Teoría de la estabilidad

En matemáticas , la teoría de la estabilidad aborda la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales y de las trayectorias de sistemas dinámicos bajo pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales. La ecuación del calor , por ejemplo, es una ecuación diferencial parcial estable porque pequeñas perturbaciones de los datos iniciales conducen a pequeñas variaciones de temperatura en un momento posterior como resultado del principio del máximo . En ecuaciones diferenciales parciales se pueden medir las distancias entre funciones utilizando normas L ^p o la norma sup, mientras que en geometría diferencial se puede medir la distancia entre espacios utilizando la distancia de Gromov-Hausdorff .

En sistemas dinámicos, una órbita se denomina estable de Lyapunov si la órbita delantera de cualquier punto está en un entorno lo suficientemente pequeño o permanece en un entorno pequeño (pero quizás, más grande). Se han desarrollado varios criterios para demostrar la estabilidad o inestabilidad de una órbita. En circunstancias favorables, la cuestión puede reducirse a un problema bien estudiado que involucra valores propios de matrices . Un método más general involucra funciones de Lyapunov . En la práctica, se aplica cualquiera de varios criterios de estabilidad diferentes.

Muchas partes de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos tratan de las propiedades asintóticas de las soluciones y las trayectorias (qué sucede con el sistema después de un largo período de tiempo). El tipo de comportamiento más simple se exhibe mediante puntos de equilibrio o puntos fijos y mediante órbitas periódicas . Si se entiende bien una órbita particular, es natural preguntar a continuación si un pequeño cambio en la condición inicial conducirá a un comportamiento similar. La teoría de la estabilidad aborda las siguientes preguntas: ¿Una órbita cercana permanecerá indefinidamente cerca de una órbita dada? ¿Convergerá a la órbita dada? En el primer caso, la órbita se llama estable ; en el segundo caso, se llama asintóticamente estable y se dice que la órbita dada atrae a .

Una solución de equilibrio para un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se denomina:${\displaystyle f_{e}}$

• estable si para cada (pequeño) , existe un tal que toda solución que tiene condiciones iniciales dentro de la distancia ie del equilibrio permanece dentro de la distancia ie para todo .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(t)}$${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta }$${\displaystyle \épsilon}$${\displaystyle \|f(t)-f_{e}\|<\epsilon }$${\displaystyle t\geq t_{0}}$
• asintóticamente estable si es estable y, además, existe tal que siempre que entonces como .${\displaystyle \delta _{0}>0}$${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta _{0}}$${\displaystyle f(t)\rightarrow f_{e}}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

La estabilidad significa que las trayectorias no cambian demasiado ante pequeñas perturbaciones. La situación opuesta, en la que una órbita cercana se ve repelida por la órbita dada, también es interesante. En general, perturbar el estado inicial en algunas direcciones da como resultado que la trayectoria se acerque asintóticamente a la dada y en otras direcciones que la trayectoria se aleje de ella. También puede haber direcciones en las que el comportamiento de la órbita perturbada sea más complicado (ni converge ni escapa por completo), y entonces la teoría de la estabilidad no brinda suficiente información sobre la dinámica.

Una de las ideas clave en la teoría de la estabilidad es que el comportamiento cualitativo de una órbita bajo perturbaciones puede analizarse utilizando la linealización del sistema cerca de la órbita. En particular, en cada equilibrio de un sistema dinámico suave con un espacio de fases n -dimensional , hay una cierta matriz A n × n cuyos valores propios caracterizan el comportamiento de los puntos cercanos ( teorema de Hartman-Grobman ). Más precisamente, si todos los valores propios son números reales negativos o números complejos con partes reales negativas, entonces el punto es un punto fijo de atracción estable, y los puntos cercanos convergen hacia él a una tasa exponencial , cf estabilidad de Lyapunov y estabilidad exponencial . Si ninguno de los valores propios es puramente imaginario (o cero), entonces las direcciones de atracción y repulsión están relacionadas con los espacios propios de la matriz A con valores propios cuya parte real es negativa y, respectivamente, positiva. Se conocen afirmaciones análogas para perturbaciones de órbitas más complicadas.

El caso paradigmático es la estabilidad del origen bajo la ecuación diferencial autónoma lineal donde y es una matriz de 2 por 2.${\displaystyle {\punto {X}}=AX}$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$${\estilo de visualización A}$

A veces, realizaríamos un cambio de base con para alguna matriz invertible , que da . Decimos que está " en la nueva base". Como y , podemos clasificar la estabilidad del origen utilizando y , mientras que utilizamos libremente el cambio de base.${\displaystyle X'=CX}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle {\dot {X}}'=C^{-1}ACX'}$$Estilo de visualización C-1 AC$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \det A=\det C^{-1}AC}$${\displaystyle \nombreoperador {tr} A=\nombreoperador {tr} C^{-1}AC}$${\displaystyle \det A}$${\displaystyle \operatorname {tr} A}$

Si , entonces el rango de es cero o uno.${\displaystyle \det A=0}$${\estilo de visualización A}$

• Si el rango es cero, entonces , y no hay flujo.${\estilo de visualización A=0}$
• Si el rango es uno, entonces y son ambos unidimensionales.${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle \operatorname {im} A}$
  • Si , entonces sea , y sea una preimagen de , entonces en base, , y por lo tanto el flujo es un corte a lo largo de la dirección. En este caso, .${\displaystyle \ker A=\operatorname {im} A}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \ker A}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización \{v,w\}}$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$
  • Si , entonces sea abarcar y sea abarcar , entonces en base, para algún número real distinto de cero .${\displaystyle \ker A\neq \operatorname {im} A}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \ker A}$${\estilo de visualización w}$${\displaystyle \operatorname {im} A}$${\estilo de visualización \{v,w\}}$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}}$${\estilo de visualización a}$
    • Si , entonces es inestable, divergiendo a una velocidad de a lo largo de transcripciones paralelas de .${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle \operatorname {im} A}$
    • Si , entonces es estable y converge a una velocidad de a lo largo de traducciones paralelas de .${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle \operatorname {im} A}$

Si , primero encontramos la forma normal de Jordan de la matriz, para obtener una base en la que es una de tres formas posibles:${\displaystyle \det A\neq 0}$${\estilo de visualización \{v,w\}}$${\estilo de visualización A}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$dónde .${\estilo de visualización a,b\neq 0}$
  • Si , entonces . El origen es una fuente , con curvas integrales de forma${\displaystyle a,b>0}$${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(ab)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}}$${\displaystyle y=cx^{b/a}}$
  • Lo mismo ocurre con . El origen es un sumidero .${\estilo de visualización a,b<0}$
  • Si o , entonces , y el origen es un punto de silla . con curvas integrales de forma .${\displaystyle a>0>b}$${\estilo de visualización a<0<b}$${\displaystyle \det A<0}$${\displaystyle y=cx^{-|b/a|}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}$donde . Esto se puede simplificar aún más mediante un cambio de base con , después de lo cual . Podemos resolver explícitamente para con . La solución es con . Este caso se llama " nodo degenerado ". Las curvas integrales en esta base son dilataciones centrales de , más el eje x.${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\punto {X}}=AX}$${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle X(t)=e^{At}X(0)}$${\displaystyle e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle x=y\ln y}$
  • Si , entonces el origen es una fuente degenerada . En caso contrario es un sumidero degenerado .${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$
  • En ambos casos,${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$
• ${\displaystyle a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$donde . En este caso, .${\displaystyle a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0}$
  • Si , entonces se trata de un sumidero en espiral . En este caso, . Las líneas integrales son espirales logarítmicas .${\displaystyle \theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]}$${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}}$
  • Si , entonces se trata de una fuente espiral . En este caso, . Las líneas integrales son espirales logarítmicas .${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}}$
  • Si , entonces se trata de una rotación (" estabilidad neutra ") a una velocidad de , sin moverse ni hacia el origen ni alejándose de él. En este caso, . Las líneas integrales son círculos.${\displaystyle \theta =-\pi /2,\pi /2}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$

El resumen se muestra en el diagrama de estabilidad de la derecha. En cada caso, excepto en el caso de , los valores permiten una clasificación única del tipo de flujo.${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$

Para el caso especial de , hay dos casos que no se pueden distinguir por . En ambos casos, tiene solo un valor propio, con multiplicidad algebraica 2.${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$${\displaystyle A}$

• Si el valor propio tiene un espacio propio bidimensional ( multiplicidad geométrica 2), entonces el sistema es un nodo central (a veces llamado " estrella " o " nodo dicrítico ") que es una fuente (cuando ) o un sumidero (cuando ). ^[2]${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$
• Si tiene un espacio propio unidimensional ( multiplicidad geométrica 1), entonces el sistema es un nodo degenerado (si ) o un flujo de corte (si ).${\displaystyle \det A>0}$${\displaystyle \det A=0}$

Cuando , tenemos , por lo que el flujo preserva el área. En este caso, el tipo de flujo se clasifica por .${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$${\displaystyle \det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1}$${\displaystyle \det A}$

• Si , entonces es una rotación ("estabilidad neutral") alrededor del origen.${\displaystyle \det A>0}$
• Si , entonces es un flujo de corte.${\displaystyle \det A=0}$
• Si , entonces el origen es un punto de silla.${\displaystyle \det A<0}$

El tipo más simple de órbita es un punto fijo o un equilibrio. Si un sistema mecánico está en un estado de equilibrio estable, un pequeño empujón dará como resultado un movimiento localizado, por ejemplo, pequeñas oscilaciones como en el caso de un péndulo . En un sistema con amortiguamiento , un estado de equilibrio estable es además asintóticamente estable. Por otro lado, para un equilibrio inestable, como una pelota que reposa en la cima de una colina, ciertos pequeños empujones darán como resultado un movimiento con una gran amplitud que puede o no converger al estado original.

Existen pruebas de estabilidad útiles para el caso de un sistema lineal. La estabilidad de un sistema no lineal a menudo se puede inferir a partir de la estabilidad de su linealización .

Sea f : R → R una función continuamente diferenciable con un punto fijo a , f ( a ) = a . Considérese el sistema dinámico obtenido iterando la función f :

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}$

El punto fijo a es estable si el valor absoluto de la derivada de f en a es estrictamente menor que 1, e inestable si es estrictamente mayor que 1. Esto se debe a que cerca del punto a , la función f tiene una aproximación lineal con pendiente f' ( a ) :

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$

De este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}-a&=f(x_{n})-a\\&\approx f(a)+f'(a)(x_{n}-a)-a\\&=a+f'(a)(x_{n}-a)-a\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}}$

lo que significa que la derivada mide la velocidad a la que las iteraciones sucesivas se aproximan al punto fijo a o divergen de él. Si la derivada en a es exactamente 1 o −1, entonces se necesita más información para decidir si hay estabilidad.

Existe un criterio análogo para una función continuamente diferenciable f : R ⁿ → R ⁿ con un punto fijo a , expresado en términos de su matriz jacobiana en a , J _a ( f ) . Si todos los valores propios de J son números reales o complejos con valor absoluto estrictamente menor que 1, entonces a es un punto fijo estable; si al menos uno de ellos tiene valor absoluto estrictamente mayor que 1, entonces a es inestable. Al igual que para n = 1, el caso en el que el valor absoluto más grande sea 1 necesita investigarse más a fondo: la prueba de la matriz jacobiana no es concluyente. El mismo criterio se aplica de manera más general a los difeomorfismos de una variedad suave .

La estabilidad de puntos fijos de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes se puede analizar utilizando los valores propios de la matriz correspondiente.

Un sistema autónomo

${\displaystyle x'=Ax,}$

donde x ( t ) ∈ R ⁿ y A es una matriz n × n con entradas reales, tiene una solución constante

${\displaystyle x(t)=0.}$

(En un lenguaje diferente, el origen 0 ∈ R ⁿ es un punto de equilibrio del sistema dinámico correspondiente.) Esta solución es asintóticamente estable cuando t → ∞ ("en el futuro") si y solo si para todos los valores propios λ de A , Re ( λ ) < 0 . De manera similar, es asintóticamente estable cuando t → −∞ ("en el pasado") si y solo si para todos los valores propios λ de A , Re( λ ) > 0 . Si existe un valor propio λ de A con Re( λ ) > 0 entonces la solución es inestable para t → ∞ .

La aplicación práctica de este resultado, para decidir la estabilidad del origen de un sistema lineal, se ve facilitada por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico . Un polinomio de una variable con coeficientes reales se denomina polinomio de Hurwitz si las partes reales de todas las raíces son estrictamente negativas. El teorema de Routh-Hurwitz implica una caracterización de los polinomios de Hurwitz mediante un algoritmo que evita el cálculo de las raíces.

La estabilidad asintótica de puntos fijos de un sistema no lineal a menudo se puede establecer utilizando el teorema de Hartman-Grobman .

Supóngase que v es un campo vectorial C 1 ^en R n ^que se anula en un punto p , v ( p ) = 0 . Entonces el sistema autónomo correspondiente

${\displaystyle x'=v(x)}$

tiene una solución constante

${\displaystyle x(t)=p.}$

Sea J _p ( v ) la matriz jacobiana n × n del campo vectorial v en el punto p . Si todos los valores propios de J tienen una parte real estrictamente negativa, entonces la solución es asintóticamente estable. Esta condición se puede comprobar utilizando el criterio de Routh-Hurwitz .

Una forma general de establecer la estabilidad de Lyapunov o la estabilidad asintótica de un sistema dinámico es mediante funciones de Lyapunov .

• Teoría del caos
• Estabilidad de Lyapunov
• Hiperestabilidad
• Estabilidad lineal
• Estabilidad orbital
• Criterio de estabilidad
• Radio de estabilidad
• Estabilidad estructural
• Análisis de estabilidad de von Neumann

• Philip Holmes y Eric T. Shea-Brown (ed.). "Estabilidad". Scholarpedia .

• Equilibrios estables por Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .