Teorema de Earnshaw

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v t e

El teorema de Earnshaw establece que un conjunto de cargas puntuales no puede mantenerse en una configuración de equilibrio estacionario estable únicamente mediante la interacción electrostática de las cargas. Esto fue demostrado por primera vez por el matemático británico Samuel Earnshaw en 1842. Generalmente se cita en referencia a los campos magnéticos , pero se aplicó por primera vez al campo electrostático .

El teorema de Earnshaw se aplica a las fuerzas clásicas de la ley del cuadrado inverso (eléctricas y gravitacionales ) y también a las fuerzas magnéticas de los imanes permanentes , si los imanes son duros (los imanes no varían en fuerza con los campos externos). El teorema de Earnshaw prohíbe la levitación magnética en muchas situaciones comunes.

Si los materiales no son duros, la extensión de Braunbeck muestra que los materiales con una permeabilidad magnética relativa mayor que uno ( paramagnetismo ) son aún más desestabilizadores, pero los materiales con una permeabilidad menor que uno ( materiales diamagnéticos ) permiten configuraciones estables.

De manera informal, el caso de una carga puntual en un campo eléctrico estático arbitrario es una consecuencia simple de la ley de Gauss . Para que una partícula esté en un equilibrio estable, pequeñas perturbaciones ("empujes") sobre la partícula en cualquier dirección no deben romper el equilibrio; la partícula debe "caer" a su posición anterior. Esto significa que las líneas de campo de fuerza alrededor de la posición de equilibrio de la partícula deben apuntar hacia adentro, hacia esa posición. Si todas las líneas de campo circundantes apuntan hacia el punto de equilibrio, entonces la divergencia del campo en ese punto debe ser negativa (es decir, ese punto actúa como un sumidero). Sin embargo, la ley de Gauss dice que la divergencia de cualquier campo de fuerza eléctrica posible es cero en el espacio libre. En notación matemática, una fuerza eléctrica F ( r ) derivada de un potencial U ( r ) siempre será sin divergencia (satisface la ecuación de Laplace ):

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot (-\nabla U)=-\nabla ^{2}U=0.}$$

Por lo tanto, no existen mínimos ni máximos locales del potencial de campo en el espacio libre, solo puntos de silla . No puede existir un equilibrio estable de la partícula y debe haber una inestabilidad en alguna dirección. Este argumento puede no ser suficiente si todas las segundas derivadas de U son nulas . ^[1]

Para ser completamente rigurosos, estrictamente hablando, la existencia de un punto estable no requiere que todos los vectores de fuerza vecinos apunten exactamente hacia el punto estable; los vectores de fuerza podrían, por ejemplo, girar en espiral hacia el punto estable. Un método para tratar esto invoca el hecho de que, además de la divergencia, el rizo de cualquier campo eléctrico en el espacio libre también es cero (en ausencia de cualquier corriente magnética).

También es posible demostrar este teorema directamente a partir de las ecuaciones de fuerza/energía para dipolos magnéticos estáticos (abajo). Sin embargo, intuitivamente es plausible que si el teorema es válido para una sola carga puntual, también lo sería para dos cargas puntuales opuestas conectadas entre sí. En particular, se cumpliría en el límite donde la distancia entre las cargas se reduce a cero mientras se mantiene el momento dipolar, es decir, se cumpliría para un dipolo eléctrico . Pero si el teorema es válido para un dipolo eléctrico, entonces también se cumplirá para un dipolo magnético, ya que las ecuaciones de fuerza/energía (estáticas) toman la misma forma para dipolos eléctricos y magnéticos.

Como consecuencia práctica, este teorema también establece que no existe ninguna configuración estática posible de ferroimanes que pueda levitar de forma estable un objeto contra la gravedad, incluso cuando las fuerzas magnéticas sean más fuertes que las fuerzas gravitacionales.

El teorema de Earnshaw ha sido probado incluso para el caso general de cuerpos extensos, y esto es así incluso si son flexibles y conductores, siempre que no sean diamagnéticos , ^{[2] [3]} ya que el diamagnetismo constituye una fuerza repulsiva (pequeña), pero no una atracción.

Sin embargo, hay varias excepciones a los supuestos de la regla, que permiten la levitación magnética .

El teorema de Earnshaw no tiene excepciones para los ferroimanes permanentes que no se mueven . Sin embargo, el teorema de Earnshaw no se aplica necesariamente a los ferroimanes móviles, ^[4] ciertos sistemas electromagnéticos, la pseudolevitación y los materiales diamagnéticos. Por lo tanto, estos pueden parecer excepciones, aunque en realidad explotan las restricciones del teorema.

Levitación magnética estabilizada por giro : los ferroimanes giratorios (como el Levitron ) pueden, mientras giran, levitar magnéticamente utilizando solo ferroimanes permanentes, y el sistema agrega fuerzas giroscópicas. ^[4] (El ferroimán giratorio no es un "ferroimán inmóvil").

El cambio de polaridad de un electroimán o de un sistema de electroimanes puede hacer levitar un sistema mediante el gasto continuo de energía. Los trenes de levitación magnética son una de las aplicaciones.

La pseudolevitación restringe el movimiento de los imanes, generalmente mediante algún tipo de atadura o pared. Esto funciona porque el teorema solo muestra que existe una dirección en la que habrá inestabilidad. Limitar el movimiento en esa dirección permite la levitación con menos de las 3 dimensiones disponibles para el movimiento (nótese que el teorema está probado para 3 dimensiones, no unidimensionales o bidimensionales).

Los materiales diamagnéticos son una excepción porque sólo presentan repulsión contra el campo magnético, mientras que el teorema requiere materiales que tengan tanto repulsión como atracción. Un ejemplo de esto es la famosa rana levitante (véase Diamagnetismo ).

El teorema de Earnshaw se aplica en un marco de referencia inercial. Pero a veces es más natural trabajar en un marco de referencia giratorio que contiene una fuerza centrífuga ficticia que viola los supuestos del teorema de Earnshaw. Los puntos que son estacionarios en un marco de referencia giratorio (pero que se mueven en un marco inercial) pueden ser absolutamente estables o absolutamente inestables. Por ejemplo, en el problema restringido de los tres cuerpos , el potencial efectivo de la fuerza centrífuga ficticia permite que los puntos de Lagrange L4 y L5 se encuentren en los máximos locales del campo de potencial efectivo incluso si solo hay una masa despreciable en esas ubicaciones. (Aunque estos puntos de Lagrange se encuentran en los máximos locales del campo de potencial en lugar de en los mínimos locales, siguen siendo absolutamente estables en un cierto régimen de parámetros debido a la fuerza de Coriolis ficticia dependiente de la velocidad , que no es capturada por el campo de potencial escalar).

Durante bastante tiempo, el teorema de Earnshaw planteó una pregunta sorprendente sobre por qué la materia es estable y se mantiene unida, ya que se encontraron muchas pruebas de que la materia se mantenía unida electromagnéticamente a pesar de la inestabilidad demostrada de las configuraciones de carga estática. Dado que el teorema de Earnshaw solo se aplica a cargas estacionarias, hubo intentos de explicar la estabilidad de los átomos utilizando modelos planetarios, como el modelo saturniano de Nagaoka (1904) y el modelo planetario de Rutherford (1911), donde los electrones puntuales giran alrededor de una carga puntual positiva en el centro. Sin embargo, la estabilidad de tales modelos planetarios fue inmediatamente cuestionada: los electrones tienen una aceleración distinta de cero cuando se mueven a lo largo de un círculo y, por lo tanto, irradiarían la energía a través de un campo electromagnético no estacionario. El modelo de Bohr de 1913 prohibió formalmente esta radiación sin dar una explicación de su ausencia.

Por otra parte, el teorema de Earnshaw sólo se aplica a cargas puntuales, pero no a cargas distribuidas. Esto llevó a JJ Thomson en 1904 a su modelo de pudín de ciruelas , donde las cargas puntuales negativas (electrones o "ciruelas") están incrustadas en un " pudín " de carga positiva distribuida, donde podrían estar estacionarias o moviéndose a lo largo de círculos; esta es una configuración que son cargas positivas no puntuales (y también cargas negativas no estacionarias), no cubiertas por el teorema de Earnshaw. Finalmente, esto condujo al modelo de Schrödinger de 1926 , donde la existencia de estados no radiativos en los que el electrón no es un punto sino más bien una densidad de carga distribuida resuelve el enigma anterior a un nivel fundamental: no sólo no había contradicción con el teorema de Earnshaw, sino que también la densidad de carga resultante y la densidad de corriente son estacionarias, y también lo es el campo electromagnético correspondiente, que ya no irradia la energía al infinito. Esto proporcionó una explicación mecánico cuántica de la estabilidad del átomo.

En un nivel más práctico, se puede decir que el principio de exclusión de Pauli y la existencia de orbitales electrónicos discretos son responsables de hacer que la materia en masa sea rígida.

Aunque es posible una prueba más general, aquí se consideran tres casos específicos. El primer caso es un dipolo magnético de magnitud constante que tiene una orientación rápida (fija). El segundo y tercer caso son dipolos magnéticos cuya orientación cambia para permanecer alineados en paralelo o antiparalelo a las líneas de campo del campo magnético externo. En los materiales paramagnéticos y diamagnéticos, los dipolos están alineados en paralelo y antiparalelo a las líneas de campo, respectivamente.

Las pruebas consideradas aquí se basan en los siguientes principios.

La energía U de un dipolo magnético con un momento dipolar magnético M en un campo magnético externo B está dada por$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).}$$

El dipolo solo levitará de manera estable en los puntos donde la energía tenga un mínimo. La energía solo puede tener un mínimo en los puntos donde el laplaciano de la energía sea mayor que cero. Es decir, donde$${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}>0.}$$

Finalmente, debido a que tanto la divergencia como el rizo de un campo magnético son cero (en ausencia de corriente o de un campo eléctrico cambiante), los laplacianos de los componentes individuales de un campo magnético son cero. Es decir,$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}=\nabla ^{2}B_{y}=\nabla ^{2}B_{z}=0.}$$

Esto se demuestra al final de este artículo, ya que es fundamental para comprender la prueba general.

Para un dipolo magnético de orientación fija (y magnitud constante) la energía estará dada por donde M _x , M _y y M _z son constantes. En este caso el laplaciano de la energía es siempre cero, por lo que el dipolo no puede tener ni un mínimo de energía ni un máximo de energía. Es decir, no hay ningún punto en el espacio libre donde el dipolo sea estable en todas las direcciones o inestable en todas las direcciones.$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}U=0,}$$

Los dipolos magnéticos alineados en paralelo o antiparalelo a un campo externo con la magnitud del dipolo proporcional al campo externo corresponderán a materiales paramagnéticos y diamagnéticos respectivamente. En estos casos la energía estará dada por donde k es una constante mayor que cero para materiales paramagnéticos y menor que cero para materiales diamagnéticos.$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right),}$$

En este caso, se demostrará que, combinado con la constante k , muestra que los materiales paramagnéticos pueden tener máximos de energía pero no mínimos de energía y los materiales diamagnéticos pueden tener mínimos de energía pero no máximos de energía. Es decir, los materiales paramagnéticos pueden ser inestables en todas las direcciones pero no estables en todas las direcciones y los materiales diamagnéticos pueden ser estables en todas las direcciones pero no inestables en todas las direcciones. Por supuesto, ambos materiales pueden tener puntos de silla.$${\displaystyle \nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0,}$$

Finalmente, el dipolo magnético de un material ferromagnético (un imán permanente) que está alineado paralelo o antiparalelo a un campo magnético estará dado por$${\displaystyle \mathbf {M} =k{\mathbf {B} \over |\mathbf {B} |},}$$

Así que la energía será dada por$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }{|\mathbf {B} |}}=-k{\frac {|\mathbf {B} |^{2}}{|\mathbf {B} |}}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{\frac {1}{2}};}$$

pero esto es sólo la raíz cuadrada de la energía para el caso paramagnético y diamagnético discutido anteriormente y, dado que la función de raíz cuadrada aumenta monótonamente, cualquier mínimo o máximo en el caso paramagnético y diamagnético será un mínimo o máximo aquí también. Sin embargo, no hay configuraciones conocidas de imanes permanentes que leviten de manera estable, por lo que puede haber otras razones no discutidas aquí por las que no es posible mantener imanes permanentes en orientaciones antiparalelas a los campos magnéticos (al menos no sin rotación; consulte levitación magnética estabilizada por espín .

El teorema de Earnshaw se formuló originalmente para la electrostática (cargas puntuales) con el fin de demostrar que no existe una configuración estable de un conjunto de cargas puntuales. Las pruebas presentadas aquí para dipolos individuales deberían ser generalizables a conjuntos de dipolos magnéticos porque están formuladas en términos de energía, que es aditiva. Sin embargo, un tratamiento riguroso de este tema está actualmente fuera del alcance de este artículo.

Se demostrará que en todos los puntos del espacio libre$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla U)=\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial z}^{2}}=0.}$$

La energía U del dipolo magnético M en el campo magnético externo B está dada por$${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-M_{x}B_{x}-M_{y}B_{y}-M_{z}B_{z}.}$$

El laplaciano será$${\displaystyle \nabla ^{2}U=-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)}$$

Desarrollando y reordenando los términos (y observando que el dipolo M es constante) tenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}U&=-M_{x}\left({\partial ^{2}B_{x} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{y}\left({\partial ^{2}B_{y} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{z}\left({\partial ^{2}B_{z} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial z}^{2}}\right)\\[3pt]&=-M_{x}\nabla ^{2}B_{x}-M_{y}\nabla ^{2}B_{y}-M_{z}\nabla ^{2}B_{z}\end{aligned}}}$$

pero los laplacianos de los componentes individuales de un campo magnético son cero en el espacio libre (sin contar la radiación electromagnética) por lo que$${\displaystyle \nabla ^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0,}$$

lo que completa la prueba.

En primer lugar, se considera el caso de un dipolo paramagnético o diamagnético. La energía viene dada por$${\displaystyle U=-k|\mathbf {B} |^{2}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right).}$$

Ampliando y reordenando términos,$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}}$$

pero como el Laplaciano de cada componente individual del campo magnético es cero,$${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}\right);}$$

y como el cuadrado de una magnitud es siempre positivo,$${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}\geq 0.}$$

Como se discutió anteriormente, esto significa que el Laplaciano de la energía de un material paramagnético nunca puede ser positivo (no hay levitación estable) y el Laplaciano de la energía de un material diamagnético nunca puede ser negativo (no hay inestabilidad en todas las direcciones).

Además, dado que la energía de un dipolo de magnitud fija alineado con el campo externo será la raíz cuadrada de la energía anterior, se aplica el mismo análisis.

Aquí se demuestra que el laplaciano de cada componente individual de un campo magnético es cero. Esto muestra la necesidad de invocar las propiedades de los campos magnéticos, que establecen que la divergencia de un campo magnético es siempre cero y que el rizo de un campo magnético es cero en el espacio libre (es decir, en ausencia de corriente o de un campo eléctrico cambiante). Véanse las ecuaciones de Maxwell para obtener una discusión más detallada de estas propiedades de los campos magnéticos.

Consideremos el Laplaciano del componente x del campo magnético$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}B_{x}&={\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$

Debido a que el rizo de B es cero, y por lo tanto tenemos$${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial B_{y}}{\partial x}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}},}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}.}$$

Pero como B _x es continua, el orden de diferenciación no importa, dando$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}\left({\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}\right)={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} ).}$$

La divergencia de B es cero, por lo que$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} )=0.}$$

El laplaciano del componente y del campo magnético _B y y el laplaciano del componente z del campo magnético B _z se pueden calcular de forma análoga. Alternativamente, se puede utilizar la identidad donde ambos términos entre paréntesis se anulan.$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right),}$$

• Levitación electrostática
• Levitación magnética

• Scott, WT (1959). "¿Quién fue Earnshaw?". American Journal of Physics . 27 (6): 418–419. Código Bibliográfico :1959AmJPh..27..418S. doi :10.1119/1.1934886.

• "Levitación posible", una discusión sobre el teorema de Earnshaw y sus consecuencias para la levitación, junto con varias formas de levitar con campos electromagnéticos