Sobre el esquema de renormalización de shell

En la teoría cuántica de campos , y especialmente en la electrodinámica cuántica , la teoría de interacción conduce a cantidades infinitas que deben ser absorbidas en un procedimiento de renormalización , para poder predecir cantidades mensurables. El esquema de renormalización puede depender del tipo de partículas que se estén considerando. Para partículas que pueden viajar asintóticamente grandes distancias, o para procesos de baja energía, el esquema en capas , también conocido como esquema físico, es apropiado. Si estas condiciones no se cumplen, se puede recurrir a otros esquemas, como el esquema de sustracción mínima (esquema MS).

Conocer los diferentes propagadores es la base para poder calcular los diagramas de Feynman que son herramientas útiles para predecir, por ejemplo, el resultado de experimentos de dispersión. En una teoría donde el único campo es el campo de Dirac , el propagador de Feynman se lee

${\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}}$

donde es el operador de ordenamiento temporal , el vacío en la teoría de no interacción, y el campo de Dirac y su adjunto de Dirac, y donde el lado izquierdo de la ecuación es la función de correlación de dos puntos del campo de Dirac.${\estilo de visualización T}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle \psi(x)}$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$

En una nueva teoría, el campo de Dirac puede interactuar con otro campo, por ejemplo con el campo electromagnético en la electrodinámica cuántica, y la fuerza de la interacción se mide por un parámetro, en el caso de la QED es la carga del electrón desnudo, . La forma general del propagador debe permanecer sin cambios, lo que significa que si ahora representa el vacío en la teoría de interacción, la función de correlación de dos puntos ahora se leería${\estilo de visualización e}$${\displaystyle |\Omega \rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}}$

Se han introducido dos nuevas magnitudes. En primer lugar, la masa renormalizada se ha definido como el polo en la transformada de Fourier del propagador de Feynman. Esta es la principal prescripción del esquema de renormalización en capas (no hay necesidad de introducir otras escalas de masa como en el esquema de sustracción mínima). La magnitud representa la nueva fuerza del campo de Dirac. Como la interacción se reduce a cero haciendo que , estos nuevos parámetros deberían tender a un valor tal que se recupere el propagador del fermión libre, es decir y .$Estilo de visualización m_ {r}$$Estilo de visualización Z_{2}$${\displaystyle e\rightarrow 0}$$Estilo de visualización m_ {r} Flecha derecha m$${\displaystyle Z_{2}\rightarrow 1}$

Esto significa que y se pueden definir como una serie en si este parámetro es lo suficientemente pequeño (en el sistema de unidades donde , , donde es la constante de estructura fina ). Por lo tanto, estos parámetros se pueden expresar como$Estilo de visualización m_ {r}$$Estilo de visualización Z_{2}$${\estilo de visualización e}$${\displaystyle \hbar =c=1}$${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3}$${\estilo de visualización \alpha}$

${\ Displaystyle Z_ {2} = 1 + \ delta _ {2}}$

${\displaystyle m_{r}=m+\delta m}$

Por otra parte, la modificación del propagador se puede calcular hasta un cierto orden utilizando diagramas de Feynman. Estas modificaciones se resumen en la energía propia del fermión.${\estilo de visualización e}$ ${\displaystyle \Sigma(p)}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}}$

Estas correcciones suelen ser divergentes porque contienen bucles . Al identificar las dos expresiones de la función de correlación hasta un cierto orden en , se pueden definir los contratérminos, que absorberán las contribuciones divergentes de las correcciones al propagador de fermiones. Por lo tanto, las cantidades renormalizadas, como , seguirán siendo finitas y serán las cantidades medidas en los experimentos.${\displaystyle e}$${\displaystyle m_{r}}$

Al igual que se ha hecho con el propagador de fermiones, se comparará la forma del propagador de fotones inspirado en el campo de fotones libres con el propagador de fotones calculado hasta un cierto orden en la teoría de interacción. Se anota la energía propia del fotón y el tensor métrico (aquí tomando la convención +---)${\displaystyle e}$${\displaystyle \Pi (q^{2})}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}}$

El comportamiento del contratérmino es independiente del momento del fotón entrante . Para solucionarlo, se utiliza el comportamiento de la QED a grandes distancias (lo que debería ayudar a recuperar la electrodinámica clásica ), es decir, cuando :${\displaystyle \delta _{3}=Z_{3}-1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}}$

Por lo tanto el contratérmino se fija con el valor de .${\displaystyle \delta _{3}}$${\displaystyle \Pi (0)}$

Un razonamiento similar que utiliza la función de vértice conduce a la renormalización de la carga eléctrica . Esta renormalización y la fijación de los términos de renormalización se realiza utilizando lo que se conoce de la electrodinámica clásica a grandes escalas espaciales. Esto conduce al valor del contratérmino , que es, de hecho, igual a debido a la identidad de Ward-Takahashi . Es este cálculo el que explica el momento dipolar magnético anómalo de los fermiones.${\displaystyle e_{r}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$

Hemos considerado algunos factores de proporcionalidad (como el ) que se han definido a partir de la forma del propagador. Sin embargo, también se pueden definir a partir del lagrangiano de QED, que se realizará en esta sección, y estas definiciones son equivalentes. El lagrangiano que describe la física de la electrodinámica cuántica es${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

donde es el tensor de intensidad de campo , es el espinor de Dirac (el equivalente relativista de la función de onda ), y el potencial electromagnético cuadripotencial . Los parámetros de la teoría son , , y . Estas cantidades resultan ser infinitas debido a las correcciones de bucle (ver más abajo). Se pueden definir las cantidades renormalizadas (que serán finitas y observables):${\displaystyle F_{\mu \nu }}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{with}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}}$

Se denominan contratérminos (son posibles otras definiciones). Se supone que son pequeños en el parámetro . El lagrangiano ahora se lee en términos de cantidades renormalizadas (de primer orden en los contratérminos):${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}}$

Una prescripción de renormalización es un conjunto de reglas que describe qué parte de las divergencias debe estar en las cantidades renormalizadas y qué parte debe estar en los contratérminos. La prescripción se basa a menudo en la teoría de campos libres, es decir, del comportamiento de los campos libres y de cuándo no interactúan (lo que corresponde a la eliminación del término en el lagrangiano).${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

• M. Peskin; D. Schroeder (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Lectura: Addison-Weasley.