Operador de energía

En mecánica cuántica , la energía se define en términos del operador de energía , que actúa sobre la función de onda del sistema como consecuencia de la simetría de traslación temporal .

Viene dada por: ^[1]$${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t}}}$$

Actúa sobre la función de onda (la amplitud de probabilidad para diferentes configuraciones del sistema)$${\displaystyle \Psi \izquierda(\mathbf {r} ,t\derecha)}$$

El operador de energía corresponde a la energía total de un sistema. La ecuación de Schrödinger describe la dependencia del espacio y del tiempo de la función de onda de cambio lento (no relativista ) de un sistema cuántico. La solución de la ecuación de Schrödinger para un sistema acotado es discreta (un conjunto de estados permitidos, cada uno caracterizado por un nivel de energía ) lo que da lugar al concepto de cuantos .

Utilizando el operador de energía en la ecuación de Schrödinger : se obtiene:$${\displaystyle i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$$${\displaystyle {\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

donde i es la unidad imaginaria , ħ es la constante de Planck reducida y es el operador hamiltoniano expresado como:${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(x).}$$

De la ecuación se puede hacer la igualdad: , donde es el valor esperado de la energía.${\textstyle \langle E\rangle =\langle {\hat {H}}\rangle }$${\textstyle \langle E\rangle }$

Se puede demostrar que el valor esperado de la energía siempre será mayor o igual al potencial mínimo del sistema.

Consideremos calcular el valor esperado de la energía cinética:

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{alineado}}}$

Por lo tanto, el valor esperado de la energía cinética siempre es no negativo. Este resultado se puede utilizar con la condición de linealidad para calcular el valor esperado de la energía total, que se da para una función de onda normalizada como:

${\displaystyle E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)}$

que completan la prueba. De manera similar, la misma condición puede generalizarse a cualquier dimensión superior.

Partiendo de la definición, se puede construir una solución parcial para una función de onda de una partícula con una energía constante. Si se supone que la función de onda es separable, entonces la dependencia del tiempo se puede expresar como , donde E es la energía constante. En su totalidad, ^[2] donde es la solución parcial de la función de onda dependiente de la posición. Aplicando el operador de energía, tenemos Esto también se conoce como estado estacionario y se puede utilizar para analizar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo : donde E es un valor propio de la energía.${\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$$${\displaystyle {\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$$${\displaystyle E\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

La relación masa-energía relativista : donde nuevamente E = energía total, p = momento 3-total de la partícula, m = masa invariante y c = velocidad de la luz , puede producir de manera similar la ecuación de Klein-Gordon : donde es el operador de momento . Es decir:$${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\hat {p}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi }$$

El operador de energía se deriva fácilmente utilizando la función de onda de la partícula libre ( solución de onda plana a la ecuación de Schrödinger). ^[3] Comenzando en una dimensión, la función de onda es$${\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)}}$$

La derivada temporal de Ψ es$${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi .}$$

Por la relación de De Broglie : tenemos$${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi .}$$

Si reorganizamos la ecuación, obtenemos que el factor de energía E es un valor escalar , la energía que tiene la partícula y el valor que se mide. La derivada parcial es un operador lineal , por lo que esta expresión es el operador de energía:$${\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},}$$$${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}.}$$

Se puede concluir que el escalar E es el valor propio del operador, mientras que es el operador. Resumiendo estos resultados:${\displaystyle {\hat {E}}}$$${\displaystyle {\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi }$$

Para una onda plana tridimensional , la derivación es exactamente idéntica, ya que no se realiza ningún cambio en el término que incluye el tiempo y, por lo tanto, en la derivada temporal. Dado que el operador es lineal , son válidos para cualquier combinación lineal de ondas planas y, por lo tanto, pueden actuar sobre cualquier función de onda sin afectar las propiedades de la función de onda o los operadores. Por lo tanto, esto debe ser cierto para cualquier función de onda. Resulta que funciona incluso en la mecánica cuántica relativista , como la ecuación de Klein-Gordon anterior.$${\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$$

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• Constante de Planck
• Ecuación de Schrödinger
• Operador de momento
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• Número complejo
• Estado estacionario