Granulometría (morfología)

Granulometría
Conceptos básicos
Tamaño de partícula , Tamaño de grano , Distribución de tamaño , Morfología
Métodos y técnicas
Escala de malla , Granulometría óptica , Análisis granulométrico , Gradación del suelo
Conceptos relacionados
Granulación , Material granular , Polvo mineral , Reconocimiento de patrones , Dispersión dinámica de la luz
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En morfología matemática , la granulometría es un método para calcular una distribución de tamaño de granos en imágenes binarias , utilizando una serie de operaciones de apertura morfológica . Fue introducida por Georges Matheron en la década de 1960 y es la base para la caracterización del concepto de tamaño en morfología matemática.

Sea B un elemento estructurante en un espacio o cuadrícula euclidiana E , y considérese la familia , , dada por:$Estilo de visualización: Bk$${\displaystyle k=0,1,\lpuntos}$

${\displaystyle B_{k}=\underbrace {B\oplus \ldots \oplus B} _{k{\mbox{ veces}}}}$,

donde denota dilatación morfológica . Por convención, es el conjunto que contiene solo el origen de E , y .${\displaystyle \oplus}$$Estilo de visualización B_{0}$$Estilo de visualización B_{1}=B}$

Sea X un conjunto (es decir, una imagen binaria en morfología matemática), y considérese la serie de conjuntos , , dada por:${\displaystyle \{\gamma _ {k}(X)\}}$${\displaystyle k=0,1,\lpuntos}$

${\displaystyle \gamma_{k}(X)=X\circ B_{k}}$,

donde denota la apertura morfológica.${\estilo de visualización \circ}$

La función de granulometría es la cardinalidad (es decir, área o volumen , en el espacio euclidiano continuo, o número de elementos, en cuadrículas) de la imagen :$Estilo de visualización Gk(X)$${\displaystyle \gamma _ {k}(X)}$

${\displaystyle G_{k}(X)=|\gamma _{k}(X)|}$.

El espectro de patrones o distribución de tamaño de X es la colección de conjuntos , , dada por:$Estilo de visualización: PS_k(X)$${\displaystyle k=0,1,\lpuntos}$

${\displaystyle PS_{k}(X)=G_{k}(X)-G_{k+1}(X)}$.

El parámetro k se denomina tamaño y el componente k del espectro del patrón proporciona una estimación aproximada de la cantidad de granos de tamaño k en la imagen X. Los picos de indican cantidades relativamente grandes de granos de los tamaños correspondientes.$Estilo de visualización PS_{k}(X)}$$Estilo de visualización PS_{k}(X)}$

El método común mencionado anteriormente es un caso particular del enfoque más general derivado por Georges Matheron . El matemático francés se inspiró en el tamizado como un medio para caracterizar el tamaño . En el tamizado, una muestra granular se pasa a través de una serie de tamices con tamaños de orificios decrecientes. Como consecuencia, los diferentes granos de la muestra se separan según sus tamaños.

La operación de pasar una muestra a través de un tamiz de cierto tamaño de orificio " k " se puede describir matemáticamente como un operador que devuelve el subconjunto de elementos en X con tamaños menores o iguales a k . Esta familia de operadores satisface las siguientes propiedades:$Estilo de visualización: psi_k(x)$

1. Anti-extensividad : Cada tamiz reduce la cantidad de granos, es decir ,${\displaystyle \Psi _{k}(X)\subseteq X}$
2. Crecimiento : El resultado de tamizar un subconjunto de una muestra es un subconjunto del tamizado de esa muestra, es decir ,${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \Psi _{k}(X)\subseteq \Psi _{k}(Y)}$
3. " Estabilidad ": El resultado del paso por dos tamices lo determina el tamiz con el tamaño de orificio más pequeño, es decir, .${\displaystyle \Psi _{k}\Psi _{m}(X)=\Psi _{m}\Psi _{k}(X)=\Psi _{\min(k,m)}(X)}$

Una familia de operadores generadores de granulometría debe satisfacer los tres axiomas anteriores.

En el caso anterior (granulometría generada por un elemento estructurante), .${\displaystyle \Psi _{k}(X)=\gamma _{k}(X)=X\circ B_{k}}$

Otro ejemplo de familia generadora de granulometría es cuando , donde es un conjunto de elementos estructurantes lineales con diferentes direcciones.${\displaystyle \Psi _{k}(X)=\bigcup _{i=1}^{N}X\circ (B^{(i)})_{k}}$${\displaystyle \{B^{(i)}\}}$

• Distribución del tamaño de partículas
• Tamaño del grano
• Granulometría óptica

• Conjuntos aleatorios y geometría integral , por Georges Matheron, Wiley 1975, ISBN  0-471-57621-2 .
• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982) 
• Segmentación de imágenes por granulometrías morfológicas locales, Dougherty, ER, Kraus, EJ y Pelz, JB., Simposio sobre geociencias y teledetección, 1989. IGARSS'89, doi :10.1109/IGARSS.1989.576052 (1989)
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas, de Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Análisis de imágenes morfológicas: principios y aplicaciones de Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999)