Espacio curvo

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El espacio curvo a menudo se refiere a una geometría espacial que no es "plana", donde un espacio plano tiene curvatura cero , como se describe en la geometría euclidiana . ^[1] Los espacios curvos generalmente se pueden describir mediante la geometría de Riemann , aunque algunos casos simples se pueden describir de otras maneras. Los espacios curvos juegan un papel esencial en la relatividad general , donde la gravedad a menudo se visualiza como espacio-tiempo curvado . ^[2] La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker es una métrica curva que forma la base actual para la descripción de la expansión del espacio y la forma del universo . ^{[ cita requerida ]} El hecho de que los fotones no tengan masa pero estén distorsionados por la gravedad significa que la explicación tendría que ser algo más que la masa fotónica. De ahí la creencia de que los cuerpos grandes curvan el espacio y, por lo tanto, la luz, al viajar por el espacio curvo, parecerá estar sujeta a la gravedad. No lo está, pero está sujeta a la curvatura del espacio.

Un ejemplo muy conocido de un espacio curvo es la superficie de una esfera. Si bien para nuestra visión habitual la esfera parece tridimensional, si un objeto se ve obligado a permanecer sobre la superficie, solo tiene dos dimensiones en las que puede moverse. La superficie de una esfera se puede describir completamente mediante dos dimensiones, ya que, sin importar cuán rugosa pueda parecer, sigue siendo solo una superficie, que es el borde exterior bidimensional de un volumen. Incluso la superficie de la Tierra, que es fractal en complejidad, sigue siendo solo un límite bidimensional a lo largo del exterior de un volumen. ^[3]

Una de las características definitorias de un espacio curvo es su desviación del teorema de Pitágoras . ^{[ cita requerida ]} En un espacio curvo

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$.

La relación pitagórica a menudo se puede restaurar describiendo el espacio con una dimensión adicional. Supongamos que tenemos un espacio tridimensional no euclidiano con coordenadas . Como no es plano ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$.

Pero si ahora describimos el espacio tridimensional con cuatro dimensiones ( ) podemos elegir coordenadas tales que ${\estilo de visualización x,y,z,w}$

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

Tenga en cuenta que la coordenada no es la misma que la coordenada .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x'}$

Para que la elección de las coordenadas 4D sea una descripción válida del espacio 3D original, debe tener el mismo número de grados de libertad . Como cuatro coordenadas tienen cuatro grados de libertad, debe tener una restricción. Podemos elegir una restricción tal que el teorema de Pitágoras se cumpla en el nuevo espacio 4D. Es decir

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constante}}\,}$.

La constante puede ser positiva o negativa. Por conveniencia podemos elegir la constante como

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$donde ahora es positivo y .${\displaystyle R^{2}\,}$${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$

Ahora podemos utilizar esta restricción para eliminar la cuarta coordenada artificial . La diferencial de la ecuación restrictiva es ${\displaystyle w}$

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$conduciendo a .${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$

Conectando a la ecuación original se obtiene${\displaystyle dw}$

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

Esta forma no suele ser especialmente atractiva, por lo que a menudo se aplica una transformación de coordenadas: , , . Con esta transformación de coordenadas${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$${\displaystyle z=r\cos \theta }$

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

La geometría de un espacio n-dimensional también se puede describir con la geometría de Riemann . Un espacio isótropo y homogéneo se puede describir con la métrica:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

Esto se reduce al espacio euclidiano cuando . Pero se puede decir que un espacio es " plano " cuando el tensor de Weyl tiene todos los componentes cero. En tres dimensiones, esta condición se cumple cuando el tensor de Ricci ( ) es igual a la métrica multiplicada por el escalar de Ricci ( , que no debe confundirse con el R de la sección anterior). Es decir . El cálculo de estos componentes a partir de la métrica da como resultado que ${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle R_{ab}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$dónde .${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$

Esto da la métrica:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

donde puede ser cero, positivo o negativo y no está limitado a ±1.${\displaystyle k}$

Un espacio isótropo y homogéneo puede describirse mediante la métrica: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

En el límite en que la constante de curvatura ( ) se vuelve infinitamente grande, se devuelve un espacio plano euclidiano . Es esencialmente lo mismo que establecerlo en cero. Si no es cero, el espacio no es euclidiano. Cuando se dice que el espacio es cerrado o elíptico . Cuando se dice que el espacio es abierto o hiperbólico .${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa =+1}$${\displaystyle \kappa =-1}$

Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio abierto tendrán una suma de ángulos menor a 180°. Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio cerrado tendrán una suma de ángulos mayor a 180°. El volumen, sin embargo, no es .${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$

• Espacio CAT( k )
• Curvatura no positiva

• Las conferencias de física de Feynman, vol. II, cap. 42: El espacio curvo
• Papastavridis, John G. (1999). "Superficies generales n-dimensionales (riemannianas)". Cálculo tensorial y dinámica analítica . Boca Raton: CRC Press. págs. 211–218. ISBN 0-8493-8514-8.

• Curved Spaces, simulador de universos multiconectados desarrollado por Jeffrey Weeks