Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial puede ser homogénea en cualquiera de dos aspectos.

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es homogénea si puede escribirse

${\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,}$

donde f y g son funciones homogéneas del mismo grado de x e y . ^[1] En este caso, el cambio de variable y = ux conduce a una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,}$

que es fácil de resolver mediante la integración de los dos miembros.

De lo contrario, una ecuación diferencial es homogénea si es una función homogénea de la función desconocida y sus derivadas. En el caso de las ecuaciones diferenciales lineales , esto significa que no hay términos constantes. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de cualquier orden pueden deducirse por integración a partir de la solución de la ecuación homogénea obtenida al eliminar el término constante.

El término homogéneo fue aplicado por primera vez a las ecuaciones diferenciales por Johann Bernoulli en la sección 9 de su artículo de 1726 De integraionibus aequationum Differentialium (Sobre la integración de ecuaciones diferenciales). ^[2]

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

es de tipo homogéneo si ambas funciones M ( x , y ) y N ( x , y ) son funciones homogéneas del mismo grado n . ^[3] Es decir, multiplicando cada variable por un parámetro λ , encontramos

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$

De este modo,

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

En el cociente , podemos dejar t = ⁠${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$1/incógnita⁠ para simplificar este cociente a una función f de la variable única ⁠y/incógnita:​

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

Eso es

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).}$

Introducir el cambio de variables y = ux ; diferenciar utilizando la regla del producto :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}$

Esto transforma la ecuación diferencial original en la forma separable

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}$

que ahora se puede integrar directamente: ln x es igual a la antiderivada del lado derecho (ver ecuación diferencial ordinaria ).

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma ( a , b , c , e , f , g son todas constantes)

${\displaystyle \left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0}$

donde af ≠ be se puede transformar en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables ( α y β son constantes):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,.}$

Una ecuación diferencial lineal es homogénea si es una ecuación lineal homogénea en la función desconocida y sus derivadas. De ello se deduce que, si φ ( x ) es una solución, también lo es cφ ( x ) , para cualquier constante (no nula) c . Para que se cumpla esta condición, cada término no nulo de la ecuación diferencial lineal debe depender de la función desconocida o de cualquier derivada de esta. Una ecuación diferencial lineal que no cumple esta condición se denomina no homogénea.

Una ecuación diferencial lineal se puede representar como un operador lineal que actúa sobre y ( x ) , donde x suele ser la variable independiente e y es la variable dependiente. Por lo tanto, la forma general de una ecuación diferencial homogénea lineal es

${\displaystyle L(y)=0}$

donde L es un operador diferencial , una suma de derivadas (que define la "derivada 0" como la función original, no diferenciada), cada una multiplicada por una función f _i de x :

${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$

donde f _i pueden ser constantes, pero no todos los f _i pueden ser cero.

Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial lineal es homogénea:

${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$

Mientras que los dos siguientes no son homogéneos:

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$

La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación sea no homogénea, como en el ejemplo anterior.

• Separación de variables

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (10.ª ed.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (Esta es una buena referencia introductoria sobre ecuaciones diferenciales).
• Ince, EL (1956), Ecuaciones diferenciales ordinarias, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0486603490(Esta es una referencia clásica sobre EDO, publicada por primera vez en 1926).
• Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 de noviembre de 2017). Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias: soluciones exactas, métodos y problemas. CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9.
• Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 de noviembre de 2009). Ecuaciones diferenciales con álgebra lineal. Oxford University Press. pp. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9.

• Ecuaciones diferenciales homogéneas en MathWorld
• Wikilibros: Ecuaciones diferenciales ordinarias/Sustitución 1