Estabilidad BIBO

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En el procesamiento de señales , específicamente en la teoría de control , la estabilidad de entrada limitada y salida limitada ( BIBO ) es una forma de estabilidad para señales y sistemas que reciben entradas. Si un sistema es estable BIBO, entonces la salida estará limitada para cada entrada al sistema que esté limitada.

Una señal está acotada si existe un valor finito tal que la magnitud de la señal nunca excede , es decir${\displaystyle B>0}$${\estilo de visualización B}$

Para señales de tiempo discreto :${\displaystyle \existe B\para todo n(\|y[n]|\leq B)\cuadrado n\en \mathbb {Z} }$

Para señales de tiempo continuo :${\displaystyle \existe B\para todo t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\en \mathbb {R} }$

Para un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de tiempo continuo , la condición para la estabilidad de BIBO es que la respuesta al impulso , , sea absolutamente integrable , es decir, exista su norma L ^{1 .}${\estilo de visualización h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Para un sistema LTI de tiempo discreto , la condición para la estabilidad BIBO es que la respuesta al impulso sea absolutamente sumable , es decir, que exista su norma .${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle \ \suma _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Dado un sistema LTI de tiempo discreto con respuesta al impulso, la relación entre la entrada y la salida es${\displaystyle \ h[n]}$${\displaystyle \ x[n]}$${\displaystyle \ y[n]}$

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$

donde denota convolución . Luego se sigue por la definición de convolución${\estilo de visualización *}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _ {k=-\infty }^{\infty }h[k]x[nk]}$

Sea el valor máximo de , es decir, la -norma .${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$${\displaystyle \ |x[n]|}$${\displaystyle L_{\infty}}$

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[nk]x[k]\right|}$

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\izquierda|h[nk]\derecha|\izquierda|x[k]\derecha|}$(por la desigualdad triangular )

${\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}}$

Si es absolutamente sumable, entonces y${\displaystyle h[n]}$${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$

Así que si es absolutamente sumable y está acotado, entonces también está acotado porque .${\displaystyle h[n]}$${\displaystyle \left|x[n]\right|}$${\displaystyle \left|y[n]\right|}$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

La prueba del tiempo continuo sigue los mismos argumentos.

Para un sistema racional y de tiempo continuo , la condición para la estabilidad es que la región de convergencia (ROC) de la transformada de Laplace incluya el eje imaginario . Cuando el sistema es causal , la ROC es la región abierta a la derecha de una línea vertical cuya abscisa es la parte real del "polo más grande", o el polo que tiene la parte real más grande de cualquier polo en el sistema. La parte real del polo más grande que define la ROC se llama abscisa de convergencia . Por lo tanto, todos los polos del sistema deben estar en la mitad izquierda estricta del plano s para la estabilidad BIBO.

Esta condición de estabilidad se puede derivar de la condición del dominio del tiempo anterior de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}}$

donde y${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}$

La región de convergencia debe por tanto incluir el eje imaginario .

Para un sistema de tiempo racional y discreto , la condición para la estabilidad es que la región de convergencia (ROC) de la transformada z incluya el círculo unitario . Cuando el sistema es causal , la ROC es la región abierta fuera de un círculo cuyo radio es la magnitud del polo con mayor magnitud. Por lo tanto, todos los polos del sistema deben estar dentro del círculo unitario en el plano z para la estabilidad BIBO.

Esta condición de estabilidad se puede derivar de manera similar a la derivación de tiempo continuo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}}$

donde y .${\displaystyle z=re^{j\omega }}$${\displaystyle r=|z|=1}$

Por tanto, la región de convergencia debe incluir el círculo unitario .

• Teoría de sistemas LTI
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