. 334, van Heijenoort]
• Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Sobre el principio del tercio excluido , [reimpreso con comentario, pág. 414, van Heijenoort]
• LEJ Brouwer , 1927, Sobre los dominios de las definiciones de funciones , [reimpreso con comentarios, pág. 446, van Heijenoort]

Aunque no son directamente pertinentes, Brouwer utiliza en su obra (1923) ciertas palabras definidas en este artículo.

• LEJ Brouwer , 1927(2), Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo , [reimpreso con comentarios, p. 490, van Heijenoort]
• Jacques Herbrand, (1931b), "Sobre la consistencia de la aritmética", [reimpreso con comentarios, p. 618ff, van Heijenoort]

Del comentario de van Heijenoort no se desprende con claridad si Herbrand era o no un verdadero "intuicionista"; Gödel (1963) afirmó que, en efecto, "...Herbrand era un intuicionista". Pero van Heijenoort afirma que la concepción de Herbrand era "en general mucho más cercana a la palabra 'finitario' de Hilbert que a la de "intuicionista" tal como se aplica a la doctrina de Brouwer".

• Hesseling, Dennis E. (2003). Gnomos en la niebla. La recepción del intuicionismo de Brouwer en la década de 1920. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6.
• Arend Heyting : Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuicionismo: una introducción (3.ª ed. rev.). Ámsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2239-6.
• Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (Décima edición, 1991). Amsterdam, Nueva York: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9.

En el Capítulo III, Crítica del razonamiento matemático, §11. Las paradojas , Kleene analiza en profundidad el intuicionismo y el formalismo . A lo largo del resto del libro, trata y compara tanto la lógica formalista (clásica) como la intuicionista, con énfasis en la primera.

• Stephen Cole Kleene y Richard Eugene Vesley, The Foundations of Intuitionistic Mathematics , North-Holland Publishing Co. Amsterdam, 1965. La frase introductoria lo dice todo: "La tendencia constructiva en las matemáticas...". Un texto para especialistas, pero escrito en el estilo maravillosamente claro de Kleene.
• Lakatos, Imre (2015) [1976]. Pruebas y refutaciones La lógica del descubrimiento matemático . Cambridge Philosophy Classics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-11346-6.

• AA Markov (1954) Teoría de algoritmos . [Traducido por Jacques J. Schorr-Kon y el personal del PST] Pie de imprenta Moscú, Academia de Ciencias de la URSS, 1954 [es decir, Programa de Jerusalén, Israel para Traducciones Científicas, 1961; disponible en la Oficina de Servicios Técnicos, Departamento de Comercio de EE. UU., Washington] Descripción 444 pág. 28 cm. Se agregó tp en Traducción al ruso de Obras del Instituto de Matemáticas, Academia de Ciencias de la URSS, v. 42. Título original: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Biblioteca del Dartmouth College. Departamento de Comercio de los EE. UU., Oficina de Servicios Técnicos, número OTS 60–51085.] Una referencia secundaria para especialistas: Markov opinó que "El significado total para las matemáticas de hacer más preciso el concepto de algoritmo surge, sin embargo, en conexión con el problema de una base constructiva para las matemáticas ... [p. 3, cursiva añadida]. Markov creía que las aplicaciones posteriores de su trabajo "merecían un libro especial, que el autor espera escribir en el futuro" (p. 3). Lamentablemente, dicho trabajo aparentemente nunca apareció.
• Hilary Putnam y Paul Benacerraf , Filosofía de las matemáticas: lecturas seleccionadas , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2.ª ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-29648-X 

Parte I. Los fundamentos de las matemáticas , Simposio sobre los fundamentos de las matemáticas

• Rudolf Carnap , Los fundamentos logicistas de las matemáticas , pág. 41
• Arend Heyting , Los fundamentos intuicionistas de las matemáticas , pág. 52
• Johann von Neumann , Los fundamentos formalistas de las matemáticas , pág. 61
• Arend Heyting, Disputa , pág. 66
• LEJ Brouwer, Intuicionismo y formalismo , p. 77
• LEJ Brouwer, Conciencia, filosofía y matemáticas , p. 90

• Constance Reid , Hilbert , Copérnico – Springer-Verlag, 1.ª edición 1970, 2.ª edición 1996.

La biografía definitiva de Hilbert sitúa su "Programa" en el contexto histórico junto con la lucha posterior, a veces rencorosa, entre los intuicionistas y los formalistas.

• Paul Rosenbloom, Los elementos de la lógica matemática , Dover Publications Inc, Mineola, Nueva York, 1950.

En un estilo más propio de los Principia Mathematica, con muchos símbolos, algunos antiguos, algunos de escritura alemana. Muy buenos análisis del intuicionismo en las siguientes ubicaciones: páginas 51-58 en la Sección 4 Lógicas de muchos valores, Lógicas modales, Intuicionismo; páginas 69-73 Capítulo III La lógica de las funciones proposicionales Sección 1 Introducción informal; y pág. 146-151 Sección 7 El axioma de elección.

• Turing, Alan M. (1939). «Sistemas de lógica basados ​​en ordinales». Actas de la London Mathematical Society . 2. Vol. 45. págs. 161–228 . Consultado el 17 de enero de 2024 .

• Veldman, Wim (febrero de 2021). "Intuicionismo: ¿una inspiración?". doi :10.13140/RG.2.2.12313.54881.

Wikiquote tiene citas relacionadas con Intuicionismo .

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• Iemhoff, Rosalie (11 de junio de 2019). "El intuicionismo en la filosofía de las matemáticas". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .

• Moschovakis, Joan (16 de diciembre de 2022). "Lógica intuicionista". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .

• Wolchover, Natalie (7 de abril de 2020). "¿Realmente fluye el tiempo? Nuevas pistas surgen de un enfoque de las matemáticas con un siglo de antigüedad". QuantaMagazine.org . Quanta Magazine.