Índice de entropía generalizado

El índice de entropía generalizada se ha propuesto como una medida de la desigualdad de ingresos en una población. ^[1] Se deriva de la teoría de la información como una medida de redundancia en los datos. En la teoría de la información, una medida de redundancia puede interpretarse como no aleatoriedad o compresión de datos ; por lo tanto, esta interpretación también se aplica a este índice. Además, también se ha propuesto la interpretación de la biodiversidad como entropía, lo que conduce a usos de la entropía generalizada para cuantificar la biodiversidad. ^[2]

La fórmula para la entropía general para valores reales de es:${\estilo de visualización \alpha}$

(Para el ge llamado “ge(alpha)”, donde “alpha” representa un número entero:

La segunda fórmula a continuación es para ge(1), también llamada “Theil-T”.

La tercera fórmula a continuación es para ge(0), también llamada Theil-L”.

La primera fórmula a continuación es para ge(alfa), para todos los alfa enteros excepto 0 y 1.)

$${\displaystyle GE(\alpha )={\begin{cases}{\frac {1}{N\alpha (\alpha -1)}}\sum _{i=1}^{N}\left[\left({\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\right)^{\alpha }-1\right],&\alpha \neq 0,1,\\{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =1,\\-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =0.\end{cases}}}$$donde N es el número de casos (por ejemplo, hogares o familias), es el ingreso para el caso i y es un parámetro que regula el peso dado a las distancias entre los ingresos en diferentes partes de la distribución del ingreso . Para grandes, el índice es especialmente sensible a la existencia de ingresos altos, mientras que para pequeños, el índice es especialmente sensible a la existencia de ingresos bajos.${\displaystyle y_{i}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$

Un índice de Atkinson para cualquier parámetro de aversión a la desigualdad se puede derivar de un índice de entropía generalizado bajo la restricción de que , es decir, un índice de Atkinson con alta aversión a la desigualdad se deriva de un índice de GE con pequeña . Además, es la única clase de medidas de desigualdad que es una transformación monótona del índice de Atkinson y que es descomponible aditivamente. Muchos índices populares, incluido el índice de Gini , no satisfacen la descomponibilidad aditiva. ^{[1] [3]}${\displaystyle \epsilon = 1-\alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$

La fórmula para derivar un índice de Atkinson con parámetro de aversión a la desigualdad bajo la restricción viene dada por:${\displaystyle \épsilon}$${\displaystyle \epsilon = 1-\alpha}$$${\displaystyle A=1-[\epsilon (\epsilon -1)GE+1]^{(1/(1-\epsilon ))}\qquad \epsilon \neq 1}$$$${\displaystyle A=1-e^{-GE}\qquad \epsilon =1}$$

Obsérvese que el índice de entropía generalizado tiene varias métricas de desigualdad de ingresos como casos especiales. Por ejemplo, GE(0) es la desviación logarítmica media , GE(1) es el índice de Theil y GE(2) es la mitad del coeficiente de variación al cuadrado .

• Índice de Atkinson
• Coeficiente de Gini
• Índice Hoover (también conocido como índice Robin Hood)
• Indicadores de desigualdad de ingresos
• Curva de Lorenz
• Entropía de Rényi
• Índice de trajes
• Índice de Theil