Ecuación diferencial exacta

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayude a mejorar este artículo añadiendo citas de fuentes fiables . El material sin fuentes puede ser cuestionado y eliminado. Buscar fuentes:  «Ecuación diferencial exacta» – noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( diciembre de 2009 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje )

En matemáticas , una ecuación diferencial exacta o ecuación diferencial total es un cierto tipo de ecuación diferencial ordinaria que se utiliza ampliamente en física e ingeniería.

Dado un subconjunto D simplemente conexo y abierto de y dos funciones I y J que son continuas en D , una ecuación diferencial ordinaria de primer orden implícita de la forma${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,}$

se llama ecuación diferencial exacta si existe una función continuamente diferenciable F , llamada función potencial , ^{[1] [2]} de manera que

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=I}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=J.}$

Una ecuación exacta también puede presentarse en la siguiente forma:

${\displaystyle I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0}$

donde las mismas restricciones en I y J se aplican para que la ecuación diferencial sea exacta.

La nomenclatura de "ecuación diferencial exacta" se refiere a la diferencial exacta de una función. Para una función , la derivada exacta o total con respecto a se da por${\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {dF}{dx_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.}$

La función dada por${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c}$

es una función potencial para la ecuación diferencial

${\displaystyle x\,dx+y\,dy=0.\,}$

Sean las funciones , , , y , donde los subíndices denotan la derivada parcial con respecto a la variable relativa, continuas en la región . Entonces la ecuación diferencial${\textstyle M}$${\textstyle N}$${\textstyle M_{y}}$${\textstyle N_{x}}$${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$

${\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}$

es exacto si y sólo si

${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$

Es decir, existe una función , llamada función potencial , tal que${\displaystyle \psi (x,y)}$

${\displaystyle \psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

Así que, en general:

${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}$

La prueba tiene dos partes.

Primero, supongamos que existe una función tal que${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle \psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

De lo cual se deduce que${\displaystyle M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)}$

Como y son continuos, entonces y también son continuos, lo que garantiza su igualdad.${\displaystyle M_{y}}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle \psi _{xy}}$${\displaystyle \psi _{yx}}$

La segunda parte de la demostración implica la construcción de y también puede utilizarse como procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales exactas de primer orden. Supóngase que y sea una función para la cual${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle \psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

Comience integrando la primera ecuación con respecto a . En la práctica, no importa si integra la primera o la segunda ecuación, siempre que la integración se realice con respecto a la variable adecuada.${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)}$$$${\displaystyle \psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)}$$$${\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}$$

donde es cualquier función diferenciable tal que . La función cumple el papel de una constante de integración, pero en lugar de ser solo una constante, es función de , ya que es una función tanto de como y solo estamos integrando con respecto a .${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle Q_{x}=M}$${\displaystyle h(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Ahora, para demostrar que siempre es posible encontrar un tal que .${\displaystyle h(y)}$${\displaystyle \psi _{y}=N}$$${\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}$$

Derivar ambos lados con respecto a .${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)}$$

Establezca el resultado igual a y resuelva para .${\displaystyle N}$${\displaystyle h'(y)}$$${\displaystyle h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)}$$

Para determinar a partir de esta ecuación, el lado derecho debe depender únicamente de . Esto se puede demostrar mostrando que su derivada con respecto a siempre es cero, por lo que se deriva el lado derecho con respecto a . ${\displaystyle h'(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)}$$

Dado que , ahora, esto es cero según nuestra suposición inicial de que${\displaystyle Q_{x}=M}$$${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)}$$${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$

Por lo tanto,$${\displaystyle h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)}$$$${\displaystyle h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}}$$

$${\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+\int \left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)\,dy+C}$$

Y esto completa la prueba.

Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden de la forma$${\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}$$

puede escribirse en términos de la función potencial${\displaystyle \psi (x,y)}$$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0}$$

dónde$${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}$$

Esto equivale a tomar el diferencial exacto de .${\displaystyle \psi (x,y)}$$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0}$$

Las soluciones de una ecuación diferencial exacta se dan entonces por$${\displaystyle \psi (x,y(x))=c}$$

y el problema se reduce a encontrar .${\displaystyle \psi (x,y)}$

Esto se puede hacer integrando las dos expresiones y luego escribiendo cada término en las expresiones resultantes solo una vez y sumándolos para obtener .${\displaystyle M(x,y)\,dx}$${\displaystyle N(x,y)\,dy}$${\displaystyle \psi (x,y)}$

El razonamiento detrás de esto es el siguiente: ya que$${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}$$

De ello se deduce, integrando ambos lados, que$${\displaystyle {\begin{cases}\psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int N(x,y)\,dy+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}}$$

Por lo tanto,$${\displaystyle Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)}$$

donde y son funciones diferenciables tales que y .${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle Q_{x}=M}$${\displaystyle P_{y}=N}$

Para que esto sea cierto y que ambos lados den como resultado exactamente la misma expresión, es decir , entonces debe estar contenido dentro de la expresión porque no puede estar contenido dentro de , ya que es completamente una función de y no y, por lo tanto, no se le permite tener nada que ver con . Por analogía, debe estar contenido dentro de la expresión .${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle h(y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$

Es decir,$${\displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)}$$

Para algunas expresiones y . Si introducimos en la ecuación anterior, obtenemos que y , por lo que y resultan ser la misma función. Por lo tanto,${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle d(x,y)}$$${\displaystyle g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)}$$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle d(x,y)}$$${\displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)}$$

Como ya lo hemos demostrado$${\displaystyle {\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}}$$

resulta que$${\displaystyle \psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)}$$

Entonces, podemos construir haciendo y y luego tomando los términos comunes que encontramos dentro de las dos expresiones resultantes (que serían ) y luego agregando los términos que se encuentran únicamente en cualquiera de ellas – y .${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle \int M(x,y)\,dx}$${\displaystyle \int N(x,y)\,dy}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle h(y)}$

El concepto de ecuaciones diferenciales exactas se puede extender a ecuaciones de segundo orden. ^[3] Considere comenzar con la ecuación exacta de primer orden:

${\displaystyle I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0}$

Dado que ambas funciones son funciones de dos variables, la diferenciación implícita de la función multivariada produce${\displaystyle I(x,y)}$ ${\displaystyle J(x,y)}$

${\displaystyle {dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

Al expandir las derivadas totales se obtiene que

${\displaystyle {dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

Y eso

${\displaystyle {dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}}$

Combinando los términos se obtiene ${\textstyle {dy \over dx}}$

${\displaystyle {\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

Si la ecuación es exacta, entonces . Además, la derivada total de es igual a su derivada ordinaria implícita . Esto conduce a la ecuación reescrita ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$${\displaystyle J(x,y)}$${\textstyle {dJ \over dx}}$

${\displaystyle {\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

Ahora, sea alguna ecuación diferencial de segundo orden

${\displaystyle f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

Si para ecuaciones diferenciales exactas, entonces ${\displaystyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$

${\displaystyle \int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy}$

y

${\displaystyle \int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy=I(x,y)-h(x)}$

donde es una función arbitraria de que se derivó a cero al tomar la derivada parcial de con respecto a . Aunque el signo de podría ser positivo, es más intuitivo pensar en el resultado de la integral como que falta alguna función adicional original que se derivó parcialmente a cero. ${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle I(x,y)}$${\displaystyle h(x)}$

A continuación, si

${\displaystyle {dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

entonces el término debería ser una función solamente de y , ya que la diferenciación parcial con respecto a se mantendrá constante y no producirá ninguna derivada de . En la ecuación de segundo orden${\displaystyle {\partial I \over \partial x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

Sólo el término es un término puramente de y . Sea . Si , entonces${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\partial I \over \partial x}=f(x,y)}$${\displaystyle {\partial I \over \partial x}=f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

Dado que la derivada total de con respecto a es equivalente a la derivada ordinaria implícita , entonces${\displaystyle I(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {dI \over dx}}$

${\displaystyle f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}(I(x,y)-h(x))+{dh(x) \over dx}}$

Entonces,

${\displaystyle {dh(x) \over dx}=f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))}$

y

${\displaystyle h(x)=\int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx}$

Por lo tanto, la ecuación diferencial de segundo orden

${\displaystyle f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

es exacta solo si y sólo si la siguiente expresión${\displaystyle g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}}$

${\displaystyle \int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx=\int \left(f(x,y)-{\partial \left(I(x,y)-h(x)\right) \over \partial x}\right)\,dx}$

es una función únicamente de . Una vez que se calcula con su constante arbitraria, se suma a para obtener . Si la ecuación es exacta, entonces podemos reducirla a la forma exacta de primer orden, que se puede resolver mediante el método habitual para ecuaciones exactas de primer orden.${\displaystyle x}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle I(x,y)-h(x)}$${\displaystyle I(x,y)}$

${\displaystyle I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0}$

Ahora, sin embargo, en la solución implícita final habrá un término de integración de con respecto al doble así como a , dos constantes arbitrarias como se espera de una ecuación de segundo orden. ${\displaystyle C_{1}x}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C_{2}}$

Dada la ecuación diferencial

${\displaystyle (1-x^{2})y''-4xy'-2y=0}$

Siempre se puede comprobar fácilmente la exactitud examinando el término. En este caso, tanto la derivada parcial como la total de con respecto a son , por lo que su suma es , que es exactamente el término que está delante de . Si se cumple una de las condiciones de exactitud, se puede calcular que ${\displaystyle y''}$${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -2x}$${\displaystyle -4x}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle \int (-2x)\,dy=I(x,y)-h(x)=-2xy}$

Dejando , entonces ${\displaystyle f(x,y)=-2y}$

${\displaystyle \int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}(-2xy)\right)\,dx=\int (-2y-2xy'+2xy'+2y)\,dx=\int (0)\,dx=h(x)}$

Por lo tanto, es de hecho una función únicamente de y la ecuación diferencial de segundo orden es exacta. Por lo tanto, y . La reducción a una ecuación exacta de primer orden da${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h(x)=C_{1}}$${\displaystyle I(x,y)=-2xy+C_{1}}$

${\displaystyle -2xy+C_{1}+(1-x^{2})y'=0}$

Integración con respecto a los rendimientos${\displaystyle I(x,y)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle -x^{2}y+C_{1}x+i(y)=0}$

donde es una función arbitraria de . Al derivar con respecto a se obtiene una ecuación que correlaciona la derivada y el término.${\displaystyle i(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle -x^{2}+i'(y)=1-x^{2}}$

Entonces, la solución implícita completa se convierte en${\displaystyle i(y)=y+C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0}$

Resolviendo explícitamente los rendimientos${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}}$

Los conceptos de ecuaciones diferenciales exactas se pueden extender a cualquier orden. Empezando por la ecuación exacta de segundo orden

${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f(x,y)=0}$

Se demostró previamente que la ecuación se define de manera que

${\displaystyle f(x,yt)={dht(x) \over dx}+{d \over dx}(I(x,y)-h(x))-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}}$

La diferenciación implícita de las ecuaciones de segundo orden exactas dará como resultado una ecuación diferencial de orden ésimo con nuevas condiciones de exactitud que se pueden deducir fácilmente de la forma de la ecuación producida. Por ejemplo, la diferenciación de la ecuación diferencial de segundo orden anterior una vez para obtener una ecuación exacta de tercer orden da la siguiente forma${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+2)}$

${\displaystyle {d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df(x,y) \over dx}=0}$

dónde

${\displaystyle {df(x,y) \over dx}={d^{2}h(x) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$

y donde es una función únicamente de y . Combinando todos los términos y que no provienen de se obtiene${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle {dy \over dx}}$${\displaystyle {dy \over dx}}$${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}}$${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$

${\displaystyle {d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0}$

Por lo tanto, las tres condiciones de exactitud para una ecuación diferencial de tercer orden son: el término debe ser , el término debe ser y ${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}}$${\displaystyle 2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}}$${\displaystyle {dy \over dx}}$${\displaystyle {d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)}$

${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)}$

debe ser una función únicamente de . ${\displaystyle x}$

Considere la ecuación diferencial no lineal de tercer orden

${\displaystyle yy'''+3y'y''+12x^{2}=0}$

Si , entonces es y que juntos suman . Afortunadamente, esto aparece en nuestra ecuación. Para la última condición de exactitud,${\displaystyle J(x,y)=y}$${\displaystyle y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)}$${\displaystyle 2y'y''}$${\displaystyle y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''}$${\displaystyle 3y'y''}$

${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I(x,y)-h(x)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}}$

que de hecho es una función únicamente de . Por lo tanto, la ecuación diferencial es exacta. Integrando dos veces se obtiene que . Reescribiendo la ecuación como una ecuación diferencial exacta de primer orden se obtiene${\displaystyle x}$${\displaystyle h(x)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I(x,y)}$

${\displaystyle x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0}$

Integrando con respecto a obtenemos que . Derivando con respecto a e igualando eso con el término delante de en la ecuación de primer orden obtenemos que y que . La solución implícita completa se convierte en${\displaystyle I(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i(y)=0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle i'(y)=y}$${\displaystyle i(y)={y^{2} \over 2}+C_{3}}$

${\displaystyle {x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0}$

La solución explícita, entonces, es

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}}$

• Diferencial exacto
• Ecuación diferencial inexacta

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Ecuaciones diferenciales elementales (4.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8