Euclides
Matemático griego antiguo (hacia el año 300 a. C.)

Euclides
Eclecticismo
Euclides de Jusepe de Ribera , c.  1630–1635 [1]
Años de actividadfl.  300 a. C.
Conocido por
Varios conceptos
Carrera científica
CamposMatemáticas ( Geometría )

Euclides ( en griego : Εὐκλείδης ; fl. 300 a. C.) fue un matemático griego activo como geómetra y lógico . [ 2] Considerado el «padre de la geometría», [ 3 ] es principalmente conocido por el tratado  Elementos , que estableció las bases de la geometría que dominaron en gran medida el campo hasta principios del siglo XIX. Su sistema, ahora conocido como geometría euclidiana , implicó innovaciones en combinación con una síntesis de teorías de matemáticos griegos anteriores, incluidos Eudoxo de Cnido , Hipócrates de Quíos , Tales y Teeteto . Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga , Euclides es generalmente considerado uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad y uno de los más influyentes en la historia de las matemáticas .

Se sabe muy poco sobre la vida de Euclides, y la mayor parte de la información proviene de los eruditos Proclo y Pappus de Alejandría muchos siglos después. Los matemáticos islámicos medievales inventaron una biografía fantasiosa, y los eruditos bizantinos medievales y del Renacimiento temprano lo confundieron con el filósofo anterior Euclides de Megara . Ahora se acepta generalmente que pasó su carrera en Alejandría y vivió alrededor del año 300 a. C., después de los estudiantes de Platón y antes de Arquímedes. Hay algunas especulaciones sobre que Euclides estudió en la Academia Platónica y luego enseñó en el Musaeum ; se le considera como el puente entre la tradición platónica anterior en Atenas y la tradición posterior de Alejandría.

En los Elementos , Euclides dedujo los teoremas a partir de un pequeño conjunto de axiomas . También escribió obras sobre perspectiva , secciones cónicas , geometría esférica , teoría de números y rigor matemático . Además de los Elementos , Euclides escribió un texto temprano central en el campo de la óptica , Óptica , y obras menos conocidas, entre ellas Datos y fenómenos . La autoría de Euclides de Sobre las divisiones de figuras y Catóptrica ha sido cuestionada. Se cree que escribió muchas obras perdidas.

Vida

Narrativa tradicional

Detalle de la impresión que Rafael hizo de Euclides enseñando a los estudiantes en La Escuela de Atenas (1509-1511)

El nombre inglés 'Euclides' es la versión anglicanizada del nombre griego antiguo Eukleídes ( Εὐκλείδης ). [4] [a] Se deriva de 'eu-' (εὖ; 'bien') y 'klês' (-κλῆς; 'fama'), que significa "renombrado, glorioso". [6] En inglés, por metonimia , 'Euclides' puede significar su obra más conocida, Elementos de Euclides , o una copia de la misma, [5] y a veces es sinónimo de 'geometría'. [2]

Al igual que con muchos matemáticos griegos antiguos , los detalles de la vida de Euclides son en su mayoría desconocidos. [7] Se le acepta como autor de cuatro tratados en su mayoría existentes: los Elementos , Óptica , Datos y Fenómenos , pero aparte de esto, no se sabe nada con certeza sobre él. [8] [b] La narrativa tradicional sigue principalmente el relato del siglo V d. C. de Proclo en su Comentario al Primer Libro de los Elementos de Euclides , así como algunas anécdotas de Pappus de Alejandría a principios del siglo IV. [4] [c]

Según Proclo, Euclides vivió poco después de varios de los seguidores de Platón ( m.  347 a. C.) y antes del matemático Arquímedes ( c.  287  - c.  212 a. C.); [d] específicamente, Proclo situó a Euclides durante el gobierno de Ptolomeo I ( r.  305/304-282 a. C.). [7] [8] [e] Se desconoce la fecha de nacimiento de Euclides; algunos estudiosos estiman alrededor de 330 [11] [12] o 325 a. C., [2] [13] pero otros se abstienen de especular. [14] Se presume que era de ascendencia griega, [11] pero se desconoce su lugar de nacimiento. [15] [f] Proclo sostuvo que Euclides siguió la tradición platónica , pero no hay una confirmación definitiva de esto. [17] Es poco probable que fuera contemporáneo de Platón, por lo que a menudo se presume que fue educado por los discípulos de Platón en la Academia Platónica de Atenas. [18] El historiador Thomas Heath apoyó esta teoría, señalando que la mayoría de los geómetras capaces vivían en Atenas, incluidos muchos de aquellos en cuyo trabajo se basó Euclides; [19] el historiador Michalis Sialaros considera que esto es una mera conjetura. [4] [20] En cualquier caso, el contenido de la obra de Euclides demuestra familiaridad con la tradición de la geometría platónica. [11]

En su Colección , Pappus menciona que Apolonio estudió con los estudiantes de Euclides en Alejandría , y esto se ha tomado para implicar que Euclides trabajó y fundó una tradición matemática allí. [8] [21] [19] La ciudad fue fundada por Alejandro Magno en 331 a. C., [22] y el gobierno de Ptolomeo I desde 306 a. C. en adelante le dio una estabilidad que fue relativamente única en medio de las caóticas guerras por la división del imperio de Alejandro . [23] Ptolomeo comenzó un proceso de helenización y encargó numerosas construcciones, construyendo la enorme institución Musaeum , que fue un centro líder de educación. [15] [g] Se especula que Euclides fue uno de los primeros eruditos del Musaeum. [22] Se desconoce la fecha de la muerte de Euclides; se ha especulado que murió alrededor del  270 a. C. [ 22]

Identidad e historicidad

El cuadro de Domenico Maroli de 1650 Euclides de Megara se disfraza de mujer para escuchar a Sócrates enseñar en Atenas . En aquella época, se consideraba erróneamente que Euclides el filósofo y Euclides el matemático eran la misma persona, por lo que este cuadro incluye objetos matemáticos sobre la mesa. [25]

A Euclides se le suele llamar "Euclides de Alejandría" para diferenciarlo del filósofo anterior Euclides de Megara , un alumno de Sócrates incluido en los diálogos de Platón con quien se le confundió históricamente. [4] [14] Valerio Máximo , el compilador romano de anécdotas del siglo I d. C., sustituyó por error el nombre de Euclides por el de Eudoxo (siglo IV a. C.) como el matemático a quien Platón envió a quienes le preguntaban cómo duplicar el cubo . [26] Quizás sobre la base de esta mención de un Euclides matemático aproximadamente un siglo antes, Euclides se confundió con Euclides de Megara en fuentes bizantinas medievales (ahora perdidas), [27] lo que finalmente llevó a que a Euclides el matemático se le atribuyeran detalles de las biografías de ambos hombres y se lo describiera como Megarensis ( lit. ' de Megara ' ). [4] [28] El erudito bizantino Theodore Metochites ( c.  1300 ) confundió explícitamente a los dos Euclides, como lo hizo el impresor Erhard Ratdolt en la editio princeps de 1482 de la traducción latina de los Elementos de Campanus de Novara . [27] Después de que el matemático Bartolomeo Zamberti  [fr; de] añadiera la mayoría de los fragmentos biográficos existentes sobre Euclides al prefacio de su traducción de 1505 de los Elementos , las publicaciones posteriores pasaron por alto esta identificación. [27] Los eruditos renacentistas posteriores, particularmente Peter Ramus , reevaluaron esta afirmación, demostrando que era falsa a través de problemas de cronología y contradicciones en las fuentes tempranas. [27] 

Las fuentes árabes medievales proporcionan una gran cantidad de información sobre la vida de Euclides, pero son completamente inverificables. [4] La mayoría de los académicos las consideran de dudosa autenticidad; [8] Heath, en particular, sostiene que la ficcionalización se hizo para fortalecer la conexión entre un matemático reverenciado y el mundo árabe. [17] También hay numerosas historias anecdóticas sobre Euclides, todas de historicidad incierta, que "lo retratan como un anciano amable y gentil". [29] La más conocida de ellas es la historia de Proclo sobre Ptolomeo preguntando a Euclides si había un camino más rápido para aprender geometría que leyendo sus Elementos , a lo que Euclides respondió con "no hay un camino real hacia la geometría". [29] Esta anécdota es cuestionable ya que una interacción muy similar entre Menecmo y Alejandro Magno está registrada por Estobeo . [30] Ambos relatos fueron escritos en el siglo V d. C., ninguno indica su fuente y ninguno aparece en la literatura griega antigua. [31]

Cualquier datación firme de la actividad de Euclides alrededor del  300 a. C. se pone en duda por la falta de referencias contemporáneas. [4] La primera referencia original a Euclides se encuentra en la carta introductoria de Apolonio a las Cónicas (principios del siglo II a. C.): "El tercer libro de las Cónicas contiene muchos teoremas asombrosos que son útiles tanto para las síntesis como para las determinaciones del número de soluciones de los lugares geométricos sólidos . La mayoría de estos, y los mejores de ellos, son nuevos. Y cuando los descubrimos, nos dimos cuenta de que Euclides no había hecho la síntesis del lugar geométrico en tres y cuatro líneas, sino solo un fragmento accidental de él, e incluso eso no se hizo felizmente". [26] Se especula que Los Elementos estuvo al menos parcialmente en circulación en el siglo III a. C., ya que Arquímedes y Apolonio dan por sentadas varias de sus proposiciones; [4] sin embargo, Arquímedes emplea una variante más antigua de la teoría de las proporciones que la que se encuentra en Los Elementos . [8] Las copias físicas más antiguas del material incluido en los Elementos , que datan de aproximadamente el año 100 d. C., se pueden encontrar en fragmentos de papiro desenterrados en un antiguo montón de basura de Oxirrinco , en el Egipto romano . Las citas directas más antiguas existentes a los Elementos en obras cuyas fechas se conocen con certeza no son hasta el siglo II d. C., por Galeno y Alejandro de Afrodisias ; en ese momento era un texto escolar estándar. [26] Algunos matemáticos griegos antiguos mencionan a Euclides por su nombre, pero generalmente se lo conoce como "ὁ στοιχειώτης" ("el autor de los Elementos "). [32] En la Edad Media, algunos eruditos sostenían que Euclides no era un personaje histórico y que su nombre surgía de una corrupción de términos matemáticos griegos. [33]

Obras

Elementos

Fragmento de papiro de los Elementos de Euclides, datado entre  el 75 y el 125 d . C. , encontrado en Oxirrinco ; el diagrama acompaña al Libro II, Proposición 5. [34]

Euclides es más conocido por su tratado de trece libros, los Elementos ( griego : Στοιχεῖα ; Stoicheia ), considerado su obra magna . [3] [35] Gran parte de su contenido se origina en matemáticos anteriores, incluidos Eudoxo , Hipócrates de Quíos , Tales y Teeteto , mientras que otros teoremas son mencionados por Platón y Aristóteles. [36] Es difícil diferenciar el trabajo de Euclides del de sus predecesores, especialmente porque los Elementos esencialmente reemplazaron a las matemáticas griegas mucho más antiguas y ahora perdidas. [37] [h] El clasicista Markus Asper concluye que "aparentemente el logro de Euclides consiste en ensamblar el conocimiento matemático aceptado en un orden coherente y agregar nuevas pruebas para llenar los vacíos" y la historiadora Serafina Cuomo lo describió como un "depósito de resultados". [38] [36] A pesar de esto, Sialaros añade que "la estructura notablemente estricta de los Elementos revela un control del autor más allá de los límites de un simple editor". [9]

Los Elementos no tratan exclusivamente de geometría, como a veces se cree. [37] Tradicionalmente se divide en tres temas: geometría plana (libros 1-6), teoría básica de números (libros 7-10) y geometría de sólidos (libros 11-13), aunque el libro 5 (sobre proporciones) y el 10 (sobre líneas irracionales ) no encajan exactamente en este esquema. [39] [40] El corazón del texto son los teoremas dispersos por todo el texto. [35] Usando la terminología de Aristóteles, estos pueden separarse generalmente en dos categorías: "primeros principios" y "segundos principios". [41] El primer grupo incluye enunciados etiquetados como "definición" ( griego : ὅρος o ὁρισμός ), "postulado" ( αἴτημα ), o "noción común" ( κοινὴ ἔννοια ); [41] [42] sólo el primer libro incluye postulados —más tarde conocidos como axiomas— y nociones comunes. [37] [i] El segundo grupo consiste en proposiciones, presentadas junto con pruebas matemáticas y diagramas. [41] Se desconoce si Euclides pretendía que los Elementos fueran un libro de texto, pero su método de presentación lo hace un ajuste natural. [9] En conjunto, la voz del autor sigue siendo general e impersonal. [36]

Contenido

Postulados y nociones comunes de Euclides [43]
No.Postulados
Sea postulado lo siguiente:
1Trazar una línea recta desde cualquier punto hasta cualquier punto [j]
2Producir una línea recta finita de forma continua en una línea recta.
3Para describir un círculo con cualquier centro y distancia.
4Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí
5Que si una recta que cae sobre dos rectas hace que los
ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos rectos,
las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en aquel lado
en el que los ángulos son menores que los dos rectos.
No.Nociones comunes
1Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí.
2Si se suman números iguales a números iguales, los totales son iguales
3Si se restan números iguales de números iguales, los restos son iguales
4Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
5El todo es mayor que la parte

El Libro 1 de los Elementos es fundamental para todo el texto. [37] Comienza con una serie de 20 definiciones de conceptos geométricos básicos como líneas , ángulos y varios polígonos regulares . [44] Euclides presenta luego 10 supuestos (ver tabla, derecha), agrupados en cinco postulados (axiomas) y cinco nociones comunes. [45] [k] Estos supuestos tienen como objetivo proporcionar la base lógica para cada teorema posterior, es decir, servir como un sistema axiomático . [46] [l] Las nociones comunes se refieren exclusivamente a la comparación de magnitudes . [48] Mientras que los postulados 1 a 4 son relativamente sencillos, [m] el quinto se conoce como el postulado de las paralelas y particularmente famoso. [48] [n] El Libro 1 también incluye 48 proposiciones, que pueden dividirse libremente en aquellas relacionadas con teoremas básicos y construcciones de geometría plana y congruencia de triángulos (1–26); líneas paralelas (27–34); el área de triángulos y paralelogramos (35-45); y el teorema de Pitágoras (46-48). [48] El último de estos incluye la prueba más antigua que sobrevive del teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como "notablemente delicada". [41]

El Libro 2 se entiende tradicionalmente como relacionado con el " álgebra geométrica ", aunque esta interpretación ha sido muy debatida desde la década de 1970; los críticos describen la caracterización como anacrónica, ya que los fundamentos del álgebra naciente ocurrieron muchos siglos después. [41] El segundo libro tiene un alcance más centrado y proporciona principalmente teoremas algebraicos para acompañar varias formas geométricas. [37] [48] Se centra en el área de rectángulos y cuadrados (ver Cuadratura ), y conduce a un precursor geométrico de la ley de los cosenos . [50] El Libro 3 se centra en los círculos, mientras que el 4º analiza los polígonos regulares , especialmente el pentágono . [37] [51] El Libro 5 es una de las secciones más importantes de la obra y presenta lo que generalmente se denomina como la "teoría general de la proporción". [52] [o] El Libro 6 utiliza la "teoría de las proporciones " en el contexto de la geometría plana. [37] Está construido casi en su totalidad a partir de su primera proposición: [53] "Los triángulos y paralelogramos que están a la misma altura son entre sí como sus bases". [54]

Los cinco sólidos platónicos , componentes fundamentales de la geometría de sólidos que aparecen en los libros 11 a 13

A partir del Libro 7 en adelante, el matemático Benno Artmann  [de] señala que "Euclides comienza de nuevo. No se utiliza nada de los libros anteriores". [55] La teoría de números está cubierta por los libros 7 a 10, el primero comienza con un conjunto de 22 definiciones de paridad , números primos y otros conceptos relacionados con la aritmética. [37] El Libro 7 incluye el algoritmo de Euclides , un método para encontrar el máximo común divisor de dos números. [55] El octavo libro analiza las progresiones geométricas , mientras que el libro 9 incluye la proposición, ahora llamada teorema de Euclides , de que hay infinitos números primos . [37] De los Elementos , el libro 10 es, con mucho, el más grande y complejo, y trata de números irracionales en el contexto de magnitudes. [41]

Los últimos tres libros (11-13) tratan principalmente de geometría de sólidos . [39] Al introducir una lista de 37 definiciones, el Libro 11 contextualiza los dos siguientes. [56] Aunque su carácter fundacional se asemeja al Libro 1, a diferencia de este último no presenta ningún sistema axiomático o postulados. [56] Las tres secciones del Libro 11 incluyen contenido sobre geometría de sólidos (1-19), ángulos sólidos (20-23) y sólidos paralelepipédicos (24-37). [56]

Otras obras

Construcción de un dodecaedro regular por parte de Euclides

Además de los Elementos , han sobrevivido hasta nuestros días al menos cinco obras de Euclides que siguen la misma estructura lógica que los Elementos , con definiciones y proposiciones demostradas.

  • La catóptrica se ocupa de la teoría matemática de los espejos, en particular de las imágenes formadas en espejos cóncavos planos y esféricos, aunque a veces se cuestiona su atribución. [57]
  • Los Datos ( griego : Δεδομένα ), es un texto algo breve que trata sobre la naturaleza y las implicaciones de la información "dada" en problemas geométricos. [57]
  • Sobre las divisiones ( griego : Περὶ Διαιρέσεων ) sobrevive solo parcialmente en traducción árabe , y trata de la división de figuras geométricas en dos o más partes iguales o en partes en proporciones dadas . Incluye treinta y seis proposiciones y es similar a las Cónicas de Apolonio . [57]
  • La Óptica ( en griego : Ὀπτικά ) es el tratado griego sobre perspectiva más antiguo que se conserva. Incluye una introducción a la óptica geométrica y las reglas básicas de la perspectiva . [57]
  • Los Fenómenos ( griego : Φαινόμενα ) es un tratado sobre astronomía esférica , que sobrevive en griego; es similar a Sobre la esfera en movimiento de Autolycus de Pitane , que floreció alrededor del 310 a. C. [57]

Obras perdidas

Se atribuyen de forma creíble otras cuatro obras a Euclides, pero se han perdido. [9]

  • Las Cónicas ( en griego : Κωνικά ) fue un estudio de cuatro libros sobre las secciones cónicas , que luego fue reemplazado por el tratamiento más completo de Apolonio del mismo nombre. [58] [57] La ​​existencia de la obra se conoce principalmente por Pappus, quien afirma que los primeros cuatro libros de las Cónicas de Apolonio se basan en gran medida en el trabajo anterior de Euclides. [59] El historiador Alexander Jones  [de] ha puesto en duda esta afirmación , debido a la escasa evidencia y a ninguna otra corroboración del relato de Pappus. [59]
  • La Pseudaria ( griego : Ψευδάρια ; lit. ' Falacias ' ), fue, según Proclo en (70.1–18), un texto de razonamiento geométrico , escrito para aconsejar a los principiantes sobre cómo evitar las falacias comunes. [58] [57] Se sabe muy poco de su contenido específico aparte de su alcance y unas pocas líneas existentes. [60] 
  • Los Porismos ( griego : Πορίσματα ; lit. ' Corolarios ' ) fueron, basados ​​en relatos de Pappus y Proclo, probablemente un tratado de tres libros con aproximadamente 200 proposiciones. [58] [57] El término ' porismo ' en este contexto no se refiere a un corolario , sino a "un tercer tipo de proposición -un intermedio entre un teorema y un problema- cuyo objetivo es descubrir una característica de una entidad geométrica existente, por ejemplo, encontrar el centro de un círculo". [57] El matemático Michel Chasles especuló que estas proposiciones ahora perdidas incluían contenido relacionado con las teorías modernas de transversales y geometría proyectiva . [58] [p] 
  • El contenido de Surface Loci ( griego : Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) es prácticamente desconocido, aparte de la especulación basada en el título de la obra. [58] La conjetura basada en relatos posteriores ha sugerido que trataba sobre conos y cilindros, entre otros temas. [57]

Legado

La portada de la edición en color de los Elementos de Oliver Byrne de 1847

Euclides es generalmente considerado junto con Arquímedes y Apolonio de Perge como uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad. [11] Muchos comentaristas lo citan como una de las figuras más influyentes en la historia de las matemáticas . [2] El sistema geométrico establecido por los Elementos dominó durante mucho tiempo el campo; sin embargo, hoy en día ese sistema a menudo se conoce como " geometría euclidiana " para distinguirlo de otras geometrías no euclidianas descubiertas a principios del siglo XIX. [61] Entre los muchos homónimos de Euclides se encuentran la nave espacial Euclid de la Agencia Espacial Europea (ESA) , [62] el cráter lunar Euclides , [63] y el planeta menor 4354 Euclides . [64]

Los Elementos se considera a menudo, después de la Biblia , el libro más frecuentemente traducido, publicado y estudiado en la historia del mundo occidental . [61] Junto con la Metafísica de Aristóteles , Los Elementos es quizás el texto griego antiguo más exitoso, y fue el libro de texto matemático dominante en los mundos árabe y latino medieval. [61]

La primera edición en inglés de los Elementos fue publicada en 1570 por Henry Billingsley y John Dee . [27] El matemático Oliver Byrne publicó una conocida versión de los Elementos en 1847 titulada Los primeros seis libros de los Elementos de Euclides en los que se utilizan diagramas y símbolos coloreados en lugar de letras para facilitar el aprendizaje , que incluía diagramas coloreados destinados a aumentar su efecto pedagógico. [65] David Hilbert fue autor de una axiomatización moderna de los Elementos . [66]

Referencias

Notas

  1. ^ En inglés moderno, 'Euclides' se pronuncia como / ˈ j uː k l ɪ d / . [5]
  2. ↑ La obra de Euclides también incluye el tratado Sobre las divisiones , que sobrevive fragmentado en una fuente árabe posterior. [9] También fue autor de numerosas obras perdidas. [9]
  3. ^ Parte de la información de Pappus de Alejandría sobre Euclides se ha perdido y se conservó en el Comentario de Proclo al Primer Libro de los Elementos de Euclides . [10]
  4. ^ Es probable que Proclo trabajara a partir de historias de las matemáticas del siglo IV a. C. (hoy perdidas) escritas por Teofrasto y Eudemo de Rodas . Proclo menciona explícitamente a Amiclas de Heraclea, Menecmo y su hermano Dinostrato , Teudio de Magnesia , Ateneo de Cícico , Hermótimo de Colofón y Filipo de Mende , y dice que Euclides llegó "poco después" de estos hombres.
  5. ^ Véase Heath 1981, p. 354 para una traducción al inglés del relato de Proclo sobre la vida de Euclides.
  6. ^ Fuentes árabes posteriores afirman que era un griego nacido en la actual Tiro, Líbano , aunque estos relatos se consideran dudosos y especulativos. [8] [4] Véase Heath 1981, p. 355 para una traducción al inglés del relato árabe. Durante mucho tiempo se sostuvo que había nacido en Megara, pero en el Renacimiento se concluyó que había sido confundido con el filósofo Euclides de Megara , [16] véase §Identidad e historicidad
  7. ↑ El Musaeum incluiría más tarde la famosa Biblioteca de Alejandría , pero probablemente fue fundado más tarde, durante el reinado de Ptolomeo II Filadelfo (285-246 a. C.). [24]
  8. ^ La versión de Elementos disponible hoy en día también incluye matemáticas "post-euclidianas", probablemente añadidas más tarde por editores posteriores como el matemático Teón de Alejandría en el siglo IV. [36]
  9. ^ El uso del término "axioma" en lugar de "postulado" se deriva de la elección de Proclo de hacerlo así en su influyente comentario sobre los Elementos . Proclo también sustituyó el término "noción común" por "hipótesis", aunque conservó el de "postulado". [42]
  10. ^ Véase también: Relación euclidiana
  11. ^ La distinción entre estas categorías no es inmediatamente clara; los postulados pueden referirse simplemente a la geometría específicamente, mientras que las nociones comunes tienen un alcance más general. [45]
  12. ↑ El matemático Gerard Venema señala que este sistema axiomático no es completo: «Euclides asumió más de lo que enunciaba en los postulados». [47]
  13. ^ Véase Heath 1908, págs. 195-201 para una descripción detallada de los postulados 1 a 4.
  14. ^ Desde la antigüedad, se han escrito enormes cantidades de trabajos académicos sobre el quinto postulado, generalmente por parte de matemáticos que intentaban demostrarlo , lo que lo haría diferente de los otros cuatro postulados, que no se pueden demostrar. [49]
  15. ^ Gran parte del Libro 5 probablemente fue obtenido de matemáticos anteriores, tal vez Eudoxo. [41]
  16. ^ Véase Jones 1986, págs. 547-572 para obtener más información sobre los porismos.

Citas

  1. ^ Getty.
  2. ^ abcd Bruno 2003, pág. 125.
  3. ^ ab Sialaros 2021, § "Resumen".
  4. ^ abcdefghi Sialaros 2021, § "Vida".
  5. ^ desde OEDa.
  6. ^ OEDb.
  7. ^Ab Heath 1981, pág. 354.
  8. ^ abcdef Asper 2010, § párr. 1.
  9. ^ abcde Sialaros 2021, § "Obras".
  10. ^ Heath 1911, pág. 741.
  11. ^ abcd Ball 1960, pág. 52.
  12. ^ Sialaros 2020, pág. 141.
  13. ^ Goulding 2010, pág. 125.
  14. ^ desde Smorynski 2008, pág. 2.
  15. ^ desde Boyer 1991, pág. 100.
  16. ^ Goulding 2010, pág. 118.
  17. ^Ab Heath 1981, pág. 355.
  18. ^ Goulding 2010, pág. 126.
  19. ^Ab Heath 1908, pág. 2.
  20. ^ Sialaros 2020, págs. 147–148.
  21. ^ Sialaros 2020, pág. 142.
  22. ^ abc Bruno 2003, pág. 126.
  23. ^ Bola 1960, pág. 51.
  24. ^ Tracy 2000, págs. 343–344.
  25. ^ Sialaros 2021, § “Vida” y Nota 5.
  26. ^ Jones 2005.
  27. ^ abcde Goulding 2010, pág. 120.
  28. ^ Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Vida".
  29. ^Ab Boyer 1991, pág. 101.
  30. ^ Boyer 1991, pág. 96.
  31. ^ Sialaros 2018, pág. 90.
  32. ^ Heath 1981, pág. 357.
  33. ^ Ball 1960, págs. 52-53.
  34. ^ Fowler 1999, págs. 210-211.
  35. ^ ab Asper 2010, § párrafo 2.
  36. ^ abcd Asper 2010, § párr. 6.
  37. ^ abcdefghi Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Fuentes y contenidos de los Elementos ".
  38. ^ Cuomo 2005, pág. 131.
  39. ^ desde Artmann 2012, pág. 3.
  40. ^ Asper 2010, § párrafo 4.
  41. ^ abcdefg Sialaros 2021, § "Los Elementos ".
  42. ^ por Jahnke 2010, pág. 18.
  43. ^ Heath 1908, págs. 154-155.
  44. ^ Artmann 2012, págs. 3–4.
  45. ^ desde Wolfe 1945, pág. 4.
  46. ^ Pickover 2009, pág. 56.
  47. ^ Venema 2006, pág. 10.
  48. ^ abcd Artmann 2012, pág. 4.
  49. ^ Heath 1908, pág. 202.
  50. ^ Katz y Michalowicz 2020, pág. 59.
  51. ^ Artmann 2012, pág. 5.
  52. ^ Artmann 2012, págs. 5-6.
  53. ^ Artmann 2012, pág. 6.
  54. ^ Heath 1908b, pág. 191.
  55. ^ desde Artmann 2012, pág. 7.
  56. ^ abc Artmann 2012, pág. 9.
  57. ^ abcdefghij Sialaros 2021, § "Otras obras".
  58. ^ abcde Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Otros escritos".
  59. ^ desde Jones 1986, págs. 399–400.
  60. ^ Acerbi 2008, pág. 511.
  61. ^ abc Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Legado".
  62. ^ "La NASA entrega detectores para la nave espacial Euclid de la ESA". Laboratorio de Propulsión a Chorro . 9 de mayo de 2017.
  63. ^ "Diccionario geográfico de nomenclatura planetaria | Euclides". usgs.gov . Unión Astronómica Internacional . Consultado el 3 de septiembre de 2017 .
  64. ^ "4354 Euclides (2142 PL)". Centro de Planetas Menores . Consultado el 27 de mayo de 2018 .
  65. ^ Hawes y Kolpas 2015.
  66. ^ Hähl & Peters 2022, § párr. 1.

Fuentes

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  • Copia en PDF, con el original en griego y una traducción al inglés en páginas opuestas, Universidad de Texas .
  • Los trece libros, en varios idiomas como español, catalán, inglés, alemán, portugués, árabe, italiano, ruso y chino.
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