Ecuación algebraica

Este artículo incluye una lista de referencias , lecturas relacionadas o enlaces externos , pero sus fuentes no están claras porque carece de citas en línea . Ayúdenos a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( junio de 2023 ) ( aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje )

En matemáticas , una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación de la forma , donde P es un polinomio con coeficientes en algún campo , a menudo el campo de los números racionales . Por ejemplo, es una ecuación algebraica con coeficientes enteros y${\displaystyle P=0}$$Estilo de visualización x^{5}-3x+1=0}$

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0}$

es una ecuación polinómica multivariada sobre los racionales. Para muchos autores, el término ecuación algebraica se refiere únicamente al caso univariante , es decir, ecuaciones polinómicas que involucran solo una variable . Por otro lado, una ecuación polinómica puede involucrar varias variables (el caso multivariado ), en cuyo caso se suele preferir el término ecuación polinómica .

Algunas, pero no todas, las ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica que se puede encontrar usando un número finito de operaciones que involucran solo esos mismos tipos de coeficientes (es decir, se puede resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para el grado cinco o más solo se puede hacer para algunas ecuaciones, no para todas . Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular aproximaciones precisas y eficientes de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariante (ver Algoritmo de búsqueda de raíces ) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariantes (ver Sistema de ecuaciones polinómicas ).

El término "ecuación algebraica" data de la época en que el principal problema del álgebra era resolver ecuaciones polinómicas univariadas . Este problema se resolvió por completo durante el siglo XIX; véase Teorema fundamental del álgebra , Teorema de Abel-Ruffini y Teoría de Galois .

Desde entonces, el alcance del álgebra se ha ampliado drásticamente. En particular, incluye el estudio de ecuaciones que involucran raíces n -ésimas y, de manera más general, expresiones algebraicas . Esto hace que el término ecuación algebraica sea ambiguo fuera del contexto del antiguo problema. Por lo tanto, el término ecuación polinómica generalmente se prefiere cuando puede ocurrir esta ambigüedad, especialmente cuando se consideran ecuaciones multivariadas.

El estudio de las ecuaciones algebraicas es probablemente tan antiguo como las matemáticas: los matemáticos babilónicos , ya en el año 2000 a. C., podían resolver algunos tipos de ecuaciones cuadráticas (mostradas en tablillas de arcilla de la Antigua Babilonia ).

Las ecuaciones algebraicas univariadas sobre los racionales (es decir, con coeficientes racionales ) tienen una historia muy larga. Los matemáticos antiguos querían las soluciones en forma de expresiones radicales , como para la solución positiva de . Los antiguos egipcios sabían cómo resolver ecuaciones de grado 2 de esta manera. El matemático indio Brahmagupta (597-668 d. C.) describió explícitamente la fórmula cuadrática en su tratado Brāhmasphuṭasiddhānta publicado en 628 d. C., pero escrito en palabras en lugar de símbolos. En el siglo IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi y otros matemáticos islámicos derivaron la fórmula cuadrática , la solución general de las ecuaciones de grado 2, y reconocieron la importancia del discriminante . Durante el Renacimiento, en 1545, Gerolamo Cardano publicó la solución de Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia para ecuaciones de grado 3 y la de Lodovico Ferrari para ecuaciones de grado 4. Finalmente, Niels Henrik Abel demostró, en 1824, que las ecuaciones de grado 5 y superiores no tienen soluciones generales utilizando radicales. La teoría de Galois , llamada así por Évariste Galois , mostró que algunas ecuaciones de al menos grado 5 ni siquiera tienen una solución idiosincrásica en radicales, y dio criterios para decidir si una ecuación es de hecho solucionable utilizando radicales.${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$$Estilo de visualización x^{2}-x-1=0$

Las ecuaciones algebraicas son la base de varias áreas de las matemáticas modernas: La teoría algebraica de números es el estudio de ecuaciones algebraicas (univariadas) sobre los racionales (es decir, con coeficientes racionales ). La teoría de Galois fue introducida por Évariste Galois para especificar criterios para decidir si una ecuación algebraica puede resolverse en términos de radicales. En teoría de campos , una extensión algebraica es una extensión tal que cada elemento es una raíz de una ecuación algebraica sobre el campo base. La teoría de números trascendentales es el estudio de los números reales que no son soluciones de una ecuación algebraica sobre los racionales. Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica (generalmente multivariada) con coeficientes enteros para la que uno está interesado en las soluciones enteras. La geometría algebraica es el estudio de las soluciones en un campo algebraicamente cerrado de ecuaciones polinómicas multivariadas.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones . En particular, la ecuación es equivalente a . De ello se deduce que el estudio de ecuaciones algebraicas es equivalente al estudio de polinomios.${\estilo de visualización P=Q}$${\displaystyle PQ=0}$

Una ecuación polinómica sobre los racionales siempre se puede convertir en una equivalente en la que los coeficientes sean números enteros . Por ejemplo, multiplicando por 42 = 2·3·7 y agrupando sus términos en el primer miembro, la ecuación polinómica mencionada anteriormente se convierte en${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.}$

Debido a que seno , exponenciación y 1/ T no son funciones polinómicas,

${\displaystyle e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0}$

no es una ecuación polinómica en las cuatro variables x , y , z y T sobre los números racionales. Sin embargo, es una ecuación polinómica en las tres variables x , y y z sobre el campo de las funciones elementales en la variable T .

Dada una ecuación en x desconocida

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}= 0}$,

con coeficientes en un cuerpo K , se puede decir equivalentemente que las soluciones de (E) en K son las raíces en K del polinomio

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\puntos +a_{1}X+a_{0}\quad \en K[X]}$.

Se puede demostrar que un polinomio de grado n en un cuerpo tiene como máximo n raíces. Por lo tanto, la ecuación (E) tiene como máximo n soluciones.

Si K' es una extensión de campo de K , se puede considerar que (E) es una ecuación con coeficientes en K y las soluciones de (E) en K también son soluciones en K' (la inversa no se cumple en general). Siempre es posible encontrar una extensión de campo de K conocida como el campo de ruptura del polinomio P , en el que (E) tiene al menos una solución.

El teorema fundamental del álgebra establece que el campo de los números complejos es cerrado algebraicamente, es decir, todas las ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos y grado al menos uno tienen solución.

De ello se deduce que todas las ecuaciones polinómicas de grado 1 o más con coeficientes reales tienen una solución compleja . Por otra parte, una ecuación como no tiene solución en (las soluciones son las unidades imaginarias i y –i ).$Estilo de visualización x^{2}+1=0$${\displaystyle \mathbb {R}}$

Si bien las soluciones reales de ecuaciones reales son intuitivas (son las coordenadas x de los puntos donde la curva y = P ( x ) interseca el eje x ), la existencia de soluciones complejas para ecuaciones reales puede ser sorprendente y menos fácil de visualizar.

Sin embargo, un polinomio mónico de grado impar debe tener necesariamente una raíz real. La función polinómica asociada en x es continua y se aproxima a medida que x se aproxima a y a medida que x se aproxima a . Por el teorema del valor intermedio , debe asumir el valor cero en algún x real , que es entonces una solución de la ecuación polinómica.${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización +\infty}$${\estilo de visualización +\infty}$

Existen fórmulas que dan las soluciones de polinomios reales o complejos de grado menor o igual a cuatro en función de sus coeficientes. Abel demostró que no es posible encontrar una fórmula de este tipo en general (utilizando sólo las cuatro operaciones aritméticas y sacando raíces) para ecuaciones de grado cinco o superior. La teoría de Galois proporciona un criterio que permite determinar si la solución de una ecuación polinómica dada puede expresarse mediante radicales.

La solución explícita de una ecuación real o compleja de grado 1 es trivial. Resolver una ecuación de grado superior n se reduce a factorizar el polinomio asociado, es decir, reescribir (E) en la forma

${\displaystyle a_{n}(x-z_{1})\puntos (x-z_{n})=0}$,

donde las soluciones son entonces . El problema es entonces expresar en términos de .${\displaystyle z_{1},\dots,z_{n}}$$estilo de visualización z_{i}}$$Estilo de visualización ai$

Este enfoque se aplica de forma más general si los coeficientes y las soluciones pertenecen a un dominio integral .

Si una ecuación P ( x ) = 0 de grado n tiene una raíz racional α , el polinomio asociado se puede factorizar para dar la forma P ( X ) = ( X – α) Q ( X ) ( dividiendo P ( X ) por X – α o escribiendo P ( X ) – P (α) como una combinación lineal de términos de la forma X ^k – α ^k , y factorizando X – α . Resolver P ( x ) = 0 se reduce entonces a resolver la ecuación de grado n – 1 Q ( x ) = 0 . Véase por ejemplo el caso n = 3 .

Para resolver una ecuación de grado n ,

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}= 0}$,

Un paso preliminar común es eliminar el término de grado n - 1 : al establecer , la ecuación (E) se convierte en${\displaystyle x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}}$

${\displaystyle a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\puntos +b_{1}y+b_{0}=0}$.

Leonhard Euler desarrolló esta técnica para el caso n = 3 pero también es aplicable al caso n = 4 , por ejemplo.

Para resolver una ecuación cuadrática de la forma se calcula el discriminante Δ definido por .${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$

Si el polinomio tiene coeficientes reales, tiene:

• dos raíces reales distintas si  ;${\displaystyle \Delta >0}$
• una raíz doble real si  ;${\displaystyle \Delta = 0}$
• no hay raíz real si , sino dos raíces conjugadas complejas.${\displaystyle \Delta <0}$

El método más conocido para resolver ecuaciones cúbicas, escribiendo raíces en términos de radicales, es la fórmula de Cardano .

Para obtener información detallada sobre algunos métodos de solución, consulte:

• Transformación de Tschirnhaus (método general, sin garantía de éxito);
• Método Bezout (método general, sin garantía de éxito);
• Método de Ferrari (soluciones para grado 4);
• Método de Euler (soluciones para grado 4);
• Método de Lagrange (soluciones para grado 4);
• Método de Descartes (soluciones de grado 2 o 4);

Una ecuación cuártica puede reducirse a una ecuación cuadrática mediante un cambio de variable siempre que sea bicuadrática ( b = d = 0 ) o cuasi-palindrómica ( e = a , d = b ).${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$${\displaystyle a\neq 0}$

Algunas ecuaciones cúbicas y cuárticas se pueden resolver utilizando trigonometría o funciones hiperbólicas .

Évariste Galois y Niels Henrik Abel demostraron de forma independiente que, en general, un polinomio de grado 5 o superior no se puede resolver mediante radicales. Algunas ecuaciones particulares sí tienen soluciones, como las asociadas a los polinomios ciclotómicos de grados 5 y 17.

Charles Hermite , por otro lado, demostró que los polinomios de grado 5 se pueden resolver utilizando funciones elípticas .

De lo contrario, se pueden encontrar aproximaciones numéricas a las raíces utilizando algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton .

• Función algebraica
• Número algebraico
• Búsqueda de raíces
• Ecuación lineal (grado = 1)
• Ecuación cuadrática (grado = 2)
• Ecuación cúbica (grado = 3)
• Ecuación cuártica (grado = 4)
• Ecuación quíntica (grado = 5)
• Ecuación sextica (grado = 6)
• Ecuación séptica (grado = 7)
• Sistema de ecuaciones lineales
• Sistema de ecuaciones polinómicas
• Ecuación diofántica lineal
• Ecuación lineal sobre un anillo
• Teorema de Cramer (curvas algebraicas) , sobre el número de puntos normalmente suficiente para determinar una curva bivariada de grado n

• "Ecuación algebraica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación algebraica". MathWorld .