Función G de Barnes

En matemáticas , la función G de Barnes G ( z ) es una función que es una extensión de los superfactoriales a los números complejos . Está relacionada con la función gamma , la función K y la constante de Glaisher-Kinkelin , y recibió su nombre en honor al matemático Ernest William Barnes . ^[1] Puede escribirse en términos de la función gamma doble .

Formalmente, la función G de Barnes se define en la siguiente forma de producto de Weierstrass :

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni , exp ( x ) = e ^x es la función exponencial y Π denota multiplicación ( notación pi mayúscula ).${\estilo de visualización \,\gamma }$

La representación integral, que puede deducirse de la relación con la función gamma doble , es

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}$

Como función completa , G es de orden dos y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica que se muestra a continuación.

La función G de Barnes satisface la ecuación funcional

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

con normalización G (1) = 1. Nótese la similitud entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la de la función gamma de Euler :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros :

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{si }}n=0,-1,-2,\puntos \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{si }}n=1,2,\puntos \end{cases}}}$

(en particular, ) y por lo tanto${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}$

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

donde denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define de forma única la función G de Barnes si se cumple la condición de convexidad, ${\displaystyle \,\Gamma (x)}$

${\displaystyle (\para todo x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

se añade. ^[2] Además, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación, ^[3]

${\displaystyle G(x)G(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G(2x\right)}$,

¿Dónde está la constante de Glaisher-Kinkelin ?${\estilo de visualización A}$

De manera similar al teorema de Bohr-Mollerup para la función gamma , para una constante , tenemos para ^[4]${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f(x)=cG(x)}$

${\displaystyle f(x+1)=\Gamma(x)f(x)}$

y para${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)}$

como .${\displaystyle n\to \infty}$

La ecuación diferencial para la función G, junto con la ecuación funcional para la función gamma , se puede utilizar para obtener la siguiente fórmula de reflexión para la función G de Barnes (probada originalmente por Hermann Kinkelin ):

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx. }$

La integral logaritmo-tangente del lado derecho se puede evaluar en términos de la función de Clausen (de orden 2), como se muestra a continuación:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

La prueba de este resultado depende de la siguiente evaluación de la integral cotangente: introduciendo la notación para la integral logarítmica-cotangente y utilizando el hecho de que , una integración por partes da${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

Realizando la sustitución integral se obtiene${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

La función de Clausen – de segundo orden – tiene la representación integral

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.}$

Sin embargo, dentro del intervalo , el signo de valor absoluto dentro del integrando se puede omitir, ya que dentro del rango la función 'semi-seno' en la integral es estrictamente positiva y estrictamente distinta de cero. Comparando esta definición con el resultado anterior para la integral logaritmo-tangente, se cumple claramente la siguiente relación:${\displaystyle \,0<\theta <2\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

Así, después de un ligero reordenamiento de términos, la prueba está completa:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box }$

Usando la relación y dividiendo la fórmula de reflexión por un factor de se obtiene la forma equivalente:${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$${\displaystyle \,2\pi }$

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Adamchik (2003) ha dado una forma equivalente de la fórmula de reflexión , pero con una prueba diferente. ^[5]

Reemplazando z por ⁠1/2⁠  −  z en la fórmula de reflexión anterior da, después de cierta simplificación, la fórmula equivalente que se muestra a continuación (que involucra polinomios de Bernoulli ):

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

Por el teorema de Taylor , y considerando las derivadas logarítmicas de la función de Barnes, se puede obtener el siguiente desarrollo en serie:

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

Es válido para . Aquí está la función zeta de Riemann :${\displaystyle \,0<z<1}$${\displaystyle \,\zeta (x)}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Exponenciando ambos lados de la expansión de Taylor obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}$

Comparando esto con la forma del producto de Weierstrass de la función de Barnes se obtiene la siguiente relación:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Al igual que la función gamma, la función G también tiene una fórmula de multiplicación: ^[6]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

donde es una constante dada por:${\displaystyle K(n)}$

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Aquí está la derivada de la función zeta de Riemann y es la constante de Glaisher-Kinkelin .${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$${\displaystyle A}$

Es cierto que , por lo tanto . A partir de esta relación y por la forma del producto de Weierstrass presentada anteriormente se puede demostrar que${\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}}$${\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$

${\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

Esta relación es válida para valores arbitrarios de , y . Si , entonces la siguiente fórmula es válida:${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}}$

para realidad arbitraria .

El logaritmo de G ( z + 1) tiene la siguiente expansión asintótica, según lo establecido por Barnes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

Aquí están los números de Bernoulli y es la constante de Glaisher-Kinkelin . (Nótese que, de manera algo confusa en la época de Barnes ^[7], el número de Bernoulli se habría escrito como , pero esta convención ya no es actual). Esta expansión es válida para en cualquier sector que no contenga el eje real negativo con grandes.${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{2k}}$${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|}$

El log-gamma paramétrico se puede evaluar en términos de la función G de Barnes: ^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

• Askey, RA; Roy, R. (2010), "Función G de Barnes", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.