Axioma de forzamiento propio

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el axioma de forzamiento adecuado ( PFA ) es un fortalecimiento significativo del axioma de Martin , donde los forzamientos con la condición de cadena contable (ccc) son reemplazados por forzamientos adecuados.

Un conjunto forzado o parcialmente ordenado es apropiado si para todos los cardinales regulares incontables , el forzamiento con P preserva los subconjuntos estacionarios de . ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle [\lambda ]^{\omega }}$

El axioma de forzamiento adecuado afirma que si es propio y es un subconjunto denso de para cada , entonces existe un filtro tal que no está vacío para todos los .${\estilo de visualización P}$${\displaystyle D_{\alpha}}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \alpha <\omega _ {1}}$${\displaystyle G\subseteq P}$${\displaystyle D_{\alpha}\cap G}$${\displaystyle \alpha <\omega _ {1}}$

La clase de forzamientos propios a los que se puede aplicar PFA es bastante grande. Por ejemplo, los argumentos estándar muestran que si es ccc o ω-cerrado, entonces es propio. Si es una iteración de soporte contable de forzamientos propios, entonces es propio. Fundamentalmente, todos los forzamientos propios conservan .${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

PFA implica directamente su versión para forzamientos ccc, el axioma de Martin . En aritmética cardinal , PFA implica . PFA implica que cualesquiera dos subconjuntos densos de R son isomorfos, ^[1] cualesquiera dos árboles de Aronszajn son isomorfos en club, ^[2] y cada automorfismo del álgebra de Boole es trivial. ^[3] PFA implica que la Hipótesis de Cardinales Singulares se cumple. Una consecuencia especialmente notable demostrada por John R. Steel es que el axioma de determinabilidad se cumple en L(R) , el modelo interno más pequeño que contiene los números reales. Otra consecuencia es el fracaso de los principios cuadrados y, por lo tanto, la existencia de modelos internos con muchos cardinales de Woodin .${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle P(\omega ){\text{/fin}}}$

Si hay un cardinal supercompacto , entonces existe un modelo de teoría de conjuntos en el que se cumple la PFA. La prueba utiliza el hecho de que las fuerzas propias se conservan bajo iteraciones de soporte contables y el hecho de que si es supercompacto, entonces existe una función de Laver para .${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$

Aún no se sabe con precisión cuánta fuerza cardinal grande proviene de PFA, y actualmente el mejor límite inferior está un poco por debajo de la existencia de un cardinal de Woodin, que es un límite de cardinales de Woodin.

El axioma de forzamiento propio acotado (BPFA) es una variante más débil del PFA que, en lugar de subconjuntos densos arbitrarios, se aplica solo a anticadenas máximas de tamaño . El máximo de Martin es la versión más fuerte posible de un axioma de forzamiento.${\displaystyle \omega _{1}}$

Los axiomas de forzamiento son candidatos viables para extender los axiomas de la teoría de conjuntos como alternativa a los axiomas cardinales grandes .

El Teorema Fundamental de Forzamiento Propio, debido a Shelah , establece que cualquier iteración de apoyo contable de forzamientos propios es en sí misma propia. Esto se desprende del Lema de Iteración Propia, que establece que siempre que es una iteración de forzamiento de apoyo contable basada en y es una subestructura elemental contable de para un cardinal regular suficientemente grande , y y y es -genérico y obliga a , entonces existe tal que es -genérico y la restricción de a es igual a y obliga a la restricción de a a ser más fuerte o igual a .${\displaystyle (P_{\alpha })_{\alpha \leq \kappa }}$${\displaystyle (Q_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$${\estilo de visualización N}$${\displaystyle H_{\lambda}}$${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle P_{\kappa}\en N}$${\displaystyle \alpha \en \kappa \cap N}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle (N,P_{\alpha})}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle q\in P_{\kappa }/G_{P_{\alpha }}\cap N[G_{P_{\alpha }}]}$${\displaystyle r\en P_{\kappa}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle P_{\alpha}}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle [\alpha,\kappa)}$${\estilo de visualización q}$

Esta versión del Lema de Iteración Propia, en la que no se supone que el nombre esté en , se debe a Schlindwein. ^[4]${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización N}$

El lema de iteración propia se demuestra mediante una inducción bastante sencilla en , y el teorema fundamental de forzamiento propio se deduce tomando .${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle \alpha = 0}$

• Stevo Todorčević
• Saharon Shelah