Teorema de existencia de Carathéodory

En matemáticas , el teorema de existencia de Carathéodory dice que una ecuación diferencial ordinaria tiene una solución en condiciones relativamente suaves. Es una generalización del teorema de existencia de Peano . El teorema de Peano requiere que el lado derecho de la ecuación diferencial sea continuo, mientras que el teorema de Carathéodory muestra la existencia de soluciones (en un sentido más general) para algunas ecuaciones discontinuas. El teorema recibe su nombre de Constantin Carathéodory .

Considere la ecuación diferencial

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$

con condición inicial

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0},}$

donde la función ƒ está definida en un dominio rectangular de la forma

${\displaystyle R=\{(t,y)\in \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}\,:\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}.}$

El teorema de existencia de Peano establece que si ƒ es continua , entonces la ecuación diferencial tiene al menos una solución en un entorno de la condición inicial. ^[1]

Sin embargo, también es posible considerar ecuaciones diferenciales con un lado derecho discontinuo, como la ecuación

${\displaystyle y'(t)=H(t),\quad y(0)=0,}$

donde H denota la función de Heaviside definida por

${\displaystyle H(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\1,&{\text{if }}t>0.\end{cases}}}$

Tiene sentido considerar la función de rampa

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}H(s)\,\mathrm {d} s={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\t,&{\text{if }}t>0\end{cases}}}$

como una solución de la ecuación diferencial. Sin embargo, en sentido estricto no satisface la ecuación diferencial en , porque la función no es diferenciable allí. Esto sugiere que la idea de una solución se puede ampliar para permitir soluciones que no sean diferenciables en todas partes, lo que motiva la siguiente definición.${\displaystyle t=0}$

Una función y se denomina solución en el sentido extendido de la ecuación diferencial con condición inicial si y es absolutamente continua , y satisface la ecuación diferencial casi en todas partes e y satisface la condición inicial. ^[2] La continuidad absoluta de y implica que su derivada existe casi en todas partes. ^[3]${\displaystyle y'=f(t,y)}$${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

Considere la ecuación diferencial

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

con definida en el dominio rectangular . Si la función satisface las tres condiciones siguientes:${\displaystyle f}$${\displaystyle R=\{(t,y)\,|\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}}$${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f(t,y)}$es continua en para cada fijo ,${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle f(t,y)}$es medible en cada fijo ,${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$
• existe una función integrable de Lebesgue tal que para todo ,${\displaystyle m:[t_{0}-a,t_{0}+a]\to [0,\infty )}$${\displaystyle |f(t,y)|\leq m(t)}$${\displaystyle (t,y)\in R}$

entonces la ecuación diferencial tiene una solución en el sentido extendido en un entorno de la condición inicial. ^[4]

Se dice que una aplicación satisface las condiciones de Carathéodory si cumple la condición del teorema. ^[5]${\displaystyle f\colon R\to \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle R}$

Supongamos que la aplicación satisface las condiciones de Carathéodory en y hay una función integrable de Lebesgue , tal que ${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$${\displaystyle k:[t_{0}-a,t_{0}+a]\to [0,\infty )}$

${\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|\leq k(t)|y_{1}-y_{2}|,}$

Para todos Entonces, existe una solución única al problema del valor inicial.${\displaystyle (t,y_{1})\in R,(t,y_{2})\in R.}$${\displaystyle y(t)=y(t,t_{0},y_{0})}$

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Además, si la aplicación está definida en todo el espacio y si para cualquier condición inicial , existe un dominio rectangular compacto tal que la aplicación satisface todas las condiciones anteriores en . Entonces, el dominio de definición de la función es abierto y es continuo en . ^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle R_{(t_{0},y_{0})}\subset \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R_{(t_{0},y_{0})}}$${\displaystyle E\subset \mathbf {R} ^{2+n}}$${\displaystyle y(t,t_{0},y_{0})}$${\displaystyle y(t,t_{0},y_{0})}$${\displaystyle E}$

Consideremos un problema de valor inicial lineal de la forma

${\displaystyle y'(t)=A(t)y(t)+b(t),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

En este caso, se supone que los componentes de la función matricial y de la inhomogeneidad son integrables en cada intervalo finito. Entonces, el lado derecho de la ecuación diferencial satisface las condiciones de Carathéodory y existe una solución única para el problema del valor inicial. ^[7]${\displaystyle A\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle b\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n}}$

• Teorema de Picard-Lindelöf
• Teorema de Cauchy-Kowalevski

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: McGraw-Hill.
• Hale, Jack K. (1980), Ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª ed.), Malabar: Robert E. Krieger Publishing Company, ISBN 0-89874-011-8.
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Sr.  0924157.