Dualidad de Poincaré

En matemáticas , el teorema de dualidad de Poincaré , llamado así por Henri Poincaré , es un resultado básico sobre la estructura de los grupos de homología y cohomología de las variedades . Establece que si M es una variedad cerrada orientada n -dimensionalmente ( compacta y sin borde), entonces el k -ésimo grupo de cohomología de M es isomorfo al ( n − k ) -ésimo grupo de homología de M , para todos los enteros k

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).}$

La dualidad de Poincaré es válida para cualquier anillo de coeficientes , siempre que se haya tomado una orientación con respecto a ese anillo de coeficientes; en particular, dado que cada variedad tiene una orientación única módulo 2, la dualidad de Poincaré es válida módulo 2 sin ninguna suposición de orientación.

Una forma de dualidad de Poincaré fue enunciada por primera vez, sin prueba, por Henri Poincaré en 1893. Fue enunciada en términos de números de Betti : los números de Betti k -ésimo y ( n − k ) -ésimo de una n -variedad orientable cerrada (es decir, compacta y sin frontera) son iguales. El concepto de cohomología estaba en ese momento a unos 40 años de ser clarificado. En su artículo de 1895 Analysis Situs , Poincaré intentó demostrar el teorema utilizando la teoría de intersección topológica , que había inventado. Las críticas de su trabajo por parte de Poul Heegaard lo llevaron a darse cuenta de que su prueba tenía graves defectos. En los dos primeros complementos de Analysis Situs , Poincaré dio una nueva prueba en términos de triangulaciones duales.

La dualidad de Poincaré no adoptó su forma moderna hasta el advenimiento de la cohomología en la década de 1930, cuando Eduard Čech y Hassler Whitney inventaron los productos de copa y tapa y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.

El enunciado moderno del teorema de dualidad de Poincaré se da en términos de homología y cohomología: si M es una n -variedad orientada cerrada, entonces existe un isomorfismo definido canónicamente para cualquier entero k . Para definir dicho isomorfismo, se elige una clase fundamental fija [ M ] de M , que existirá si está orientada. Luego, el isomorfismo se define asignando un elemento al producto cap . ^[1]${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,\mathbb {Z} )}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \alpha \en H^{k}(M)}$ ${\displaystyle [M]\fruncir el ceño \alpha }$

Los grupos de homología y cohomología se definen como cero para grados negativos, por lo que la dualidad de Poincaré en particular implica que los grupos de homología y cohomología de n -variedades cerradas orientables son cero para grados mayores que n .

Aquí, la homología y la cohomología son integrales, pero el isomorfismo sigue siendo válido en cualquier anillo de coeficientes. En el caso en que una variedad orientada no sea compacta, hay que sustituir la homología por la homología de Borel-Moore.

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}^{BM}(X),}$

o reemplazar cohomología por cohomología con soporte compacto

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}(X).}$

Dada una variedad triangulada, existe una descomposición poliédrica dual correspondiente. La descomposición poliédrica dual es una descomposición en celdas de la variedad tal que las k celdas de la descomposición poliédrica dual están en correspondencia biyectiva con las ( ) celdas de la triangulación, generalizando la noción de poliedros duales .${\estilo de visualización nk}$

Precisamente, sea T una triangulación de una n -variedad M . Sea S un símplex de T . Sea un símplex top-dimensional de T que contiene a S , de modo que podemos pensar en S como un subconjunto de los vértices de . Definamos la celda dual DS correspondiente a S de modo que sea la envoltura convexa en de los baricentros de todos los subconjuntos de los vértices de que contienen a . Se puede comprobar que si S es i -dimensional, entonces DS es una celda ( − i ) -dimensional. Además, las celdas duales de T forman una descomposición CW de M , y la única celda dual ( )-dimensional que interseca una i -celda S es DS . Por tanto, el emparejamiento dado al tomar intersecciones induce un isomorfismo , donde es la homología celular de la triangulación T , y y son las homologías y cohomologías celulares de la descomposición poliédrica/CW dual de la variedad respectivamente. El hecho de que se trate de un isomorfismo de complejos de cadenas es una prueba de la dualidad de Poincaré. En términos generales, esto equivale al hecho de que la relación de contorno para la triangulación T es la relación de incidencia para la descomposición poliédrica dual bajo la correspondencia .${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle \Delta \cap DS}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle ni}$${\displaystyle C_{i}M\o veces C_{ni}M\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle C_{i}M\to C^{ni}M}$$Estilo de visualización C_{i}}$$Estilo de visualización C_{ni}M$$Estilo de visualización C^{ni}M$${\displaystyle S\longmapsto DS}$

Nótese que es un funtor contravariante mientras que es covariante . La familia de isomorfismos$Estilo de visualización H^{k}}$$Estilo de visualización: H_ {nk}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M)\to H_{nk}(M)}$

es natural en el siguiente sentido: si

${\displaystyle f\colon M\to N}$

es una función continua entre dos n -variedades orientadas que es compatible con la orientación, es decir, que asigna la clase fundamental de M a la clase fundamental de N , entonces

${\displaystyle D_{N}=f_{*}\circ D_{M}\circ f^{*},}$

donde y son los mapas inducidos por en homología y cohomología, respectivamente.$estilo de visualización f_ {*}}$${\estilo de visualización f^{*}}$${\estilo de visualización f}$

Obsérvese la hipótesis muy fuerte y crucial que asigna la clase fundamental de M a la clase fundamental de N . La naturalidad no se cumple para una función continua arbitraria , ya que en general no es una inyección en la cohomología. Por ejemplo, si es una función de recubrimiento, entonces asigna la clase fundamental de M a un múltiplo de la clase fundamental de N . Este múltiplo es el grado de la función .${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f^{*}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

Suponiendo que la variedad M es compacta, sin fronteras y orientable , sea

$estilo de visualización {\displaystyle \tau H_{i}M}$

denota el subgrupo de torsión de y sea$Estilo de visualización: H_{i}M$

${\displaystyle fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M}$

sea ​​la parte libre – todos los grupos de homología tomados con coeficientes enteros en esta sección. Luego están los mapas bilineales que son emparejamientos de dualidad (explicados a continuación).

${\displaystyle fH_{i}M\otimes fH_{ni}M\to \mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle \tau H_{i}M\otimes \tau H_{ni-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.

Aquí está el cociente de los racionales por los enteros, tomados como un grupo aditivo. Nótese que en la forma de enlace de torsión, hay un −1 en la dimensión, por lo que las dimensiones pareadas suman n − 1 , en lugar de n .${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

La primera forma se denomina típicamente producto de intersección y la segunda forma de enlace de torsión . Suponiendo que la variedad M es suave, el producto de intersección se calcula perturbando las clases de homología para que sean transversales y calculando su número de intersección orientada. Para la forma de enlace de torsión, se calcula el emparejamiento de x e y al realizar nx como el límite de alguna clase z . La forma luego toma el valor igual a la fracción cuyo numerador es el número de intersección transversal de z con y , y cuyo denominador es n .

La afirmación de que los emparejamientos son emparejamientos de dualidad significa que los mapas adjuntos

${\displaystyle fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{ni}M,\mathbb {Z} )}$

y

${\displaystyle \tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _ {\mathbb {Z} }(\tau H_{ni-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

son isomorfismos de grupos.

Este resultado es una aplicación de la dualidad de Poincaré.

${\displaystyle H_{i}M\simeq H^{ni}M}$,

junto con el teorema del coeficiente universal , que proporciona una identificación

${\displaystyle fH^{ni}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{ni}M;\mathbb {Z} )}$

y

${\displaystyle \tau H^{ni}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{ni-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{ni-1}M ;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$.

Así, la dualidad de Poincaré dice que y son isomorfos, aunque no existe ningún mapa natural que dé el isomorfismo, y de manera similar y también son isomorfos, aunque no de forma natural.$estilo de visualización fH_{i}M$$Estilo de visualización fH_{ni}M$$estilo de visualización {\displaystyle \tau H_{i}M}$${\displaystyle \tau H_{ni-1}M}$

Dimensión media

Mientras que para la mayoría de las dimensiones la dualidad de Poincaré induce un emparejamiento bilineal entre diferentes grupos de homología, en la dimensión media induce una forma bilineal en un único grupo de homología. La forma de intersección resultante es un invariante topológico muy importante.

Lo que se entiende por "dimensión media" depende de la paridad. Para la dimensión par n = 2 k , que es más común, esta es literalmente la dimensión media k , y hay una forma en la parte libre de la homología media:

${\displaystyle fH_{k}M\o veces fH_{k}M\to \mathbb {Z} }$

Por el contrario, para la dimensión impar n = 2 k + 1 , que se analiza con menos frecuencia, se trata simplemente de la dimensión media inferior k , y hay una forma en la parte de torsión de la homología en esa dimensión:

${\displaystyle \tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Sin embargo, también existe un emparejamiento entre la parte libre de la homología en la dimensión media inferior k y en la dimensión media superior k + 1 :

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .}$

Los grupos resultantes, si bien no son un único grupo con una forma bilineal, son un complejo de cadena simple y se estudian en la teoría L algebraica .

Aplicaciones

Józef Przytycki y Akira Yasuhara utilizaron este enfoque de la dualidad de Poincaré para dar una clasificación elemental de homotopía y difeomorfismo de espacios de lentes tridimensionales . ^[2]

Un resultado inmediato de la dualidad de Poincaré es que cualquier variedad cerrada de dimensión impar M tiene característica de Euler cero, lo que a su vez da como resultado que cualquier variedad que la acote tiene característica de Euler par.

La dualidad de Poincaré está estrechamente relacionada con el teorema de isomorfismo de Thom . Sea una variedad n -variedad compacta, sin límites y orientada, y M × M el producto de M consigo mismo. Sea V un entorno tubular abierto de la diagonal en M × M . Considérense las funciones:${\estilo de visualización M}$

• ${\displaystyle H_{*}M\o veces H_{*}M\to H_{*}(M\veces M)}$El producto vectorial de homología
• ${\displaystyle H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)}$inclusión.
• ${\displaystyle H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)}$ mapa de escisión donde está el haz de discos normal de la diagonal en .${\displaystyle \nu M}$${\displaystyle M\times M}$
• ${\displaystyle H_{*}(\nu M,\parcial \nu M)\to H_{*-n}M}$El isomorfismo de Thom . Esta función está bien definida, ya que existe una identificación estándar que es un fibrado orientado, por lo que se aplica el isomorfismo de Thom.${\displaystyle \nu M\equiv TM}$

Combinados, esto da una función , que es el producto de intersección , generalizando el producto de intersección discutido anteriormente. Un argumento similar con el teorema de Künneth da la forma de enlace de torsión .${\displaystyle H_{i}M\o veces H_{j}M\to H_{i+jn}M}$

Esta formulación de la dualidad de Poincaré se ha vuelto popular ^[3] ya que define la dualidad de Poincaré para cualquier teoría de homología generalizada , dado un teorema de Künneth y un isomorfismo de Thom para esa teoría de homología. Un teorema de isomorfismo de Thom para una teoría de homología ahora se considera como la noción generalizada de orientabilidad para esa teoría. Por ejemplo, una estructura ^C de espín en una variedad es un análogo preciso de una orientación dentro de la teoría k topológica compleja .

El teorema de dualidad de Poincaré-Lefschetz es una generalización para variedades con borde. En el caso no orientable, teniendo en cuenta el haz de orientaciones locales, se puede dar un enunciado que es independiente de la orientabilidad: véase dualidad de Poincaré torcida .

La dualidad de Blanchfield es una versión de la dualidad de Poincaré que proporciona un isomorfismo entre la homología de un espacio de recubrimiento abeliano de una variedad y la cohomología correspondiente con soportes compactos. Se utiliza para obtener resultados estructurales básicos sobre el módulo de Alexander y se puede utilizar para definir las firmas de un nudo .

Con el desarrollo de la teoría de la homología para incluir la teoría K y otras teorías extraordinarias a partir de 1955, se comprendió que la homología podía ser reemplazada por otras teorías, una vez que se construyeran los productos en las variedades; y ahora hay tratamientos de libros de texto en generalidad. Más específicamente, existe un teorema de dualidad de Poincaré general para una teoría de homología generalizada que requiere una noción de orientación con respecto a una teoría de homología, y se formula en términos de un teorema de isomorfismo de Thom generalizado . El teorema de isomorfismo de Thom en este sentido puede considerarse como la idea germinal para la dualidad de Poincaré para las teorías de homología generalizadas.$Estilo de visualización: H'_{*}$

La dualidad de Verdier es la generalización apropiada para objetos geométricos (posiblemente singulares ), como espacios analíticos o esquemas , mientras que la homología de intersección fue desarrollada por Robert MacPherson y Mark Goresky para espacios estratificados , como variedades algebraicas reales o complejas, precisamente para generalizar la dualidad de Poincaré a dichos espacios estratificados.

Hay muchas otras formas de dualidad geométrica en la topología algebraica , incluidas la dualidad de Lefschetz , la dualidad de Alexander , la dualidad de Hodge y la dualidad S.

Más algebraicamente, se puede abstraer la noción de complejo de Poincaré , que es un objeto algebraico que se comporta como el complejo de cadena singular de una variedad, satisfaciendo notablemente la dualidad de Poincaré en sus grupos de homología, con respecto a un elemento distinguido (correspondiente a la clase fundamental). Estos se utilizan en la teoría de la cirugía para algebraizar preguntas sobre variedades. Un espacio de Poincaré es uno cuyo complejo de cadena singular es un complejo de Poincaré. Estas no son todas variedades, pero su fracaso en ser variedades se puede medir mediante la teoría de la obstrucción .

• Descomposición de Bruhat
• Clase fundamental
• Grupo Weyl

• Blanchfield, Richard C. (1957), "Teoría de intersección de variedades con operadores con aplicaciones a la teoría de nudos", Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356, doi :10.2307/1969966, JSTOR  1969966, MR  0085512
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523

• Forma de intersección en el Atlas de Manifold
• Formulario de enlace en Manifold Atlas