Subcategoría

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una subcategoría de una categoría C es una categoría S cuyos objetos son objetos en C y cuyos morfismos son morfismos en C con las mismas identidades y composición de morfismos. Intuitivamente, una subcategoría de C es una categoría obtenida de C al "eliminar" algunos de sus objetos y flechas.

Sea C una categoría. Una subcategoría S de C está dada por

• una subcolección de objetos de C , denotada ob( S ),
• una subcolección de morfismos de C , denotada hom( S ).

de tal manera que

• para cada X en ob( S ), el morfismo identidad id _X está en hom( S ),
• para cada morfismo f  : X → Y en hom( S ), tanto la fuente X como el destino Y están en ob( S ),
• para cada par de morfismos f y g en hom( S ) el compuesto f o g está en hom( S ) siempre que esté definido.

Estas condiciones garantizan que S sea una categoría por derecho propio: su colección de objetos es ob( S ), su colección de morfismos es hom( S ), y sus identidades y composición son como en C . Hay un funtor fiel obvio I  : S → C , llamado funtor de inclusión que toma objetos y morfismos para sí mismos.

Sea S una subcategoría de una categoría C . Decimos que S es una subcategoría completa de C si para cada par de objetos X e Y de S ,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _ {\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _ {\mathcal {C}}(X,Y).}$

Una subcategoría completa es aquella que incluye todos los morfismos en C entre objetos de S . Para cualquier colección de objetos A en C , existe una única subcategoría completa de C cuyos objetos son aquellos en A .

• La categoría de conjuntos finitos forma una subcategoría completa de la categoría de conjuntos .
• La categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son biyecciones forma una subcategoría no completa de la categoría de conjuntos.
• La categoría de grupos abelianos forma una subcategoría completa de la categoría de grupos .
• La categoría de anillos (cuyos morfismos son homomorfismos de anillo que preservan la unidad ) forma una subcategoría no completa de la categoría de anillos .
• Para un campo K , la categoría de K - espacios vectoriales forma una subcategoría completa de la categoría de K - módulos (izquierdo o derecho) .

Dada una subcategoría S de C , el funtor de inclusión I  : S → C es a la vez un funtor fiel e inyectivo sobre objetos. Es completo si y solo si S es una subcategoría completa.

Algunos autores definen una incrustación como un funtor completo y fiel . Un funtor de este tipo es necesariamente inyectivo en objetos hasta el isomorfismo . Por ejemplo, la incrustación de Yoneda es una incrustación en este sentido.

Algunos autores definen una incrustación como un funtor completo y fiel que es inyectivo sobre los objetos. ^[1]

Otros autores definen un funtor como una incrustación si es fiel e inyectivo en objetos. De manera equivalente, F es una incrustación si es inyectivo en morfismos. Un funtor F se denomina entonces una incrustación completa si es un funtor completo y una incrustación.

Con las definiciones del párrafo anterior, para cualquier incrustación (completa) F  : B → C la imagen de F es una subcategoría (completa) S de C , y F induce un isomorfismo de categorías entre B y S . Si F no es inyectiva sobre objetos entonces la imagen de F es equivalente a B .

En algunas categorías también se puede hablar de morfismos de la categoría que son incrustaciones .

Se dice que una subcategoría S de C es isomorfista-cerrada o repleta si todo isomorfismo k  : X → Y en C tal que Y está en S también pertenece a S . Se dice que una subcategoría completa isomorfista-cerrada es estrictamente repleta .

Una subcategoría de C es amplia o lluf (un término propuesto por primera vez por Peter Freyd ^[2] ) si contiene todos los objetos de C. ^[3] Una subcategoría amplia normalmente no está completa: la única subcategoría amplia y completa de una categoría es esa categoría misma.

Una subcategoría de Serre es una subcategoría S completa no vacía de una categoría abeliana C tal que para todas las secuencias exactas cortas

${\displaystyle 0\a M'\a M\a M''\a 0}$

en C , M pertenece a S si y solo si ambos y lo hacen. Esta noción surge de la teoría C de Serre .${\estilo de visualización M''}$

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• Subcategoría reflexiva
• Categoría exacta , una subcategoría completa cerrada bajo extensiones.