Topología de circuitos (eléctricos)

La topología de un circuito electrónico es la forma que adopta la red de interconexiones de los componentes del circuito. Los diferentes valores o clasificaciones específicos de los componentes se consideran como la misma topología. La topología no se ocupa de la disposición física de los componentes en un circuito ni de sus posiciones en un diagrama de circuito ; de manera similar al concepto matemático de topología , solo se ocupa de las conexiones que existen entre los componentes. Numerosos diseños físicos y diagramas de circuitos pueden dar como resultado la misma topología.

En sentido estricto, reemplazar un componente por uno de un tipo completamente diferente sigue siendo la misma topología. Sin embargo, en algunos contextos, se pueden describir de manera general como topologías diferentes. Por ejemplo, intercambiar inductores y capacitores en un filtro de paso bajo da como resultado un filtro de paso alto . Estas topologías se pueden describir como de paso alto y paso bajo, aunque la topología de red sea idéntica. Un término más correcto para estas clases de objetos (es decir, una red donde se especifica el tipo de componente, pero no el valor absoluto) es red prototipo .

La topología de redes electrónicas está relacionada con la topología matemática . En particular, para redes que contienen solo dispositivos de dos terminales, la topología de circuitos puede verse como una aplicación de la teoría de grafos . En un análisis de red de un circuito de este tipo desde un punto de vista topológico, los nodos de la red son los vértices de la teoría de grafos y las ramas de la red son los bordes de la teoría de grafos.

La teoría de grafos estándar se puede ampliar para abordar componentes activos y dispositivos multiterminales, como circuitos integrados . Los grafos también se pueden utilizar en el análisis de redes infinitas.

Los diagramas de circuitos de este artículo siguen las convenciones habituales en electrónica; ^[1] las líneas representan conductores , los círculos pequeños rellenos representan uniones de conductores y los círculos pequeños abiertos representan terminales para la conexión con el mundo exterior. En la mayoría de los casos, las impedancias se representan mediante rectángulos. Un diagrama de circuito práctico utilizaría los símbolos específicos para resistencias , inductores , condensadores , etc., pero la topología no se ocupa del tipo de componente de la red, por lo que se ha utilizado en su lugar el símbolo de una impedancia general .

La sección de teoría de grafos de este artículo ofrece un método alternativo para representar redes.

Muchos nombres de topologías se relacionan con su apariencia cuando se dibujan en forma de diagrama. La mayoría de los circuitos se pueden dibujar de diversas maneras y, en consecuencia, tienen una variedad de nombres. Por ejemplo, los tres circuitos que se muestran en la Figura 1.1 tienen un aspecto diferente, pero tienen topologías idénticas. ^[2]

Este ejemplo también demuestra una convención común de nombrar topologías según una letra del alfabeto con la que se parecen. Las letras del alfabeto griego también se pueden usar de esta manera, por ejemplo, topología Π ( pi ) y topología Δ ( delta ).

Una red con dos componentes o ramas sólo tiene dos topologías posibles: serie y paralelo .

Incluso para estas topologías más simples, el circuito se puede presentar de diferentes maneras.

Una red con tres ramas tiene cuatro topologías posibles.

Tenga en cuenta que la topología serie-paralelo es otra representación de la topología delta que se analizará más adelante.

Las topologías en serie y en paralelo se pueden seguir construyendo con un número cada vez mayor de ramificaciones hasta el infinito . El número de topologías únicas que se pueden obtener a partir de ramificaciones en serie o en paralelo es 1, 2, 4, 10, 24, 66, 180, 522, 1532, 4624 (secuencia A000084 en la OEIS ). ^{[3] [4]}${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$${\displaystyle \puntos}$

Y y Δ son topologías importantes en el análisis de redes lineales debido a que son las redes de tres terminales más simples posibles. Existe una transformada Y-Δ disponible para circuitos lineales. Esta transformada es importante porque algunas redes no se pueden analizar en términos de combinaciones en serie y en paralelo. Estas redes surgen a menudo en circuitos de potencia trifásicos, ya que son las dos topologías más comunes para bobinados de transformadores o motores trifásicos.

Un ejemplo de esto es la red de la figura 1.6, que consiste en una red Y conectada en paralelo con una red Δ. Digamos que se desea calcular la impedancia entre dos nodos de la red. En muchas redes esto se puede hacer mediante aplicaciones sucesivas de las reglas para la combinación de impedancias en serie o en paralelo. Sin embargo, esto no es posible en este caso donde se necesita la transformada Y-Δ además de las reglas en serie y en paralelo. ^[5] La topología Y también se llama topología en estrella. Sin embargo, la topología en estrella también puede referirse al caso más general de muchas ramas conectadas al mismo nodo en lugar de solo tres. ^[6]

Las topologías que se muestran en la figura 1.7 se utilizan comúnmente para diseños de filtros y atenuadores . La sección en L es una topología idéntica a la topología del divisor de potencial. La sección en T es una topología idéntica a la topología en Y. La sección en Π es una topología idéntica a la topología en Δ.

Todas estas topologías pueden considerarse como una sección corta de una topología en escalera . Las secciones más largas normalmente se describirían como topología en escalera. Este tipo de circuitos se analizan y caracterizan comúnmente en términos de una red de dos puertos . ^[7]

La topología de puente es una topología importante con muchos usos tanto en aplicaciones lineales como no lineales, incluyendo, entre muchas otras, el rectificador de puente , el puente de Wheatstone y el ecualizador de fase en red . La topología de puente se representa en diagramas de circuitos de varias maneras. La primera representación en la figura 1.8 es la representación tradicional de un circuito de puente. La segunda representación muestra claramente la equivalencia entre la topología de puente y una topología derivada de combinaciones en serie y en paralelo. La tercera representación se conoce más comúnmente como topología en red. No es tan obvio que esto sea topológicamente equivalente. Se puede ver que esto es así al visualizar el nodo superior izquierdo movido a la derecha del nodo superior derecho.

Es normal llamar a una topología de red puente solo si se utiliza como una red de dos puertos , donde los puertos de entrada y salida consisten cada uno en un par de nodos diagonalmente opuestos. La topología de caja de la figura 1.7 puede verse como idéntica a la topología de puente, pero en el caso del filtro, los puertos de entrada y salida son cada uno un par de nodos adyacentes . A veces, el componente de carga (o indicación nula) en el puerto de salida del puente se incluirá en la topología de puente, como se muestra en la figura 1.9. ^[8]

La topología T en puente se deriva de la topología en puente de la forma explicada en el artículo sobre redes de Zobel . En el mismo artículo también se analizan muchas topologías derivadas.

También existe una topología twin-T, que tiene aplicaciones prácticas donde es deseable que la entrada y la salida compartan un terminal común ( tierra ). Esto puede deberse, por ejemplo, a que las conexiones de entrada y salida se realizan con topología coaxial . La conexión de un terminal de entrada y salida no está permitida con la topología de puente normal, por lo que se utiliza Twin-T donde de lo contrario se utilizaría un puente para aplicaciones de medición de equilibrio o nulo. La topología también se utiliza en el oscilador twin-T como generador de ondas sinusoidales. La parte inferior de la figura 1.11 muestra la topología twin-T rediseñada para enfatizar la conexión con la topología de puente. ^[9]

La topología en escalera se puede ampliar sin límites y se utiliza mucho en diseños de filtros. Existen muchas variantes de la topología en escalera, algunas de las cuales se analizan en los artículos Topología de filtros electrónicos y Filtro de imagen compuesta .

La forma equilibrada de la topología en escalera puede considerarse como el gráfico del lado de un prisma de orden arbitrario. El lado de un antiprisma forma una topología que, en este sentido, es una antiescalera. La topología antiescalera encuentra una aplicación en circuitos multiplicadores de tensión , en particular en el generador Cockcroft-Walton . También existe una versión de onda completa del generador Cockcroft-Walton que utiliza una topología antiescalera doble. ^[10]

También se pueden formar topologías infinitas conectando en cascada múltiples secciones de alguna otra topología simple, como secciones en red o en puente-T. Estas cadenas infinitas de secciones en red se dan en el análisis teórico y la simulación artificial de líneas de transmisión , pero rara vez se utilizan como una implementación práctica de circuitos. ^[11]

Los circuitos que contienen componentes con tres o más terminales aumentan considerablemente el número de topologías posibles. Por el contrario, el número de circuitos diferentes representados por una topología disminuye y, en muchos casos, el circuito es fácilmente reconocible a partir de la topología, incluso cuando no se identifican los componentes específicos.

En el caso de circuitos más complejos, la descripción puede realizarse mediante la especificación de una función de transferencia entre los puertos de la red en lugar de la topología de los componentes. ^[12]

La teoría de grafos es la rama de las matemáticas que se ocupa de los grafos . En el análisis de redes, los grafos se utilizan ampliamente para representar una red que se está analizando. El grafo de una red captura solo ciertos aspectos de una red: aquellos aspectos relacionados con su conectividad o, en otras palabras, su topología. Esta puede ser una representación y generalización útil de una red porque muchas ecuaciones de red son invariantes en redes con la misma topología. Esto incluye ecuaciones derivadas de las leyes de Kirchhoff y el teorema de Tellegen . ^[13]

La teoría de grafos se ha utilizado en el análisis de redes lineales y pasivas casi desde el momento en que se formularon las leyes de Kirchhoff. El propio Gustav Kirchhoff , en 1847, utilizó grafos como una representación abstracta de una red en su análisis de bucles de circuitos resistivos. ^[14] Este enfoque se generalizó más tarde a los circuitos RLC, reemplazando las resistencias por impedancias. En 1873, James Clerk Maxwell proporcionó el dual de este análisis con el análisis de nodos. ^{[15] [16]} Maxwell también es responsable del teorema topológico de que el determinante de la matriz de admitancia de nodos es igual a la suma de todos los productos de admitancia de árboles. En 1900, Henri Poincaré introdujo la idea de representar un grafo por su matriz de incidencia , ^[17] fundando así el campo de la topología algebraica . En 1916, Oswald Veblen aplicó la topología algebraica de Poincaré al análisis de Kirchhoff. ^[18] Veblen también es responsable de la introducción del árbol de expansión para ayudar a elegir un conjunto compatible de variables de red. ^[19]

La catalogación exhaustiva de los grafos de red aplicados a los circuitos eléctricos comenzó con Percy MacMahon en 1891 (con un artículo de interés para los ingenieros en The Electrician en 1892), quien limitó su estudio a las combinaciones en serie y en paralelo. MacMahon llamó a estos grafos cadenas de yugo. ^{[nota 1]} Ronald M. Foster en 1932 clasificó los grafos por su nulidad o rango y proporcionó diagramas de todos aquellos con un pequeño número de nodos. Este trabajo surgió de un estudio anterior realizado por Foster mientras colaboraba con George Campbell en 1920 sobre repetidores telefónicos de 4 puertos y produjo 83.539 grafos distintos. ^[20]

Durante mucho tiempo, la topología en la teoría de circuitos eléctricos se centró únicamente en redes pasivas lineales. Los desarrollos más recientes de dispositivos y circuitos semiconductores han requerido nuevas herramientas en topología para abordarlos. Los enormes aumentos en la complejidad de los circuitos han llevado al uso de la combinatoria en la teoría de grafos para mejorar la eficiencia del cálculo informático. ^[19]

Las redes se clasifican comúnmente por el tipo de elementos eléctricos que las componen. En un diagrama de circuito, estos tipos de elementos se dibujan específicamente, cada uno con su propio símbolo único. Las redes resistivas son redes de un solo tipo de elemento, que constan solo de elementos R. Del mismo modo, las redes capacitivas o inductivas son de un solo tipo de elemento. Los circuitos RC , RL y LC son redes simples de dos tipos de elementos. El circuito RLC es la red de tres tipos de elementos más simple. La red de escalera LC , que se usa comúnmente para filtros de paso bajo, puede tener muchos elementos, pero es otro ejemplo de una red de dos tipos de elementos. ^[21]

Por el contrario, la topología se ocupa únicamente de la relación geométrica entre los elementos de una red, no del tipo de elementos en sí. El corazón de una representación topológica de una red es el gráfico de la red. Los elementos se representan como los bordes del gráfico. Un borde se dibuja como una línea, que termina en puntos o pequeños círculos de los que pueden emanar otros bordes (elementos). En el análisis de circuitos, los bordes del gráfico se denominan ramas . Los puntos se denominan vértices del gráfico y representan los nodos de la red. Nodo y vértice son términos que se pueden utilizar indistintamente cuando se habla de gráficos de redes. La figura 2.2 muestra una representación gráfica del circuito de la figura 2.1. ^[22]

Los gráficos utilizados en el análisis de redes suelen ser, además, tanto gráficos dirigidos , para capturar la dirección del flujo de corriente y voltaje, como gráficos etiquetados , para capturar la unicidad de las ramas y los nodos. Por ejemplo, un gráfico que consiste en un cuadrado de ramas seguiría siendo el mismo gráfico topológico si se intercambiaran dos ramas a menos que las ramas estuvieran etiquetadas de manera única. En los gráficos dirigidos, los dos nodos a los que se conecta una rama se designan como nodos de origen y destino. Por lo general, estos se indicarán mediante una flecha dibujada en la rama. ^[23]

La incidencia es una de las propiedades básicas de un grafo. Se dice que una arista que está conectada a un vértice es incidente en ese vértice. La incidencia de un grafo se puede capturar en formato matricial con una matriz llamada matriz de incidencia. De hecho, la matriz de incidencia es una representación matemática alternativa del grafo que prescinde de la necesidad de cualquier tipo de dibujo. Las filas de la matriz corresponden a los nodos y las columnas de la matriz corresponden a las ramas. Los elementos de la matriz son cero, para que no haya incidencia, o uno, para que haya incidencia entre el nodo y la rama. La dirección en los grafos dirigidos se indica mediante el signo del elemento. ^{[19] [24]}

Los grafos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro por deformación. La deformación puede incluir las operaciones de traslación , rotación y reflexión ; doblar y estirar las ramas; y cruzar o anudar las ramas. Dos grafos que son equivalentes por deformación se dicen congruentes . [ ^25]

En el campo de las redes eléctricas, se considera que dos transformadas adicionales dan como resultado grafos equivalentes que no producen grafos congruentes. La primera de ellas es el intercambio de ramas conectadas en serie. Este es el dual de intercambio de ramas conectadas en paralelo que se puede lograr por deformación sin la necesidad de una regla especial. La segunda se refiere a grafos divididos en dos o más partes separadas , es decir, un grafo con dos conjuntos de nodos que no tienen ramas incidentes a un nodo en cada conjunto. Dos de esas partes separadas se consideran un grafo equivalente a uno donde las partes se unen combinando un nodo de cada una en un solo nodo. Del mismo modo, un grafo que se puede dividir en dos partes separadas dividiendo un nodo en dos también se considera equivalente. ^[26]

Un árbol es un grafo en el que todos los nodos están conectados, ya sea directa o indirectamente, por ramas, pero sin formar ningún bucle cerrado. Como no hay bucles cerrados, no hay corrientes en un árbol. En el análisis de redes, nos interesan los árboles de expansión , es decir, árboles que conectan todos los nodos del grafo de la red. En este artículo, se entiende por árbol de expansión un árbol no calificado a menos que se indique lo contrario. Un grafo de red determinado puede contener varios árboles diferentes. Las ramas eliminadas de un grafo para formar un árbol se denominan enlaces ; las ramas que quedan en el árbol se denominan ramitas . Para un grafo con n nodos, el número de ramas en cada árbol, t , debe ser:

${\estilo de visualización t=n-1\ }$

Una relación importante para el análisis de circuitos es:

${\displaystyle b=\ell+t\}$

donde b es el número de ramas en el gráfico y ℓ es el número de enlaces eliminados para formar el árbol. ^[27]

El objetivo del análisis de circuitos es determinar todas las corrientes y voltajes de rama en la red. Estas variables de red no son todas independientes. Los voltajes de rama están relacionados con las corrientes de rama por la función de transferencia de los elementos que las componen. Por lo tanto, una solución completa de la red puede ser en términos de corrientes de rama o solo voltajes de rama. Tampoco todas las corrientes de rama son independientes entre sí. El número mínimo de corrientes de rama requeridas para una solución completa es l . Esto es una consecuencia del hecho de que un árbol tiene l enlaces eliminados y no puede haber corrientes en un árbol. Dado que las ramas restantes del árbol tienen corriente cero, no pueden ser independientes de las corrientes de enlace. Las corrientes de rama elegidas como un conjunto de variables independientes deben ser un conjunto asociado con los enlaces de un árbol: no se pueden elegir l ramas arbitrariamente. ^[28]

En términos de voltajes de rama, se puede obtener una solución completa de la red con t voltajes de rama. Esto es consecuencia del hecho de que cortocircuitando todas las ramas de un árbol, el voltaje es cero en todas partes. Los voltajes de enlace, por lo tanto, no pueden ser independientes de los voltajes de rama del árbol. ^[29]

Un enfoque de análisis común es resolver las corrientes de bucle en lugar de las corrientes de rama. Las corrientes de rama se encuentran entonces en términos de las corrientes de bucle. Nuevamente, el conjunto de corrientes de bucle no se puede elegir arbitrariamente. Para garantizar un conjunto de variables independientes, las corrientes de bucle deben ser las asociadas con un cierto conjunto de bucles. Este conjunto de bucles consiste en aquellos bucles formados al reemplazar un solo enlace de un árbol dado del gráfico del circuito a analizar. Dado que reemplazar un solo enlace en un árbol forma exactamente un bucle único, el número de corrientes de bucle así definido es igual a l . El término bucle en este contexto no es el mismo que el significado habitual de bucle en la teoría de grafos. El conjunto de ramas que forman un bucle dado se llama conjunto de lazos . ^{[nota 2]} El conjunto de ecuaciones de red se forma al igualar las corrientes de bucle a la suma algebraica de las corrientes de rama del conjunto de lazos. ^[30]

Es posible elegir un conjunto de corrientes de bucle independientes sin referencia a los árboles y conjuntos de lazos. Una condición suficiente, pero no necesaria, para elegir un conjunto de bucles independientes es asegurar que cada bucle elegido incluya al menos una rama que no haya sido incluida previamente por bucles ya elegidos. Una elección particularmente sencilla es la utilizada en el análisis de malla , en el que todos los bucles se eligen para que sean mallas. ^{[nota 3]} El análisis de malla solo se puede aplicar si es posible mapear el gráfico en un plano o una esfera sin que ninguna de las ramas se crucen. Dichos gráficos se denominan gráficos planares . La capacidad de mapear en un plano o una esfera son condiciones equivalentes. Cualquier gráfico finito mapeado en un plano se puede encoger hasta que se mapee en una pequeña región de una esfera. A la inversa, una malla de cualquier gráfico mapeado en una esfera se puede estirar hasta que el espacio dentro de ella ocupe casi toda la esfera. El gráfico entero ocupa entonces solo una pequeña región de la esfera. Esto es lo mismo que el primer caso, por lo tanto, el gráfico también se mapeará en un plano. ^[31]

Existe un enfoque para elegir variables de red con voltajes que es análogo y dual al método de corriente de bucle. Aquí el voltaje asociado con pares de nodos son las variables primarias y los voltajes de rama se encuentran en términos de ellas. En este método también, se debe elegir un árbol particular del gráfico para asegurar que todas las variables sean independientes. El dual del conjunto de lazos es el conjunto de cortes . Un conjunto de lazos se forma permitiendo que todos menos uno de los enlaces del gráfico sean circuito abierto. Un conjunto de cortes se forma permitiendo que todas menos una de las ramas del árbol sean cortocircuito. El conjunto de cortes consiste en la rama del árbol que no fue cortocircuitada y cualquiera de los enlaces que no son cortocircuitados por las otras ramas del árbol. Un conjunto de cortes de un gráfico produce dos subgráficos disjuntos , es decir, corta el gráfico en dos partes, y es el conjunto mínimo de ramas necesarias para hacerlo. El conjunto de ecuaciones de red se forma igualando los voltajes del par de nodos a la suma algebraica de los voltajes de rama del conjunto de cortes. ^[32] El dual del caso especial del análisis de malla es el análisis nodal . ^[33]

La nulidad, N , de un grafo con s partes separadas y b ramas se define por:

${\displaystyle N=b-n+s\}$

La nulidad de un grafo representa el número de grados de libertad de su conjunto de ecuaciones de red. Para un grafo plano, la nulidad es igual al número de mallas en el grafo. ^[34]

El rango, R de un gráfico se define por:

${\estilo de visualización R=ns\ }$

El rango juega el mismo papel en el análisis nodal que la nulidad en el análisis de malla. Es decir, proporciona el número de ecuaciones de voltaje de nodo requeridas. El rango y la nulidad son conceptos duales y están relacionados por: ^[35]

${\estilo de visualización R+N=b\ }$

Una vez que se ha elegido un conjunto de variables geométricamente independientes, el estado de la red se expresa en términos de ellas. El resultado es un conjunto de ecuaciones lineales independientes que deben resolverse simultáneamente para encontrar los valores de las variables de la red. Este conjunto de ecuaciones se puede expresar en un formato matricial que conduce a una matriz de parámetros característica de la red. Las matrices de parámetros toman la forma de una matriz de impedancia si las ecuaciones se han formado sobre la base del análisis de bucles, o como una matriz de admitancia si las ecuaciones se han formado sobre la base del análisis de nodos. ^[36]

Estas ecuaciones se pueden resolver de varias formas bien conocidas. Un método es la eliminación sistemática de variables . ^[37] Otro método implica el uso de determinantes . Esto se conoce como la regla de Cramer y proporciona una expresión directa para la variable desconocida en términos de determinantes. Esto es útil porque proporciona una expresión compacta para la solución. Sin embargo, para cualquier cosa que no sean las redes más triviales, se requiere un mayor esfuerzo de cálculo para este método cuando se trabaja manualmente. ^[38]

Dos grafos son duales cuando la relación entre las ramas y los pares de nodos en uno es la misma que la relación entre las ramas y los bucles en el otro. El dual de un grafo se puede encontrar completamente mediante un método gráfico . ^[39]

El dual de un grafo es otro grafo. Para un árbol dado en un grafo, el conjunto complementario de ramas (es decir, las ramas que no están en el árbol) forman un árbol en el grafo dual. El conjunto de ecuaciones de bucle de corriente asociadas con los conjuntos de enlace del grafo y el árbol originales es idéntico al conjunto de ecuaciones de pares de nodos de voltaje asociadas con los conjuntos de corte del grafo dual. ^[40]

La siguiente tabla enumera conceptos duales en topología relacionados con la teoría de circuitos. ^[41]

El dual de un árbol a veces se denomina laberinto . ^{[nota 4]} Consiste en espacios conectados por enlaces de la misma manera que el árbol consta de nodos conectados por ramas del árbol. ^[42]

No se pueden formar duales para cada grafo. La dualidad requiere que cada conjunto de lazos tenga un conjunto de corte dual en el grafo dual. Esta condición se cumple si y solo si el grafo es mapeable sobre una esfera sin que se crucen ramas. Para ver esto, note que se requiere un conjunto de lazos para "atar" un grafo en dos porciones y su dual, el conjunto de corte, se requiere para cortar un grafo en dos porciones. El grafo de una red finita que no se mapee sobre una esfera requerirá un toro de n pliegues . Un conjunto de lazos que pase a través de un agujero en un toro no podrá unir el grafo en dos partes. En consecuencia, el grafo dual no se cortará en dos partes y no contendrá el conjunto de corte requerido. En consecuencia, solo los grafos planares tienen duales. ^[43]

Tampoco se pueden formar duales para redes que contienen inductancias mutuas , ya que no hay un elemento capacitivo correspondiente. Se pueden desarrollar circuitos equivalentes que sí tengan duales, pero el dual no se puede formar directamente a partir de una inductancia mutua. ^[44]

Las operaciones sobre un conjunto de ecuaciones de red tienen un significado topológico que puede ayudar a visualizar lo que está sucediendo. La eliminación de la tensión de un nodo de un conjunto de ecuaciones de red corresponde topológicamente a la eliminación de ese nodo del gráfico. Para un nodo conectado a otros tres nodos, esto corresponde a la conocida transformación Y-Δ . La transformación se puede extender a un mayor número de nodos conectados y, en ese caso, se la conoce como transformación de malla en estrella . ^[45]

La inversa de esta transformación es la transformación Δ-Y, que corresponde analíticamente a la eliminación de una corriente de malla y topológicamente a la eliminación de una malla. Sin embargo, la eliminación de una corriente de malla cuya malla tiene ramas en común con un número arbitrario de otras mallas no dará como resultado, en general, un grafo realizable. Esto se debe a que el grafo de la transformación de la estrella general es un grafo que no se proyectará en una esfera (contiene polígonos de estrella y, por lo tanto, múltiples cruces). El dual de un grafo de este tipo no puede existir, pero es el grafo necesario para representar una eliminación de malla generalizada. ^[45]

En la representación gráfica convencional de circuitos, no hay forma de representar explícitamente acoplamientos inductivos mutuos, como ocurre en un transformador , y dichos componentes pueden dar como resultado un gráfico desconectado con más de una parte separada. Para facilitar el análisis, un gráfico con múltiples partes se puede combinar en un solo gráfico unificando un nodo de cada parte en un solo nodo. Esto no hace ninguna diferencia en el comportamiento teórico del circuito, por lo que el análisis realizado en él sigue siendo válido. Sin embargo, haría una diferencia práctica si un circuito se implementara de esta manera, ya que destruiría el aislamiento entre las partes. Un ejemplo sería un transformador conectado a tierra tanto en el lado primario como en el secundario. El transformador sigue funcionando como un transformador con la misma relación de voltaje, pero ahora ya no se puede utilizar como un transformador de aislamiento . ^[46]

Las técnicas más recientes en teoría de grafos permiten abordar componentes activos, que también son problemáticos en la teoría convencional. Estas nuevas técnicas también permiten abordar acoplamientos mutuos. ^[47]

Existen dos enfoques básicos para tratar los acoplamientos mutuos y los componentes activos. En el primero de ellos, Samuel Jefferson Mason introdujo en 1953 los gráficos de flujo de señales . ^[48] Los gráficos de flujo de señales son gráficos dirigidos y ponderados. Los utilizó para analizar circuitos que contienen acoplamientos mutuos y redes activas. El peso de un borde dirigido en estos gráficos representa una ganancia, como la que posee un amplificador. En general, los gráficos de flujo de señales, a diferencia de los gráficos dirigidos regulares descritos anteriormente, no corresponden a la topología de la disposición física de los componentes. ^[47]

El segundo enfoque consiste en ampliar el método clásico para que incluya acoplamientos mutuos y componentes activos. Se han propuesto varios métodos para lograr esto. En uno de ellos, se construyen dos gráficos, uno que representa las corrientes en el circuito y el otro que representa los voltajes. Los componentes pasivos tendrán ramas idénticas en ambos árboles, pero los componentes activos pueden no tenerlas. El método se basa en la identificación de árboles de expansión que sean comunes a ambos gráficos. Chen propuso en 1965 un método alternativo para ampliar el enfoque clásico que requiere solo un gráfico. ^{[nota 5]} El método de Chen se basa en un árbol con raíz . ^[47]

Otra forma de extender la teoría clásica de grafos para componentes activos es mediante el uso de hipergrafos . Algunos componentes electrónicos no se representan de forma natural mediante grafos. El transistor tiene tres puntos de conexión, pero una rama de grafo normal solo puede conectarse a dos nodos. Los circuitos integrados modernos tienen muchas más conexiones que esto. Este problema se puede superar utilizando hipergrafos en lugar de grafos regulares. ^[49]

En una representación convencional, los componentes se representan mediante aristas, cada una de las cuales se conecta a dos nodos. En un hipergrafo, los componentes se representan mediante hiperaristas que pueden conectarse a un número arbitrario de nodos. Las hiperaristas tienen tentáculos que conectan la hiperarista con los nodos. La representación gráfica de una hiperarista puede ser una caja (en comparación con la arista, que es una línea) y las representaciones de sus tentáculos son líneas desde la caja hasta los nodos conectados. En un hipergrafo dirigido, los tentáculos llevan etiquetas que están determinadas por la etiqueta de la hiperarista. Un grafo dirigido convencional puede considerarse como un hipergrafo con hiperaristas, cada una de las cuales tiene dos tentáculos. Estos dos tentáculos están etiquetados como origen y destino y generalmente se indican con una flecha. En un hipergrafo general con más tentáculos, se requerirá un etiquetado más complejo. ^[50]

Los hipergrafos se pueden caracterizar por sus matrices de incidencia. Un grafo regular que contiene solo dos componentes terminales tendrá exactamente dos entradas distintas de cero en cada fila. Cualquier matriz de incidencia con más de dos entradas distintas de cero en cualquier fila es una representación de un hipergrafo. El número de entradas distintas de cero en una fila es el rango de la rama correspondiente, y el rango de rama más alto es el rango de la matriz de incidencia. ^[51]

El análisis de redes clásico desarrolla un conjunto de ecuaciones de red cuyas variables de red son homogéneas tanto en corriente (análisis de bucle) como en voltaje (análisis de nodos). El conjunto de variables de red así encontrado no es necesariamente el mínimo necesario para formar un conjunto de ecuaciones independientes. Puede haber una diferencia entre el número de variables en un análisis de bucle y en un análisis de nodos. En algunos casos, el número mínimo posible puede ser menor que cualquiera de estos si se relaja el requisito de homogeneidad y se permite una mezcla de variables de corriente y voltaje. Un resultado de Kishi y Katajini en 1967 ^{[nota 6]} es que el número mínimo absoluto de variables requeridas para describir el comportamiento de la red está dado por la distancia máxima ^{[nota 7]} entre dos bosques de expansión ^{[nota 8]} cualesquiera del gráfico de la red. ^[47]

La teoría de grafos se puede aplicar a la síntesis de redes . La síntesis de redes clásica realiza la red requerida en una de varias formas canónicas . Ejemplos de formas canónicas son la realización de una impedancia de punto de excitación mediante la red de escalera canónica de Cauer o la forma canónica de Foster o la realización de Brune de una inmitancia a partir de sus funciones reales positivas . Los métodos topológicos, por otro lado, no comienzan desde una forma canónica dada. Más bien, la forma es un resultado de la representación matemática. Algunas formas canónicas requieren inductancias mutuas para su realización. Un objetivo principal de los métodos topológicos de síntesis de redes ha sido eliminar la necesidad de estas inductancias mutuas. Un teorema que surgió de la topología es que una realización de una impedancia de punto de excitación sin acoplamientos mutuos es mínima si y solo si no hay bucles de todos los inductores o todos los condensadores. ^[52]

La teoría de grafos alcanza su máximo poder en la síntesis de redes, cuando los elementos de la red pueden representarse mediante números reales (redes de un solo elemento, como las redes resistivas) o estados binarios (como las redes de conmutación). ^[47]

Tal vez la primera red con un grafo infinito que se estudió fue la red en escalera utilizada para representar líneas de transmisión desarrollada, en su forma final, por Oliver Heaviside en 1881. Ciertamente, todos los primeros estudios de redes infinitas se limitaron a estructuras periódicas como escaleras o rejillas con los mismos elementos repetidos una y otra vez. No fue hasta finales del siglo XX que estuvieron disponibles herramientas para analizar redes infinitas con una topología arbitraria. ^[53]

Las redes infinitas tienen un interés teórico en gran medida y son el juguete de los matemáticos. Las redes infinitas que no están limitadas por restricciones del mundo real pueden tener algunas propiedades muy poco físicas. Por ejemplo, las leyes de Kirchhoff pueden fallar en algunos casos y se pueden definir escaleras de resistencias infinitas que tienen una impedancia de punto de excitación que depende de la terminación en el infinito. Otra propiedad no física de las redes infinitas teóricas es que, en general, disiparán una potencia infinita a menos que se les impongan restricciones además de las leyes de redes habituales, como las leyes de Ohm y Kirchhoff. Sin embargo, existen algunas aplicaciones en el mundo real. El ejemplo de la línea de transmisión es uno de una clase de problemas prácticos que se pueden modelar mediante elementos infinitesimales (el modelo de elementos distribuidos ). Otros ejemplos son el lanzamiento de ondas en un medio continuo, los problemas de campo de borde y la medición de la resistencia entre puntos de un sustrato o en un pozo. ^[54]

Las redes transfinitas amplían aún más la idea de las redes infinitas. Un nodo en un extremo de una red infinita puede tener otra rama conectada a él que conduzca a otra red. Esta nueva red puede ser infinita. Por lo tanto, se pueden construir topologías que tengan pares de nodos sin un camino finito entre ellos. Estas redes de redes infinitas se denominan redes transfinitas. ^[55]

• Análisis de circuitos simbólicos
• Topología de red　　　　　　
• Computadora cuántica topológica

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