Fórmula de Leibniz para determinantes

En álgebra , la fórmula de Leibniz , llamada así en honor a Gottfried Leibniz , expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Si es una matriz, donde es la entrada en la -ésima fila y -ésima columna de , la fórmula es${\estilo de visualización A}$${\displaystyle n\veces n}$$estilo de visualización a_ {ij}}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización A}$

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)i}}$

donde es la función de signo de las permutaciones en el grupo de permutaciones , que devuelve y para las permutaciones pares e impares , respectivamente.${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

Otra notación común utilizada para la fórmula es en términos del símbolo de Levi-Civita y hace uso de la notación de suma de Einstein , donde se convierte en

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

que puede ser más familiar para los físicos.

La evaluación directa de la fórmula de Leibniz a partir de la definición requiere operaciones en general (es decir, un número de operaciones asintóticamente proporcional a factorial ), porque es el número de permutaciones de orden. Esto es poco práctico incluso para . En cambio, el determinante se puede evaluar en operaciones formando la descomposición LU (normalmente mediante eliminación gaussiana o métodos similares), en cuyo caso y los determinantes de las matrices triangulares y son simplemente los productos de sus entradas diagonales. (Sin embargo, en aplicaciones prácticas de álgebra lineal numérica, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante). Véase, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997). El determinante también se puede evaluar en menos de operaciones reduciendo el problema a la multiplicación de matrices , pero la mayoría de estos algoritmos no son prácticos.${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n^{3})}$ ${\displaystyle A=LU}$${\displaystyle \det A=\det L\cdot \det U}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle O(n^{3})}$

Teorema. Existe exactamente una función que es multilineal alternada respecto de las columnas y tal que .${\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F(I)=1}$

Prueba.

Unicidad: Sea una función tal y sea una matriz. Llamemos a la -ésima columna de , es decir , de modo que${\displaystyle F}$${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A^{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

Además, denotemos el -ésimo vector columna de la matriz identidad.${\displaystyle E^{k}}$${\displaystyle k}$

Ahora uno escribe cada uno de los 's en términos de , es decir${\displaystyle A^{j}}$${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$.

Como es multilineal, uno tiene${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

De la alternancia se deduce que cualquier término con índices repetidos es cero. Por lo tanto, la suma se puede restringir a tuplas con índices no repetidos, es decir, permutaciones:

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

Como F es alternante, las columnas se pueden intercambiar hasta que se convierta en la identidad. La función de signo se define para contar la cantidad de intercambios necesarios y dar cuenta del cambio de signo resultante. Finalmente, se obtiene:${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

como se requiere que sea igual a .${\displaystyle F(I)}$${\displaystyle 1}$

Por lo tanto, ninguna función además de la función definida por la fórmula de Leibniz puede ser una función alterna multilineal con . ${\displaystyle F\left(I\right)=1}$

Existencia: Ahora demostramos que F, donde F es la función definida por la fórmula de Leibniz, tiene estas tres propiedades.

Multilineal :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

Alternando :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

Para cualquier sea la tupla igual a con los índices y intercambiados.${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$${\displaystyle \sigma '}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle j_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\underbrace {\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)} _{=0{\text{, if }}A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}\\\\\end{aligned}}}$

Así que si entonces .${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$

Finalmente, :${\displaystyle F(I)=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {\delta } _{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {\delta } _{\sigma ,\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}}}=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}})=1\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las únicas funciones multilineales alternantes con están restringidas a la función definida por la fórmula de Leibniz, y de hecho también tiene estas tres propiedades. Por lo tanto, el determinante puede definirse como la única función con estas tres propiedades.${\displaystyle F(I)=1}$${\displaystyle \det :M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

• Matriz
• Expansión de Laplace
• Regla de Cramer

• "Determinante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1 de junio de 1997). Álgebra lineal numérica . SIAM . ISBN 978-0898713619.