Teorema de bisección de Bartlett

El teorema de bisección de Bartlett es un teorema eléctrico en análisis de redes atribuido a Albert Charles Bartlett . El teorema muestra que cualquier red simétrica de dos puertos se puede transformar en una red reticular . ^[1] El teorema aparece a menudo en la teoría de filtros , donde la red reticular a veces se conoce como una sección X de filtro siguiendo la práctica común de la teoría de filtros de nombrar las secciones con letras alfabéticas con las que guardan una semejanza.

El teorema, tal como lo formuló originalmente Bartlett, requería que las dos mitades de la red fueran topológicamente simétricas. Posteriormente, Wilhelm Cauer lo amplió para que se aplicara a todas las redes que fueran eléctricamente simétricas. Es decir, la implementación física de la red no tiene relevancia alguna. Solo se requiere que su respuesta en ambas mitades sea simétrica. ^[2]

Los filtros de topología de red no son muy comunes. La razón de esto es que requieren más componentes (especialmente inductores ) que otros diseños. La topología de escalera es mucho más popular. Sin embargo, tienen la propiedad de estar intrínsecamente equilibrados y una versión equilibrada de otra topología , como las secciones en T, puede acabar utilizando más inductores. Una aplicación es para filtros de corrección de fase de paso total en líneas de telecomunicaciones equilibradas. El teorema también aparece en el diseño de filtros de cristal en frecuencias de RF. Aquí las topologías de escalera tienen algunas propiedades indeseables, pero una estrategia de diseño común es empezar desde una implementación de escalera debido a su simplicidad. El teorema de Bartlett se utiliza entonces para transformar el diseño a una etapa intermedia como un paso hacia la implementación final (utilizando un transformador para producir una versión desequilibrada de la topología de red). ^[3]

Comience con una red de dos puertos , N, con un plano de simetría entre los dos puertos . A continuación, corte N a través de su plano de simetría para formar dos nuevos dos puertos idénticos, ⁠1/2⁠ N. Conecte dos generadores de voltaje idénticos a los dos puertos de N. Está claro por la simetría que no fluirá corriente a través de ninguna rama que pase por el plano de simetría. La impedancia medida en un puerto de N en estas circunstancias será la misma que la impedancia medida si todas las ramas que pasan por el plano de simetría estuvieran en circuito abierto. Por lo tanto, es la misma impedancia que la impedancia de circuito abierto de ⁠1/2⁠ N. Llamemos a eso impedancia .$Estilo de visualización Z_{oc}$

Consideremos ahora la red N con dos generadores de tensión idénticos conectados a los puertos pero con polaridad opuesta. Así como la superposición de corrientes a través de las ramas en el plano de simetría debe ser cero en el caso anterior, por analogía y aplicando el principio de dualidad , la superposición de tensiones entre nodos en el plano de simetría debe ser igualmente cero en este caso. La impedancia de entrada es entonces la misma que la impedancia de cortocircuito de ⁠1/2⁠ N. Llamemos a eso impedancia .$Estilo de visualización Z_{sc}}$

El teorema de bisección de Bartlett establece que la red N es equivalente a una red reticular con ramas en serie de y ramas cruzadas de . ^[4]$Estilo de visualización Z_{sc}}$$Estilo de visualización Z_{oc}$

Considere la red reticular que se muestra con generadores idénticos, E, conectados a cada puerto. Es claro por la simetría y la superposición que no fluye corriente en las ramas en serie . Por lo tanto, esas ramas se pueden eliminar y dejar en circuito abierto sin ningún efecto en el resto del circuito. Esto deja un bucle de circuito con un voltaje de 2E y una impedancia de dando una corriente en el bucle de;$Estilo de visualización Z_{sc}}$$estilo de visualización 2Z_{oc}$

${\displaystyle I={\frac {2E}{2Z_{oc}}}}$

y una impedancia de entrada de;

${\displaystyle {\frac {E}{I}}=Z_{oc}}$

como se requiere para la equivalencia con el original de dos puertos.

De manera similar, al invertir uno de los generadores se obtiene, mediante un argumento idéntico, un bucle con una impedancia de y una impedancia de entrada de;$Estilo de visualización 2Z_{sc}$

${\displaystyle {\frac {E}{I}}=Z_{sc}}$

Recordando que estas configuraciones de generador son la forma precisa en que se definieron y en el modelo original de dos puertos, se demuestra que la red es equivalente para esos dos casos. Se demuestra que esto es así para todos los casos considerando que todas las demás condiciones de entrada y salida se pueden expresar como una superposición lineal de los dos casos ya demostrados.$Estilo de visualización Z_{oc}$$Estilo de visualización Z_{sc}}$

Es posible utilizar la transformación de Bartlett a la inversa, es decir, transformar una red reticular simétrica en otra topología simétrica. Los ejemplos que se muestran arriba también podrían haberse mostrado a la inversa. Sin embargo, a diferencia de los ejemplos anteriores, el resultado no siempre es físicamente realizable con componentes pasivos lineales. Esto se debe a que existe la posibilidad de que la transformación inversa genere componentes con valores negativos. Las cantidades negativas solo se pueden realizar físicamente con componentes activos presentes en la red.

Existe una extensión del teorema de Bartlett que permite modificar una red de filtros simétricos que funciona entre terminaciones de impedancia de entrada y salida iguales para impedancias de fuente y carga desiguales. Este es un ejemplo de escalado de impedancia de un filtro prototipo . La red simétrica se divide en dos a lo largo de su plano de simetría. Una mitad se escala a la impedancia de entrada y la otra a la impedancia de salida. La forma de respuesta del filtro sigue siendo la misma. Esto no equivale a una red de adaptación de impedancia , las impedancias que miran hacia los puertos de la red no guardan relación con las impedancias de terminación. Esto significa que una red diseñada por el teorema de Bartlett, si bien tiene exactamente la respuesta del filtro predicha, también agrega una atenuación constante además de la respuesta del filtro. En las redes de adaptación de impedancia, un criterio de diseño habitual es maximizar la transferencia de potencia. La respuesta de salida tiene "la misma forma" en relación con el voltaje del generador ideal teórico que impulsa la entrada. No es lo mismo en relación con el voltaje de entrada real que entrega el generador ideal teórico a través de su impedancia de carga. ^{[5] [6]}

La ganancia constante debida a la diferencia en las impedancias de entrada y salida viene dada por;

${\displaystyle A={\frac {V_{2}}{E}}={\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

Tenga en cuenta que es posible que esto sea mayor que la unidad, es decir, es posible una ganancia de voltaje, pero siempre se pierde potencia.