Fasor

En física e ingeniería , un fasor (un acrónimo de vector de fase ^{[1] [2]} ) es un número complejo que representa una función sinusoidal cuya amplitud ( A ) y fase inicial ( θ ) son invariantes en el tiempo y cuya frecuencia angular ( ω ) es fija. Está relacionado con un concepto más general llamado representación analítica , ^[3] que descompone una sinusoide en el producto de una constante compleja y un factor que depende del tiempo y la frecuencia. La constante compleja, que depende de la amplitud y la fase, se conoce como fasor , o amplitud compleja , ^{[4] [5]} y (en textos más antiguos) seno ^[6] o incluso complexor . ^[6]

Una aplicación común es el análisis de estado estable de una red eléctrica alimentada por una corriente que varía con el tiempo , donde se supone que todas las señales son sinusoidales con una frecuencia común. La representación fasorial permite al analista representar la amplitud y la fase de la señal utilizando un único número complejo. La única diferencia en sus representaciones analíticas es la amplitud compleja (fasor). Una combinación lineal de dichas funciones se puede representar como una combinación lineal de fasores (conocida como aritmética fasorial o álgebra fasorial ^{[7] : 53} ) y el factor dependiente del tiempo/frecuencia que todos tienen en común.

El origen del término fasor sugiere acertadamente que un cálculo (diagramático) algo similar al posible para los vectores también es posible para los fasores. ^[6] Una característica adicional importante de la transformada fasorial es que la diferenciación e integración de señales sinusoidales (que tienen amplitud, período y fase constantes) corresponde a operaciones algebraicas simples en los fasores; la transformada fasorial permite así el análisis (cálculo) del estado estable de CA de los circuitos RLC resolviendo ecuaciones algebraicas simples (aunque con coeficientes complejos) en el dominio fasorial en lugar de resolver ecuaciones diferenciales (con coeficientes reales ) en el dominio del tiempo. ^{[8] [9] [a]} El creador de la transformada fasorial fue Charles Proteus Steinmetz, que trabajaba en General Electric a finales del siglo XIX. ^{[10] [11]} Se inspiró en Oliver Heaviside . El cálculo operacional de Heaviside se modificó para que la variable p se convirtiera en jω. El número complejo j tiene un significado simple: desplazamiento de fase. ^[12]

Pasando por alto algunos detalles matemáticos, la transformada fasorial también puede verse como un caso particular de la transformada de Laplace (limitada a una sola frecuencia), que, en contraste con la representación fasorial, puede usarse para derivar (simultáneamente) la respuesta transitoria de un circuito RLC. ^{[9] [11]} Sin embargo, la transformada de Laplace es matemáticamente más difícil de aplicar y el esfuerzo puede no estar justificado si solo se requiere un análisis de estado estable. ^[11]

La notación fasorial (también conocida como notación angular ) es una notación matemática utilizada en ingeniería electrónica e ingeniería eléctrica . Un vector cuyas coordenadas polares son magnitud y ángulo se escribe ^[13] y puede representar tanto el vector como el número complejo , según la fórmula de Euler con , ambos con magnitudes de 1.${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle A\ángulo \theta .}$ ${\displaystyle 1\angle \theta }$ ${\displaystyle (\cos \theta ,\,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

El ángulo puede expresarse en grados con una conversión implícita de grados a radianes . Por ejemplo, se supondría que es el vector o el número${\displaystyle 1\angle 90}$${\displaystyle 1\angle 90^{\circ },}$${\displaystyle (0,\,1)}$${\displaystyle e^{i\pi /2}=i.}$

Una sinusoide de valor real con amplitud, frecuencia y fase constantes tiene la forma:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ),}$

donde solo el parámetro es variable en el tiempo. La inclusión de un componente imaginario :${\displaystyle t}$

${\displaystyle i\cdot A\sin(\omega t+\theta )}$

le da, de acuerdo con la fórmula de Euler , la propiedad de factorización descrita en el párrafo inicial:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t},}$

cuya parte real es la senoide original. El beneficio de la representación compleja es que las operaciones lineales con otras representaciones complejas producen un resultado complejo cuya parte real refleja las mismas operaciones lineales con las partes reales de las otras senosides complejas. Además, todas las operaciones matemáticas se pueden realizar solo con los fasores y el factor común se vuelve a insertar antes de la parte real del resultado.${\displaystyle Ae^{i\theta },}$${\displaystyle e^{i\omega t}}$

La función es una representación analítica de la figura 2 que la muestra como un vector rotatorio en el plano complejo. A veces es conveniente referirse a la función completa como un fasor ^[14] , como lo hacemos en la siguiente sección.${\displaystyle Ae^{i(\omega t+\theta )}}$${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ).}$

La multiplicación del fasor por una constante compleja, , produce otro fasor. Esto significa que su único efecto es cambiar la amplitud y la fase de la sinusoide subyacente:${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$${\displaystyle Be^{i\phi }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

En electrónica, representaría una impedancia , que es independiente del tiempo. En particular, no es la notación abreviada para otro fasor. Multiplicar una corriente fasorial por una impedancia produce un voltaje fasorial. Pero el producto de dos fasores (o elevar al cuadrado un fasor) representaría el producto de dos senos, que es una operación no lineal que produce nuevos componentes de frecuencia. La notación fasorial solo puede representar sistemas con una frecuencia, como un sistema lineal estimulado por una senoide.${\displaystyle Be^{i\phi }}$

La suma de varios fasores produce otro fasor. Esto se debe a que la suma de senos con la misma frecuencia también es un seno con esa frecuencia: donde:$${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

y, si tomamos , entonces es:${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$${\displaystyle \theta _{3}}$

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$si con la función signum ;${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$${\displaystyle \operatorname {sgn} }$
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$si ;${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$si .${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$

o, a través de la ley de los cosenos en el plano complejo (o la identidad trigonométrica para las diferencias de ángulos ): donde$${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

Un punto clave es que A ₃ y θ ₃ no dependen de ω o t , lo que hace posible la notación fasorial. La dependencia del tiempo y la frecuencia se puede suprimir y volver a insertar en el resultado siempre que las únicas operaciones que se utilicen entre ellas sean las que produzcan otro fasor. En notación angular , la operación que se muestra arriba se escribe:$${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

Otra forma de ver la suma es que dos vectores con coordenadas [ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] y [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] se suman vectorialmente para producir un vector resultante con coordenadas [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (ver animación).

En física, este tipo de adición ocurre cuando las sinusoides interfieren entre sí, de manera constructiva o destructiva. El concepto de vector estático proporciona información útil para preguntas como esta: "¿Qué diferencia de fase se requeriría entre tres sinusoides idénticas para una cancelación perfecta?" En este caso, simplemente imagine tomar tres vectores de igual longitud y colocarlos cabeza con cola de manera que la última cabeza coincida con la primera cola. Claramente, la forma que satisface estas condiciones es un triángulo equilátero , por lo que el ángulo entre cada fasor y el siguiente es de 120° ( 2 π ⁄ 3  radianes), o un tercio de una longitud de onda λ ⁄ 3 . Por lo tanto, la diferencia de fase entre cada onda también debe ser de 120°, como es el caso de la energía trifásica .

En otras palabras, lo que esto demuestra es que:$${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

En el ejemplo de tres ondas, la diferencia de fase entre la primera y la última onda era de 240°, mientras que para dos ondas la interferencia destructiva ocurre a 180°. En el límite de muchas ondas, los fasores deben formar un círculo para que se produzca la interferencia destructiva, de modo que el primer fasor sea casi paralelo al último. Esto significa que para muchas fuentes, la interferencia destructiva ocurre cuando la primera y la última onda difieren en 360 grados, una longitud de onda completa . Por eso, en la difracción de rendija simple , los mínimos se producen cuando la luz del borde lejano viaja una longitud de onda completa más lejos que la luz del borde cercano.${\displaystyle \lambda }$

A medida que el vector único gira en sentido antihorario, su punta en el punto A girará una revolución completa de 360° o 2 π  radianes que representan un ciclo completo. Si la longitud de su punta móvil se transfiere a diferentes intervalos angulares en el tiempo a un gráfico como el que se muestra arriba, se dibujaría una forma de onda sinusoidal comenzando por la izquierda con tiempo cero. Cada posición a lo largo del eje horizontal indica el tiempo transcurrido desde el tiempo cero, t = 0. Cuando el vector es horizontal, la punta del vector representa los ángulos a 0°, 180° y 360°.

De la misma manera, cuando la punta del vector es vertical representa el valor pico positivo, ( + A _max ) a 90° o π ⁄ 2 y el valor pico negativo, ( − A _max ) a 270° o 3 π ⁄ 2 . Entonces el eje de tiempo de la forma de onda representa el ángulo en grados o radianes a través del cual se ha movido el fasor. Entonces podemos decir que un fasor representa un valor de voltaje o corriente escalado de un vector giratorio que está "congelado" en algún punto en el tiempo, ( t ) y en nuestro ejemplo anterior, esto está en un ángulo de 30°.

A veces, cuando analizamos formas de onda alternas, es posible que necesitemos conocer la posición del fasor, que representa la cantidad alterna en un instante determinado, especialmente cuando queremos comparar dos formas de onda diferentes en el mismo eje. Por ejemplo, voltaje y corriente. En la forma de onda anterior, hemos asumido que la forma de onda comienza en el momento t = 0 con un ángulo de fase correspondiente en grados o radianes.

Pero si una segunda forma de onda comienza a la izquierda o a la derecha de este punto cero, o si queremos representar en notación fasorial la relación entre las dos formas de onda, entonces necesitaremos tener en cuenta esta diferencia de fase, Φ de la forma de onda. Considere el diagrama a continuación del tutorial anterior sobre diferencia de fase.

La derivada o integral temporal de un fasor produce otro fasor. ^[b] Por ejemplo:$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en la representación fasorial, la derivada temporal de una sinusoide se convierte simplemente en la multiplicación por la constante .${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$

De manera similar, la integración de un fasor corresponde a la multiplicación por El factor dependiente del tiempo no se ve afectado.${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$${\displaystyle e^{i\omega t},}$

Cuando resolvemos una ecuación diferencial lineal con aritmética fasorial, simplemente estamos factorizando todos los términos de la ecuación y reinsertándolos en la respuesta. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación diferencial para el voltaje a través del capacitor en un circuito RC :${\displaystyle e^{i\omega t}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

Cuando la fuente de voltaje en este circuito es sinusoidal:$${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

podemos sustituir${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$donde fasor y fasor es la cantidad desconocida a determinar.${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$${\displaystyle V_{\text{c}}}$

En la notación abreviada del fasor, la ecuación diferencial se reduce a:$${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

Derivación

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} (V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t})={\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right)}$

( Ec.1 )

Dado que esto debe cumplirse para todos , específicamente: se deduce que:${\displaystyle t}$${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

( Ec.2 )

También se ve fácilmente que:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

Sustituyendo estos en la ecuación 1 y la ecuación 2 , multiplicando la ecuación 2 por y sumando ambas ecuaciones, se obtiene:${\displaystyle i,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}}$$

Resolviendo el voltaje del capacitor fasorial se obtiene:$${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

Como hemos visto, el factor que se multiplica representa las diferencias de amplitud y fase de con respecto a y${\displaystyle V_{\text{s}}}$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$${\displaystyle V_{\text{P}}}$${\displaystyle \theta .}$

En forma de coordenadas polares, el primer término de la última expresión es: donde .$${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$

Por lo tanto:$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

Una cantidad llamada impedancia compleja es la relación de dos fasores, que no es un fasor, porque no corresponde a una función que varía sinusoidalmente.

Con los fasores, las técnicas para resolver circuitos de CC se pueden aplicar para resolver circuitos de CA lineales. ^[a]

Ley de Ohm para resistencias

Una resistencia no tiene retrasos de tiempo y por lo tanto no cambia la fase de una señal, por lo tanto V = IR sigue siendo válido.

Ley de Ohm para resistencias, inductores y condensadores

V = IZ donde Z es la impedancia compleja.

Leyes de circuitos de Kirchhoff

Trabajar con voltajes y corrientes como fasores complejos.

En un circuito de CA tenemos potencia real ( P ), que es una representación de la potencia media que entra en el circuito, y potencia reactiva ( Q ), que indica la potencia que fluye de ida y vuelta. También podemos definir la potencia compleja S = P + jQ y la potencia aparente, que es la magnitud de S. La ley de potencia para un circuito de CA expresada en fasores es entonces S = VI ^* (donde I ^* es el conjugado complejo de I , y las magnitudes de los fasores de tensión y corriente V y de I son los valores RMS de la tensión y la corriente, respectivamente).

Teniendo en cuenta esto, podemos aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos de CA lineales de frecuencia única que contienen resistencias, condensadores e inductores . Los circuitos de CA lineales de frecuencia múltiple y los circuitos de CA con diferentes formas de onda se pueden analizar para encontrar voltajes y corrientes transformando todas las formas de onda en componentes de onda sinusoidal (usando series de Fourier ) con magnitud y fase y luego analizando cada frecuencia por separado, como lo permite el teorema de superposición . Este método de solución se aplica solo a entradas que son sinusoidales y para soluciones que están en estado estable, es decir, después de que todos los transitorios se hayan extinguido. ^[15]

El concepto se utiliza con frecuencia para representar una impedancia eléctrica . En este caso, el ángulo de fase es la diferencia de fase entre el voltaje aplicado a la impedancia y la corriente que circula a través de ella.

En el análisis de sistemas de potencia de CA trifásicos , por lo general, un conjunto de fasores se define como las tres raíces cúbicas complejas de la unidad , representadas gráficamente como magnitudes unitarias en ángulos de 0, 120 y 240 grados. Al tratar las cantidades de circuitos de CA polifásicos como fasores, los circuitos equilibrados se pueden simplificar y los circuitos desequilibrados se pueden tratar como una combinación algebraica de componentes simétricos . Este enfoque simplifica enormemente el trabajo requerido en los cálculos eléctricos de caída de voltaje, flujo de potencia y corrientes de cortocircuito. En el contexto del análisis de sistemas de potencia, el ángulo de fase a menudo se da en grados y la magnitud en valor RMS en lugar de la amplitud pico de la sinusoide.

La técnica de los sincrofasores utiliza instrumentos digitales para medir los fasores que representan los voltajes del sistema de transmisión en puntos dispersos de una red de transmisión. Las diferencias entre los fasores indican el flujo de potencia y la estabilidad del sistema.

La imagen del marco giratorio que utiliza fasores puede ser una herramienta poderosa para comprender modulaciones analógicas como la modulación de amplitud (y sus variantes ^[16] ) y la modulación de frecuencia .

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$donde el término entre paréntesis se ve como un vector giratorio en el plano complejo.

El fasor tiene una longitud , gira en sentido antihorario a una velocidad de revoluciones por segundo y en el tiempo forma un ángulo de con respecto al eje real positivo.${\displaystyle A}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \theta }$

La forma de onda puede entonces verse como una proyección de este vector sobre el eje real. Una forma de onda modulada está representada por este fasor (la portadora) y dos fasores adicionales (los fasores de modulación). Si la señal moduladora es un solo tono de la forma , donde es la profundidad de modulación y es la frecuencia de la señal moduladora, entonces para la modulación de amplitud los dos fasores de modulación están dados por,${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

Los dos fasores de modulación están en fase de modo que su suma vectorial siempre está en fase con el fasor portador. Una representación alternativa es la de dos fasores que giran en sentido contrario alrededor del extremo del fasor portador a una velocidad relativa al fasor portador. Es decir,${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

La modulación de frecuencia es una representación similar, excepto que los fasores moduladores no están en fase con la portadora. En este caso, la suma vectorial de los fasores moduladores está desplazada 90° con respecto a la fase de la portadora. Estrictamente, la representación de la modulación de frecuencia requiere fasores de modulación pequeños adicionales en etc., pero para la mayoría de los fines prácticos, estos se ignoran porque su efecto es muy pequeño.${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$

• Componentes en fase y en cuadratura
  • Diagrama de constelación
• Señal analítica , una generalización de fasores para amplitud, fase y frecuencia variables en el tiempo.
  • Envolvente compleja
• Factor de fase , un fasor de magnitud unitaria

• Douglas C. Giancoli (1989). Física para científicos e ingenieros . Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2.
• Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. (15 de julio de 1993). Libro de bolsillo de fórmulas de ingeniería eléctrica (1.ª edición). Boca Raton, FL: CRC Press. págs. 152–155. ISBN 0849344735.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Fasores .

Wikiversidad tiene una lección sobre álgebra fasorial

• Factoría fasorial
• Representación visual de los fasores
• Notación polar y rectangular
• Fasor en telecomunicaciones