Continuidad uniforme

En matemáticas , se dice que una función real de números reales es uniformemente continua si existe un número real positivo tal que los valores de la función en cualquier intervalo del dominio de la función de tamaño son tan cercanos entre sí como queramos. En otras palabras, para una función real uniformemente continua de números reales, si queremos que las diferencias de los valores de la función sean menores que cualquier número real positivo , entonces existe un número real positivo tal que para cualquier y en cualquier intervalo de longitud dentro del dominio de . ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle \épsilon}$${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización f}$

La diferencia entre continuidad uniforme y continuidad (ordinaria) es que, en la continuidad uniforme hay una globalmente aplicable (el tamaño de un intervalo de dominio de función sobre el cual las diferencias de valores de función son menores que ) que depende solo de , mientras que en la continuidad (ordinaria) hay una localmente aplicable que depende tanto de como de . Por lo tanto, la continuidad uniforme es una condición de continuidad más fuerte que la continuidad; una función que es uniformemente continua es continua, pero una función que es continua no es necesariamente uniformemente continua. Los conceptos de continuidad uniforme y continuidad se pueden ampliar a funciones definidas entre espacios métricos . ${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle \épsilon}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización x}$

Las funciones continuas pueden no ser uniformemente continuas si no están acotadas en un dominio acotado, como en , o si sus pendientes se vuelven ilimitadas en un dominio infinito, como en la línea real (de números). Sin embargo, cualquier función de Lipschitz entre espacios métricos es uniformemente continua, en particular cualquier isometría (función que preserva la distancia). ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\estilo de visualización (0,1)}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Aunque la continuidad puede definirse para funciones entre espacios topológicos generales, definir la continuidad uniforme requiere más estructura. El concepto se basa en comparar los tamaños de los vecindarios de puntos distintos, por lo que requiere un espacio métrico o, de manera más general, un espacio uniforme .

Para una función con espacios métricos y , se cumplen las siguientes definiciones de continuidad uniforme y continuidad (ordinaria).${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$${\displaystyle (Y,d_{2})}$

• ${\estilo de visualización f}$se llama uniformemente continua si para cada número real existe un número real tal que para cada con , tenemos . El conjunto para cada es un entorno de y el conjunto para cada es un entorno de por la definición de un entorno en un espacio métrico .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x,y\en X}$${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$${\displaystyle \{y\en X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \{x\en X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización y}$
  • Si y son subconjuntos de la recta real , entonces y pueden ser la distancia euclidiana unidimensional estándar , lo que produce la siguiente definición: para cada número real existe un número real tal que para cada , (donde es un enunciado condicional material que dice "si , entonces ").${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$$estilo de visualización d_{1}$$estilo de visualización d_{2}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x,y\en X}$${\displaystyle |xy|<\delta \implica |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$${\displaystyle A\implica B}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$
• De manera equivalente, se dice que es uniformemente continua si . Aquí se utilizan las cuantificaciones ( , , , y ).${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \paratodos \varepsilon >0\;\existe \delta >0\;\paratodos x\en X\;\paratodos y\en X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$${\displaystyle \paratodos \varepsilon >0}$${\displaystyle \existe \delta >0}$${\displaystyle \paratodos x\en X}$${\displaystyle \para todo y\en X}$
• Equivalentemente, es uniformemente continua si admite un módulo de continuidad .${\estilo de visualización f}$

• ${\estilo de visualización f}$se llama continua si para cada número real existe un número real tal que para cada con , tenemos . El conjunto es un entorno de . Por lo tanto, la continuidad (ordinaria) es una propiedad local de la función en el punto .${\displaystyle {\underline {{\text{en }}x}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle y\en X}$${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$${\displaystyle \{y\en X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$
• De manera equivalente, se dice que una función es continua si .${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \para todo x\en X\;\para todo \varepsilon >0\;\existe \delta >0\;\para todo y\en X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$
• Alternativamente, se dice que una función es continua si existe una función de todos los números reales positivos y , que representa el número real positivo máximo, tal que en cada si satisface entonces . En cada , es una función monótonamente no decreciente.${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle \delta (\varepsilon,x)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle y\en X}$${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta (\varepsilon ,x)}$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \delta (\varepsilon,x)}$

En las definiciones, la diferencia entre continuidad uniforme y continuidad es que, en la continuidad uniforme hay una globalmente aplicable (el tamaño de un entorno en sobre el cual los valores de la métrica para los valores de la función en son menores que ) que depende solo de mientras que en la continuidad hay una localmente aplicable que depende tanto de como de . La continuidad es una propiedad local de una función, es decir, una función es continua, o no, en un punto particular del dominio de la función , y esto se puede determinar observando solo los valores de la función en un entorno arbitrariamente pequeño de ese punto. Cuando hablamos de que una función es continua en un intervalo , queremos decir que la función es continua en cada punto del intervalo. Por el contrario, la continuidad uniforme es una propiedad global de , en el sentido de que la definición estándar de continuidad uniforme se refiere a cada punto de . Por otra parte, es posible dar una definición que sea local en términos de la extensión natural (cuyas características en puntos no estándar están determinadas por las propiedades globales de ), aunque no es posible dar una definición local de continuidad uniforme para una función arbitraria de valor hiperreal, ver más abajo.${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f^{*}}$${\estilo de visualización f}$

Una definición matemática de que una función es continua en un intervalo y una definición de que es uniformemente continua en son estructuralmente similares como se muestra a continuación.${\estilo de visualización f}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle I}$

La continuidad de una función para espacios métricos y en cada punto de un intervalo (es decir, la continuidad de en el intervalo ) se expresa mediante una fórmula que comienza con cuantificaciones${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$${\displaystyle (Y,d_{2})}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle I\subseteq X}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \para todo x\en I\;\para todo \varepsilon >0\;\existe \delta >0\;\para todo y\en I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$,

(métricas y son y para el conjunto de números reales ).$Estilo de visualización d_{1}(x,y)}$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))}$${\estilo de visualización |xy|}$${\displaystyle |f(x)-f(y)|}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$

Para lograr una continuidad uniforme, el orden de las cuantificaciones primera, segunda y tercera ( , , y ) se rotan:${\displaystyle \forall x\in I}$${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$${\displaystyle \exists \delta >0}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Así, para la continuidad en el intervalo, se toma un punto arbitrario del intervalo , y entonces debe existir una distancia ,${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

Mientras que para una continuidad uniforme, una sola debe funcionar uniformemente para todos los puntos del intervalo,${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\cdots .}$

Toda función uniformemente continua es continua , pero la inversa no se cumple. Consideremos, por ejemplo, la función continua donde es el conjunto de números reales . Dado un número real positivo , la continuidad uniforme requiere la existencia de un número real positivo tal que para todos con , tenemos . Pero${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$

${\displaystyle f\left(x+\delta \right)-f(x)=2x\cdot \delta +\delta ^{2},}$

y como va siendo cada vez mayor, necesita ser cada vez menor para satisfacer para los números reales positivos y el dado . Esto significa que no hay ningún número real positivo especificable (no importa cuán pequeño sea) que satisfaga la condición para que sea uniformemente continuo, por lo que no es uniformemente continuo.${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle |f(x+\beta )-f(x)|<\varepsilon }$${\displaystyle \beta <\delta }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Toda función absolutamente continua (en un intervalo compacto) es uniformemente continua. Por otra parte, la función de Cantor es uniformemente continua pero no absolutamente continua.

La imagen de un subconjunto totalmente acotado bajo una función uniformemente continua es totalmente acotada. Sin embargo, la imagen de un subconjunto acotado de un espacio métrico arbitrario bajo una función uniformemente continua no necesita ser acotada: como contraejemplo, considérese la función identidad de los enteros dotados de la métrica discreta a los enteros dotados de la métrica euclidiana usual .

El teorema de Heine-Cantor afirma que toda función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua . En particular, si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado de la recta real, es uniformemente continua en ese intervalo . La integrabilidad de Darboux de las funciones continuas se deduce casi inmediatamente de este teorema.

Si una función de valor real es continua en y existe (y es finita), entonces es uniformemente continua. En particular, cada elemento de , el espacio de funciones continuas en que se anulan en el infinito, es uniformemente continua. Esta es una generalización del teorema de Heine-Cantor mencionado anteriormente, ya que .${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$

• Las funciones lineales son los ejemplos más simples de funciones uniformemente continuas.${\displaystyle x\mapsto ax+b}$
• Cualquier función continua en el intervalo es también uniformemente continua, ya que es un conjunto compacto.${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$
• Si una función es diferenciable en un intervalo abierto y su derivada está acotada, entonces la función es uniformemente continua en ese intervalo.
• Toda función continua de Lipschitz entre dos espacios métricos es uniformemente continua. En términos más generales, toda función continua de Hölder es uniformemente continua.
• La función de valor absoluto es uniformemente continua, a pesar de no ser diferenciable en . Esto demuestra que las funciones uniformemente continuas no siempre son diferenciables.${\displaystyle x=0}$
• A pesar de no ser diferenciable en ninguna parte, la función de Weierstrass es uniformemente continua.
• Cada miembro de un conjunto de funciones uniformemente equicontinuo es uniformemente continuo.

• Las funciones que no están acotadas en un dominio acotado no son uniformemente continuas. La función tangente es continua en el intervalo , pero no es uniformemente continua en ese intervalo, ya que tiende al infinito cuando .${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle x\to \pi /2}$
• Las funciones cuya derivada tiende a infinito a medida que crece no pueden ser uniformemente continuas. La función exponencial es continua en todas partes sobre la línea real, pero no es uniformemente continua sobre la línea, ya que su derivada es , y como .${\displaystyle x}$${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{x}\to \infty }$${\displaystyle x\to \infty }$

Para una función uniformemente continua, para cada número real positivo existe un número real positivo tal que dos valores de la función y tienen la distancia máxima siempre que y están dentro de la distancia máxima . Por lo tanto, en cada punto del gráfico, si dibujamos un rectángulo con una altura ligeramente menor que y un ancho a ligeramente menor que alrededor de ese punto, entonces el gráfico se encuentra completamente dentro de la altura del rectángulo, es decir, el gráfico no pasa por el lado superior o inferior del rectángulo. Para las funciones que no son uniformemente continuas, esto no es posible; para estas funciones, el gráfico puede estar dentro de la altura del rectángulo en algún punto del gráfico, pero hay un punto en el gráfico donde el gráfico se encuentra por encima o por debajo del rectángulo. (el gráfico penetra el lado superior o inferior del rectángulo).${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(y)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle 2\varepsilon }$${\displaystyle 2\delta }$

• 
  Para funciones uniformemente continuas, para cada número real positivo hay un número real positivo tal que cuando dibujamos un rectángulo alrededor de cada punto del gráfico con un ancho ligeramente menor que y una altura ligeramente menor que , el gráfico queda completamente dentro de la altura del rectángulo.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle 2\delta }$${\displaystyle 2\varepsilon }$
• 
  Para las funciones que no son uniformemente continuas, existe un número real positivo tal que para cada número real positivo hay un punto en el gráfico de modo que cuando dibujamos un rectángulo con una altura ligeramente menor que y un ancho ligeramente menor que alrededor de ese punto, hay un valor de la función directamente encima o debajo del rectángulo. Puede haber un punto del gráfico donde el gráfico esté completamente dentro de la altura del rectángulo, pero esto no es cierto para todos los puntos del gráfico.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle 2\varepsilon }$${\displaystyle 2\delta }$

La primera definición publicada de continuidad uniforme fue la de Heine en 1870, y en 1872 publicó una prueba de que una función continua en un intervalo abierto no necesita ser uniformemente continua. Las pruebas fueron dadas casi textualmente por Dirichlet en sus conferencias sobre integrales definidas en 1854. La definición de continuidad uniforme aparece antes en el trabajo de Bolzano donde también demostró que las funciones continuas en un intervalo abierto no necesitan ser uniformemente continuas. Además, también afirma que una función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua, pero no da una prueba completa. ^[1]

En el análisis no estándar , una función de valor real de una variable real es microcontinua en un punto precisamente si la diferencia es infinitesimal siempre que sea infinitesimal. Por lo tanto, es continua en un conjunto en precisamente si es microcontinua en cada punto real . La continuidad uniforme se puede expresar como la condición de que (la extensión natural de) sea microcontinua no solo en los puntos reales en , sino en todos los puntos en su contraparte no estándar (extensión natural) en . Nótese que existen funciones de valor hiperreal que cumplen este criterio pero que no son uniformemente continuas, así como funciones de valor hiperreal uniformemente continuas que no cumplen este criterio; sin embargo, dichas funciones no se pueden expresar en la forma para ninguna función de valor real . (ver cálculo no estándar para más detalles y ejemplos).${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{*}(a+\delta )-f^{*}(a)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle ^{*}A}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$

Para una función entre espacios métricos, la continuidad uniforme implica continuidad de Cauchy (Fitzpatrick 2006). Más específicamente, sea un subconjunto de . Si una función es uniformemente continua entonces para cada par de sucesiones y tales que${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0}$

tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.}$

Sea un espacio métrico, un subconjunto de , un espacio métrico completo y una función continua. Una pregunta a responder: ¿Cuándo se puede extender a una función continua en todos los ?${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:S\rightarrow R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

Si es cerrado en , la respuesta viene dada por el teorema de extensión de Tietze . Por lo tanto, es necesario y suficiente extender hasta la clausura de en : es decir, podemos suponer sin pérdida de generalidad que es denso en , y esto tiene la agradable consecuencia adicional de que si la extensión existe, es única. Una condición suficiente para extender hasta una función continua es que sea Cauchy-continua , es decir, la imagen bajo de una sucesión de Cauchy sigue siendo Cauchy. Si es completo (y, por tanto, la completitud de ), entonces toda función continua de a un espacio métrico es Cauchy-continua. Por lo tanto, cuando es completo, se extiende a una función continua si y solo si es Cauchy-continua.${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\rightarrow R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\rightarrow R}$${\displaystyle f}$

Es fácil ver que toda función uniformemente continua es Cauchy-continua y por lo tanto se extiende a . La inversa no se cumple, ya que la función , como se vio anteriormente, no es uniformemente continua, pero es continua y por lo tanto Cauchy-continua. En general, para funciones definidas en espacios no acotados como , la continuidad uniforme es una condición bastante fuerte. Es deseable tener una condición más débil de la cual deducir la extensibilidad.${\displaystyle X}$${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle R}$

Por ejemplo, supongamos que es un número real. En el nivel de precálculo, la función puede recibir una definición precisa solo para valores racionales de (suponiendo la existencia de raíces q-ésimas de números reales positivos, una aplicación del Teorema del valor intermedio ). Sería conveniente extender a una función definida en todos los de . La identidad${\displaystyle a>1}$${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)}$

muestra que no es uniformemente continua en el conjunto de todos los números racionales; sin embargo, para cualquier intervalo acotado la restricción de a es uniformemente continua, por lo tanto, continua de Cauchy, por lo tanto se extiende a una función continua en . Pero como esto es válido para cada , entonces hay una única extensión de a una función continua en todos los .${\displaystyle f}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Q\cap I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$

De manera más general, una función continua cuya restricción a cada subconjunto acotado de es uniformemente continua es extensible a , y lo inverso se cumple si es localmente compacta .${\displaystyle f:S\rightarrow R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Una aplicación típica de la extensibilidad de una función uniformemente continua es la demostración de la fórmula de la transformada de Fourier inversa . Primero demostramos que la fórmula es válida para las funciones de prueba, ya que hay una gran cantidad de ellas. Luego extendemos la función inversa a todo el espacio utilizando el hecho de que la función lineal es continua; por lo tanto, uniformemente continua.

En el caso especial de dos espacios vectoriales topológicos y , la noción de continuidad uniforme de una función se convierte en: para cualquier entorno de cero en , existe un entorno de cero en tal que implica${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle B}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

Para las transformaciones lineales , la continuidad uniforme es equivalente a la continuidad. Este hecho se utiliza frecuentemente de manera implícita en el análisis funcional para extender una función lineal a partir de un subespacio denso de un espacio de Banach .${\displaystyle f:V\to W}$

Así como el contexto más natural y general para la continuidad son los espacios topológicos , el contexto más natural y general para el estudio de la continuidad uniforme son los espacios uniformes . Una función entre espacios uniformes se llama uniformemente continua si para cada entorno en existe un entorno en tal que para cada en tenemos en .${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))}$${\displaystyle V}$

En este contexto, también es cierto que los mapas uniformemente continuos transforman las secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy.

Cada espacio compacto de Hausdorff posee exactamente una estructura uniforme compatible con la topología. Una consecuencia de ello es una generalización del teorema de Heine-Cantor: cada función continua de un espacio compacto de Hausdorff a un espacio uniforme es uniformemente continua.

• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Isomorfismo uniforme  – Homeomorfismo uniformemente continuo

• Bourbaki, Nicolás (1989). Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Saltador. ISBN 0-387-19374-X.El Capítulo II es una referencia completa de espacios uniformes.
• Dieudonné, Jean (1960). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica.
• Fitzpatrick, Patrick (2006). Cálculo avanzado . Brooks/Cole. ISBN 0-534-92612-6.
• Kelley, John L. (1955). Topología general . Textos de posgrado en matemáticas. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Continuidad uniforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . ISBN. 978-0-07-054235-8.
• Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), "Bolzano y la continuidad uniforme", Historia Mathematica , 32 (3): 303–311, doi :10.1016/j.hm.2004.11.003