Trabajo (física)

Trabajar
Un lanzador de béisbol realiza un trabajo positivo sobre la pelota al aplicarle una fuerza a lo largo de la distancia que se mueve mientras está en su agarre.
Símbolos comunes	Yo
Unidad SI	julio (J)
Otras unidades	Pie-libra , Erg
En unidades base del SI	1 kg · m2 · s −2​
Derivaciones de otras magnitudes	W = F ⋅ s W = τ θ
Dimensión	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2}}$

Parte de una serie sobre
Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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En ciencia, el trabajo es la energía transferida hacia o desde un objeto mediante la aplicación de una fuerza a lo largo de un desplazamiento . En su forma más simple, para una fuerza constante alineada con la dirección del movimiento, el trabajo es igual al producto de la intensidad de la fuerza por la distancia recorrida. Se dice que una fuerza realiza trabajo positivo si tiene un componente en la dirección del desplazamiento del punto de aplicación . Una fuerza realiza trabajo negativo si tiene un componente opuesto a la dirección del desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza. ^[1]

Por ejemplo, cuando se sostiene una pelota sobre el suelo y luego se deja caer, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre la pelota mientras cae es positivo y es igual al peso de la pelota (una fuerza) multiplicado por la distancia hasta el suelo (un desplazamiento). Si la pelota se lanza hacia arriba, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es negativo y es igual al peso multiplicado por el desplazamiento en la dirección hacia arriba.

Tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores . El trabajo realizado viene dado por el producto escalar de los dos vectores, donde el resultado es un escalar . Cuando la fuerza F es constante y el ángulo θ entre la fuerza y ​​el desplazamiento s también es constante, entonces el trabajo realizado viene dado por: W = F s cos ⁡ θ {\displaystyle W=Fs\cos {\theta }}

Si la fuerza es variable, entonces el trabajo viene dado por la integral de línea :

${\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$

¿Dónde está el pequeño cambio en el vector de desplazamiento?${\displaystyle d{\vec {s}}}$

El trabajo es una cantidad escalar ^[2] , por lo que solo tiene magnitud y no dirección. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro, o de una forma a otra. La unidad de trabajo del SI es el julio (J), la misma unidad que se utiliza para la energía.

La antigua comprensión griega de la física se limitaba a la estática de las máquinas simples (el equilibrio de fuerzas), y no incluía la dinámica ni el concepto de trabajo. Durante el Renacimiento, la dinámica de las potencias mecánicas , como se llamaba a las máquinas simples , comenzó a estudiarse desde el punto de vista de la distancia que podían levantar una carga, además de la fuerza que podían aplicar, lo que finalmente condujo al nuevo concepto de trabajo mecánico. La teoría dinámica completa de las máquinas simples fue elaborada por el científico italiano Galileo Galilei en 1600 en Le Meccaniche ( Sobre la mecánica ), en el que mostró la similitud matemática subyacente de las máquinas como amplificadores de fuerza. ^{[3] [4]} Fue el primero en explicar que las máquinas simples no crean energía, solo la transforman. ^[3]

Aunque el término trabajo no se utilizó formalmente hasta 1826, ya existían conceptos similares antes de esa fecha. Los primeros nombres para el mismo concepto incluían momento de actividad, cantidad de acción, fuerza viva latente, efecto dinámico, eficiencia e incluso fuerza . ^[5] En 1637, el filósofo francés René Descartes escribió: ^[6]

Levantar 100 libras con un pie dos veces es lo mismo que levantar 200 libras con un pie, o 100 libras con dos pies.

—  René Descartes, Carta a Huygens

En 1686, el filósofo alemán Gottfried Leibniz escribió: ^[7]

La misma fuerza ["trabajo" en términos modernos] es necesaria para elevar el cuerpo A de 1 libra (libra) a una altura de 4 yardas (cúbito), que la necesaria para elevar el cuerpo B de 4 libras a una altura de 1 yarda.

—  Gottfried Leibniz, Brevis demostratio

En 1759, John Smeaton describió una cantidad que llamó "potencia" "para significar el ejercicio de fuerza, gravitación, impulso o presión, para producir movimiento". Smeaton continúa diciendo que esta cantidad puede calcularse si "el peso levantado se multiplica por la altura a la que puede elevarse en un tiempo determinado", lo que hace que esta definición sea notablemente similar a la de Coriolis . ^[8]

Según el libro de texto de física de 1957 de Max Jammer , ^[9] el término trabajo fue introducido en 1826 por el matemático francés Gaspard-Gustave Coriolis ^[10] como "peso levantado a través de una altura", lo que se basa en el uso de las primeras máquinas de vapor para levantar cubos de agua de las minas de mineral inundadas. Según René Dugas, ingeniero e historiador francés, es a Salomón de Caux "a quien debemos el término trabajo en el sentido en que se utiliza en mecánica hoy en día". ^[11]

La unidad de trabajo del SI es el julio (J), llamado así por el físico inglés James Prescott Joule (1818-1889), que se define como el trabajo necesario para ejercer una fuerza de un newton a través de un desplazamiento de un metro .

El newton-metro (N⋅m) equivalente dimensionalmente se utiliza a veces como unidad de medida del trabajo, pero puede confundirse con la unidad de medida del par motor . El uso de N⋅m no está recomendado por la autoridad del SI , ya que puede generar confusión sobre si la cantidad expresada en newton-metros es una medida del par motor o una medida del trabajo. ^[12]

Otra unidad de medida del trabajo es el pie-libra , que proviene del sistema de medida inglés. Como sugiere el nombre de la unidad, es el producto de libras para la unidad de fuerza y ​​pies para la unidad de desplazamiento. Un julio equivale a 0,07376 ft-lbs. ^[13]

Las unidades de trabajo que no pertenecen al SI incluyen el newton-metro, el erg , el pie-libra, el pie-poundal , el kilovatio-hora , el litro-atmósfera y el caballo de fuerza-hora . Debido a que el trabajo tiene la misma dimensión física que el calor , ocasionalmente se utilizan como unidad de medida unidades de medida que normalmente se reservan para el contenido de calor o energía, como la termia , la BTU y la caloría .

El trabajo W realizado por una fuerza constante de magnitud F sobre un punto que se mueve un desplazamiento s en línea recta en la dirección de la fuerza es el producto$${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$$

Por ejemplo, si una fuerza de 10 newtons ( F = 10 N ) actúa a lo largo de un punto que recorre 2 metros ( s = 2 m ), entonces W = Fs = (10 N) (2 m) = 20 J. Este es aproximadamente el trabajo realizado al levantar un objeto de 1 kg desde el nivel del suelo hasta por encima de la cabeza de una persona contra la fuerza de la gravedad.

El trabajo se duplica ya sea levantando el doble de peso la misma distancia o levantando el mismo peso el doble de distancia.

El trabajo está estrechamente relacionado con la energía . La energía comparte la misma unidad de medida con el trabajo (julios) porque la energía del objeto que realiza el trabajo se transfiere a los otros objetos con los que interactúa cuando se realiza el trabajo. ^[13] El principio de trabajo-energía establece que un aumento en la energía cinética de un cuerpo rígido es causado por una cantidad igual de trabajo positivo realizado sobre el cuerpo por la fuerza resultante que actúa sobre ese cuerpo. Por el contrario, una disminución en la energía cinética es causada por una cantidad igual de trabajo negativo realizado por la fuerza resultante. Por lo tanto, si el trabajo neto es positivo, entonces la energía cinética de la partícula aumenta en la cantidad de trabajo. Si el trabajo neto realizado es negativo, entonces la energía cinética de la partícula disminuye en la cantidad de trabajo. ^[14]

A partir de la segunda ley de Newton , se puede demostrar que el trabajo sobre un cuerpo libre (sin campos), rígido (sin grados internos de libertad), es igual al cambio en la energía cinética E _k correspondiente a la velocidad lineal y la velocidad angular de ese cuerpo. El trabajo de fuerzas generadas por una función potencial se conoce como energía potencial y se dice que las fuerzas son conservativas . Por lo tanto, el trabajo sobre un objeto que simplemente se desplaza en un campo de fuerza conservativo , sin cambio en la velocidad o la rotación, es igual a menos el cambio de energía potencial E _p del objeto. Estas fórmulas muestran que el trabajo es la energía asociada con la acción de una fuerza, por lo que el trabajo posteriormente posee las dimensiones físicas y las unidades de energía. Los principios de trabajo/energía discutidos aquí son idénticos a los principios de trabajo/energía eléctricos.$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}.}$$$${\displaystyle W=-\Delta E_{\text{p}}.}$$

Las fuerzas de restricción determinan el desplazamiento del objeto en el sistema, limitándolo dentro de un rango. Por ejemplo, en el caso de una pendiente más la gravedad, el objeto está pegado a la pendiente y, al estar atado a una cuerda tensa, no puede moverse en una dirección hacia afuera para hacer que la cuerda esté más "tensa". Elimina todos los desplazamientos en esa dirección, es decir, la velocidad en la dirección de la restricción se limita a 0, de modo que las fuerzas de restricción no realizan trabajo sobre el sistema.

En un sistema mecánico , ^[15] las fuerzas de restricción eliminan el movimiento en las direcciones que caracterizan la restricción. Por lo tanto, el trabajo virtual realizado por las fuerzas de restricción es cero, un resultado que solo es cierto si se excluyen las fuerzas de fricción. ^[16]

Las fuerzas de restricción fijas y sin fricción no realizan trabajo sobre el sistema, ^[17] ya que el ángulo entre el movimiento y las fuerzas de restricción es siempre de 90° . ^[17] Ejemplos de restricciones sin trabajo son: interconexiones rígidas entre partículas, movimiento deslizante sobre una superficie sin fricción y contacto rodante sin deslizamiento. ^[18]

Por ejemplo, en un sistema de poleas como la máquina de Atwood , las fuerzas internas sobre la cuerda y la polea de soporte no realizan trabajo sobre el sistema. Por lo tanto, solo es necesario calcular el trabajo de las fuerzas gravitacionales que actúan sobre los cuerpos. Otro ejemplo es la fuerza centrípeta ejercida hacia adentro por una cuerda sobre una pelota en movimiento circular uniforme hacia los lados que restringe el movimiento circular de la pelota, lo que restringe su movimiento alejándose del centro del círculo. Esta fuerza no realiza trabajo porque es perpendicular a la velocidad de la pelota.

La fuerza magnética sobre una partícula cargada es F = q v × B , donde q es la carga, v es la velocidad de la partícula y B es el campo magnético . El resultado de un producto vectorial es siempre perpendicular a ambos vectores originales, por lo que F ⊥ v . El producto escalar de dos vectores perpendiculares es siempre cero, por lo que el trabajo W = F ⋅ v = 0 , y la fuerza magnética no realiza trabajo. Puede cambiar la dirección del movimiento, pero nunca la velocidad.

En el caso de objetos en movimiento, la cantidad de trabajo/tiempo (potencia) se integra a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza. Por lo tanto, en cualquier instante, la tasa de trabajo realizado por una fuerza (medida en julios/segundo o vatios ) es el producto escalar de la fuerza (un vector) y el vector de velocidad del punto de aplicación. Este producto escalar de fuerza y ​​velocidad se conoce como potencia instantánea . Así como las velocidades se pueden integrar a lo largo del tiempo para obtener una distancia total, por el teorema fundamental del cálculo , el trabajo total a lo largo de una trayectoria es de manera similar la integral temporal de la potencia instantánea aplicada a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación. ^[19]

El trabajo es el resultado de una fuerza sobre un punto que sigue una curva X , con una velocidad v , en cada instante. La pequeña cantidad de trabajo δW que se produce durante un instante de tiempo dt se calcula como donde F ⋅ v es la potencia sobre el instante dt . La suma de estas pequeñas cantidades de trabajo sobre la trayectoria del punto da como resultado el trabajo, donde C es la trayectoria desde x ( t ₁ ) hasta x ( t ₂ ). Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria de la partícula y, por lo tanto, se dice que depende de la trayectoria .$${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt}$$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}\,dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,}$$

Si la fuerza siempre se dirige a lo largo de esta línea y la magnitud de la fuerza es F , entonces esta integral se simplifica a donde s es el desplazamiento a lo largo de la línea. Si F es constante, además de estar dirigida a lo largo de la línea, entonces la integral se simplifica aún más a donde s es el desplazamiento del punto a lo largo de la línea.$${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds}$$$${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs}$$

Este cálculo se puede generalizar para una fuerza constante que no está dirigida a lo largo de la línea, seguida por la partícula. En este caso, el producto escalar F ⋅ d s = F cos θ ds , donde θ es el ángulo entre el vector de fuerza y ​​la dirección del movimiento, ^[19] es decir$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .}$$

Cuando un componente de fuerza es perpendicular al desplazamiento del objeto (como cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular bajo una fuerza central ), no se realiza trabajo, ya que el coseno de 90° es cero. ^[14] Por lo tanto, la gravedad no puede realizar trabajo en un planeta con una órbita circular (esto es ideal, ya que todas las órbitas son ligeramente elípticas). Además, no se realiza trabajo en un cuerpo que se mueve circularmente a una velocidad constante mientras está restringido por una fuerza mecánica, como moverse a velocidad constante en una centrífuga ideal sin fricción.

Calcular el trabajo como "fuerza por segmento de trayectoria recta" sólo se aplicaría en las circunstancias más simples, como se indicó anteriormente. Si la fuerza está cambiando, o si el cuerpo se está moviendo a lo largo de una trayectoria curva, posiblemente rotando y no necesariamente rígida, entonces sólo la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza es relevante para el trabajo realizado, y sólo el componente de la fuerza paralelo a la velocidad del punto de aplicación está realizando trabajo (trabajo positivo cuando está en la misma dirección, y negativo cuando está en la dirección opuesta de la velocidad). Este componente de la fuerza puede describirse mediante la cantidad escalar llamada componente tangencial escalar ( F cos( θ ) , donde θ es el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad). Y entonces la definición más general de trabajo puede formularse de la siguiente manera:

El trabajo realizado por una fuerza variable es la integral lineal de su componente tangencial escalar a lo largo de la trayectoria de su punto de aplicación.

Si la fuerza varía (por ejemplo, al comprimir un resorte), necesitamos usar el cálculo para encontrar el trabajo realizado. Si la fuerza como variable de x está dada por F ( x ) , entonces el trabajo realizado por la fuerza a lo largo del eje x desde x ₁ hasta x ₂ es:

$${\displaystyle W=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}\sum _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} \Delta \mathbf {x} =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} d\mathbf {x} .}$$

Por lo tanto, el trabajo realizado para una fuerza variable se puede expresar como una integral definida de la fuerza sobre el desplazamiento. ^[20]

Si el desplazamiento como variable del tiempo está dado por ∆ x (t) , entonces el trabajo realizado por la fuerza variable desde t ₁ hasta t ₂ es:

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.}$$

Así, el trabajo realizado para una fuerza variable puede expresarse como una integral definida de potencia en el tiempo.

Un par de fuerzas resulta de fuerzas iguales y opuestas, que actúan sobre dos puntos diferentes de un cuerpo rígido. La suma (resultante) de estas fuerzas puede cancelarse, pero su efecto sobre el cuerpo es el par o torque T . El trabajo del torque se calcula como donde T ⋅ ω es la potencia sobre el instante dt . La suma de estas pequeñas cantidades de trabajo sobre la trayectoria del cuerpo rígido produce el trabajo, Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria del cuerpo rígido con una velocidad angular ω que varía con el tiempo y, por lo tanto, se dice que depende de la trayectoria .$${\displaystyle \delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,}$$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.}$$

Si el vector de velocidad angular mantiene una dirección constante, entonces toma la forma, donde es el ángulo de rotación alrededor del vector unitario constante S . En este caso, el trabajo del par se convierte en, donde C es la trayectoria desde hasta . Esta integral depende de la trayectoria rotacional , y por lo tanto depende de la trayectoria.$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,}$$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,}$$${\displaystyle \phi (t_{1})}$${\displaystyle \phi (t_{2})}$${\displaystyle \phi (t)}$

Si el torque está alineado con el vector de velocidad angular de modo que, T = τ S , {\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,} y tanto el torque como la velocidad angular son constantes, entonces el trabajo toma la forma, ^[2]${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).}$$

Este resultado se puede entender de forma más sencilla considerando que el par surge de una fuerza de magnitud constante F , que se aplica perpendicularmente a un brazo de palanca a una distancia , como se muestra en la figura. Esta fuerza actuará a lo largo de la distancia a lo largo del arco circular , por lo que el trabajo realizado es Introduzca el par τ = Fr , para obtener lo presentado anteriormente.${\displaystyle r}$${\displaystyle l=s=r\phi }$$${\displaystyle W=Fs=Fr\phi .}$$$${\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi ,}$$

Tenga en cuenta que solo el componente del torque en la dirección del vector de velocidad angular contribuye al trabajo.

El producto escalar de una fuerza F y la velocidad v de su punto de aplicación define la potencia que se aplica a un sistema en un instante de tiempo. La integración de esta potencia sobre la trayectoria del punto de aplicación, C = x ( t ) , define el trabajo que la fuerza aplica al sistema.

Por lo tanto, el trabajo realizado por una fuerza F sobre un objeto que se desplaza a lo largo de una curva C está dado por la integral de línea : donde dx ( t ) define la trayectoria C y v es la velocidad a lo largo de esta trayectoria. En general, esta integral requiere que se defina la trayectoria a lo largo de la cual se define la velocidad, por lo que se dice que la evaluación del trabajo depende de la trayectoria.$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,}$$

La derivada temporal de la integral del trabajo da como resultado la potencia instantánea,$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

Si el trabajo de una fuerza aplicada es independiente de la trayectoria, entonces el trabajo realizado por la fuerza, por el teorema del gradiente , define una función potencial que se evalúa al principio y al final de la trayectoria del punto de aplicación. Esto significa que existe una función potencial U ( x ) , que se puede evaluar en los dos puntos x ( t ₁ ) y x ( t ₂ ) para obtener el trabajo sobre cualquier trayectoria entre estos dos puntos. Es tradición definir esta función con un signo negativo de modo que el trabajo positivo sea una reducción del potencial, es decir$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).}$$

La función U ( x ) se denomina energía potencial asociada a la fuerza aplicada. La fuerza derivada de dicha función potencial se dice que es conservativa . Ejemplos de fuerzas que tienen energías potenciales son la gravedad y las fuerzas de resorte.

En este caso, el gradiente de trabajo produce ∇ W = − ∇ U = − ( ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z ) = F , {\displaystyle \nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,} y se dice que la fuerza F es "derivable de un potencial". ^[21]

Como el potencial U define una fuerza F en cada punto x del espacio, el conjunto de fuerzas se denomina campo de fuerzas . La potencia aplicada a un cuerpo por un campo de fuerzas se obtiene a partir del gradiente del trabajo, o potencial, en la dirección de la velocidad V del cuerpo, es decir P ( t ) = − ∇ U ⋅ v = F ⋅ v . {\displaystyle P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}

En ausencia de otras fuerzas, la gravedad produce una aceleración descendente constante de todo objeto que se mueve libremente. Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad es g = 9,8 m⋅s ⁻² y la fuerza gravitatoria sobre un objeto de masa m es F _g = mg . Es conveniente imaginar esta fuerza gravitatoria concentrada en el centro de masa del objeto.

Si un objeto con peso mg se desplaza hacia arriba o hacia abajo una distancia vertical y ₂ − y ₁ , el trabajo W realizado sobre el objeto es: donde F _g es el peso (libras en unidades imperiales y newtons en unidades del SI), y Δ y es el cambio en la altura y . Observe que el trabajo realizado por la gravedad depende solo del movimiento vertical del objeto. La presencia de fricción no afecta el trabajo realizado sobre el objeto por su peso.$${\displaystyle W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y}$$

La fuerza de gravedad ejercida por una masa M sobre otra masa m está dada por donde r es el vector de posición de M a m y r̂ es el vector unitario en la dirección de r .$${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,}$$

Deje que la masa m se mueva a la velocidad v ; entonces el trabajo de la gravedad sobre esta masa a medida que se mueve desde la posición r ( t ₁ ) a r ( t ₂ ) está dado por Observe que la posición y la velocidad de la masa m están dadas por donde e _r y e _t son los vectores unitarios radial y tangencial dirigidos en relación con el vector de M a m , y usamos el hecho de que Use esto para simplificar la fórmula para el trabajo de la gravedad a, Este cálculo usa el hecho de que La función es la función potencial gravitacional, también conocida como energía potencial gravitacional . El signo negativo sigue la convención de que el trabajo se gana a partir de una pérdida de energía potencial.$${\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}$$$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},}$$${\displaystyle d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.}$$${\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot \left({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}$$$${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}$$

Considere un resorte que ejerce una fuerza horizontal F = (− kx , 0, 0) que es proporcional a su deflexión en la dirección x independientemente de cómo se mueva un cuerpo. El trabajo de este resorte sobre un cuerpo que se mueve a lo largo del espacio con la curva X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , se calcula utilizando su velocidad, v = ( v x , vy , v z ) , para obtener Por conveniencia , considere que el contacto con el resorte _ocurre en t ₌ 0 _, luego la integral del producto de la distancia x y la velocidad x, xv _x dt , sobre el tiempo t es ⁠$${\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.}$$1/2⁠ x ² . El trabajo es el producto de la distancia por la fuerza del resorte, que también depende de la distancia; de ahí elresultado x ^{2 .}

El trabajo realizado por un cuerpo de gas sobre su entorno es: donde P es la presión, V es el volumen y a y b son los volúmenes inicial y final.${\displaystyle W}$$${\displaystyle W=\int _{a}^{b}P\,dV}$$

El principio de trabajo y energía cinética (también conocido como principio de trabajo-energía ) establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula (el trabajo de la fuerza resultante) es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. ^[22] Es decir, el trabajo W realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula , ^[2] donde y son las velocidades de la partícula antes y después de realizar el trabajo, y m es su masa .${\displaystyle E_{\text{k}}}$$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}}$$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

La derivación del principio de trabajo-energía comienza con la segunda ley de movimiento de Newton y la fuerza resultante sobre una partícula. El cálculo del producto escalar de la fuerza por la velocidad de la partícula evalúa la potencia instantánea añadida al sistema. ^[23] (Las restricciones definen la dirección del movimiento de la partícula al garantizar que no haya ningún componente de velocidad en la dirección de la fuerza de restricción. Esto también significa que las fuerzas de restricción no se suman a la potencia instantánea). La integral temporal de esta ecuación escalar produce trabajo a partir de la potencia instantánea y energía cinética a partir del producto escalar de la aceleración por la velocidad. El hecho de que el principio de trabajo-energía elimine las fuerzas de restricción es la base de la mecánica lagrangiana . ^[24]

Esta sección se centra en el principio de trabajo-energía aplicado a la dinámica de partículas. En sistemas más generales, el trabajo puede cambiar la energía potencial de un dispositivo mecánico, la energía térmica en un sistema térmico o la energía eléctrica en un dispositivo eléctrico. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro o de una forma a otra.

En el caso de que la fuerza resultante F sea constante tanto en magnitud como en dirección, y paralela a la velocidad de la partícula, la partícula se mueve con aceleración constante a a lo largo de una línea recta. ^[25] La relación entre la fuerza neta y la aceleración está dada por la ecuación F = ma ( segunda ley de Newton ), y el desplazamiento de la partícula s se puede expresar mediante la ecuación que se deduce de (ver Ecuaciones de movimiento ).$${\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$$${\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as}$

El trabajo de la fuerza neta se calcula como el producto de su magnitud por el desplazamiento de la partícula. Sustituyendo las ecuaciones anteriores, se obtiene:$${\displaystyle W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

Otra derivación:$${\displaystyle W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

En el caso general del movimiento rectilíneo, cuando la fuerza neta F no es constante en magnitud, pero es constante en dirección y paralela a la velocidad de la partícula, el trabajo debe integrarse a lo largo de la trayectoria de la partícula:$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).}$$

Para cualquier fuerza neta que actúe sobre una partícula que se mueve a lo largo de cualquier trayectoria curvilínea, se puede demostrar que su trabajo es igual al cambio en la energía cinética de la partícula mediante una simple derivación análoga a la ecuación anterior. Se conoce como el principio de trabajo-energía :$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}$$

La identidad requiere algo de álgebra. De la identidad y la definición se deduce que${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .}$$

La parte restante de la derivación anterior es simplemente un cálculo simple, igual que en el caso rectilíneo anterior.

En dinámica de partículas, una fórmula que iguala el trabajo aplicado a un sistema con su cambio en energía cinética se obtiene como una primera integral de la segunda ley de movimiento de Newton . Es útil notar que la fuerza resultante utilizada en las leyes de Newton se puede separar en fuerzas que se aplican a la partícula y fuerzas impuestas por restricciones en el movimiento de la partícula. Sorprendentemente, el trabajo de una fuerza de restricción es cero, por lo tanto, solo el trabajo de las fuerzas aplicadas debe considerarse en el principio de trabajo-energía.

Para ver esto, considere una partícula P que sigue la trayectoria X ( t ) con una fuerza F actuando sobre ella. Aísle la partícula de su entorno para exponer las fuerzas de restricción R , entonces la Ley de Newton toma la forma donde m es la masa de la partícula.$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}$$

Nótese que n puntos sobre un vector indican su derivada temporal n . El producto escalar de cada lado de la ley de Newton con el vector de velocidad da como resultado porque las fuerzas de restricción son perpendiculares a la velocidad de la partícula. Integre esta ecuación a lo largo de su trayectoria desde el punto X ( t ₁ ) hasta el punto X ( t ₂ ) para obtener$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.}$$

El lado izquierdo de esta ecuación es el trabajo de la fuerza aplicada a medida que actúa sobre la partícula a lo largo de la trayectoria desde el tiempo t ₁ hasta el tiempo t ₂ . Esto también se puede escribir como Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria X ( t ) de la partícula y, por lo tanto, depende de la trayectoria.$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}$$

El lado derecho de la primera integral de las ecuaciones de Newton se puede simplificar utilizando la siguiente identidad (ver la regla del producto para su derivación). Ahora se integra explícitamente para obtener el cambio en la energía cinética, donde la energía cinética de la partícula está definida por la cantidad escalar,$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},}$$$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}}$$

Es útil resolver los vectores de velocidad y aceleración en componentes tangenciales y normales a lo largo de la trayectoria X ( t ) , de modo que donde Entonces, el producto escalar de la velocidad por la aceleración en la segunda ley de Newton toma la forma donde la energía cinética de la partícula está definida por la cantidad escalar,$${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\text{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}$$$${\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}$$$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}$$$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}$$

El resultado es el principio de trabajo-energía para la dinámica de partículas. Esta derivación puede generalizarse a sistemas de cuerpos rígidos arbitrarios.$${\displaystyle W=\Delta K.}$$

Consideremos el caso de un vehículo que se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal recta bajo la acción de una fuerza impulsora y la gravedad que suman F . Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera definen R , y tenemos Por conveniencia, supongamos que la trayectoria sea a lo largo del eje X, por lo que X = ( d , 0) y la velocidad es V = ( v , 0) , entonces R ⋅ V = 0 , y F ⋅ V = F _x v , donde F _x es el componente de F a lo largo del eje X, por lo que la integración de ambos lados da Si F _x es constante a lo largo de la trayectoria, entonces la integral de la velocidad es la distancia, por lo que$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$$${\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$$${\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$

Como ejemplo, considere un automóvil que patina hasta detenerse, donde k es el coeficiente de fricción y W es el peso del automóvil. Entonces, la fuerza a lo largo de la trayectoria es F _x = − kW . La velocidad v del automóvil se puede determinar a partir de la longitud s del derrape utilizando el principio de trabajo-energía. Esta fórmula utiliza el hecho de que la masa del vehículo es m = W / g .$${\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}$$

Consideremos el caso de un vehículo que arranca en reposo y se desliza por una superficie inclinada (como una carretera de montaña); el principio de trabajo-energía ayuda a calcular la distancia mínima que recorre el vehículo para alcanzar una velocidad V de, digamos, 60 mph (88 fps). La resistencia a la rodadura y la resistencia del aire reducirán la velocidad del vehículo, por lo que la distancia real será mayor que si se descuidan estas fuerzas.

Sea X ( t ) la trayectoria del vehículo que sigue la carretera , que es una curva en el espacio tridimensional. La fuerza que actúa sobre el vehículo que lo empuja por la carretera es la fuerza de gravedad constante F = (0, 0, W ) , mientras que la fuerza de la carretera sobre el vehículo es la fuerza de restricción R . La segunda ley de Newton da como resultado, El producto escalar de esta ecuación con la velocidad, V = ( v x , vy , v z ) , da como resultado donde _V es la _magnitud de _V . Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera se cancelan en esta ecuación porque R ⋅ V = 0 , lo que significa que no realizan trabajo. Integre ambos lados para obtener La fuerza de peso W es constante a lo largo de la trayectoria y la integral de la velocidad vertical es la distancia vertical, por lo tanto, Recuerde que V( t ₁ )=0. Observe que este resultado no depende de la forma de la carretera seguida por el vehículo.$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$$${\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}}V,}$$$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}$$$${\displaystyle W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}$$

Para determinar la distancia a lo largo de la carretera, suponga que la pendiente es del 6 %, lo que es una carretera empinada. Esto significa que la altitud disminuye 6 pies por cada 100 pies recorridos; para ángulos tan pequeños como este, las funciones seno y tangente son aproximadamente iguales. Por lo tanto, la distancia s en pies por una pendiente del 6 % para alcanzar la velocidad V es al menos Esta fórmula utiliza el hecho de que el peso del vehículo es W = mg .$${\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .}$$

El trabajo de las fuerzas que actúan en varios puntos sobre un único cuerpo rígido se puede calcular a partir del trabajo de una fuerza resultante y un momento de torsión . Para comprobarlo, supongamos que las fuerzas F ₁ , F ₂ , ..., F _n actúan sobre los puntos X ₁ , X ₂ , ..., X _n de un cuerpo rígido.

Las trayectorias de X _i , i = 1, ..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido. Este movimiento está dado por el conjunto de rotaciones [ A ( t )] y la trayectoria d ( t ) de un punto de referencia en el cuerpo. Sean las coordenadas x _i i = 1, ..., n las que definen estos puntos en el sistema de referencia M del cuerpo rígido en movimiento , de modo que las trayectorias trazadas en el sistema fijo F estén dadas por$${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.}$$

La velocidad de los puntos Xi a lo largo _de sus trayectorias es donde ω es el vector de velocidad angular obtenido de la matriz simétrica antidesviada conocida como matriz de velocidad angular.$${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},}$$$${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},}$$

La pequeña cantidad de trabajo de las fuerzas sobre los pequeños desplazamientos δ r _i se puede determinar aproximando el desplazamiento por δ r = v δt, o bien$${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t}$$$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.}$$

Esta fórmula se puede reescribir para obtener donde F y T son la fuerza y ​​el torque resultantes aplicados en el punto de referencia d del marco móvil M en el cuerpo rígido.$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\boldsymbol {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\delta t,}$$

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (1991). Física para científicos e ingenieros: mecánica (3.ª ed., versión ampliada). WH Freeman. ISBN 0-87901-432-6.

• Principio de trabajo-energía