Ecuación del tiempo

La ecuación del tiempo describe la discrepancia entre dos tipos de tiempo solar . La palabra ecuación se utiliza en el sentido medieval de "reconciliación de una diferencia". Los dos tiempos que difieren son el tiempo solar aparente , que sigue directamente el movimiento diurno del Sol , y el tiempo solar medio , que sigue un Sol medio teórico con movimiento uniforme a lo largo del ecuador celeste . El tiempo solar aparente se puede obtener midiendo la posición actual ( ángulo horario ) del Sol, como lo indica (con precisión limitada) un reloj de sol . El tiempo solar medio , para el mismo lugar, sería el tiempo indicado por un reloj fijo configurado de modo que a lo largo del año sus diferencias con el tiempo solar aparente tuvieran una media de cero. ^[1]

La ecuación del tiempo es el componente este u oeste del analema , una curva que representa el desplazamiento angular del Sol respecto de su posición media en la esfera celeste vista desde la Tierra. Los valores de la ecuación del tiempo para cada día del año, compilados por los observatorios astronómicos , fueron ampliamente incluidos en almanaques y efemérides . ^{[2] [3] : 14}

La ecuación del tiempo se puede aproximar mediante una suma de dos ondas sinusoidales (ver explicación a continuación):

${\displaystyle D=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d)}$

${\displaystyle \Delta t_{ey}=-7,659\sin(D)+9,863\sin \left(2D+3,5932\right)}$[minutos]

donde representa el número de días desde el 1 de enero del año actual, .${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización y}$

Durante un año la ecuación del tiempo varía como se muestra en el gráfico; su cambio de un año a otro es leve. El tiempo aparente, y el reloj de sol, pueden adelantarse (acelerarse) hasta 16  min  33  s (alrededor del 3 de noviembre), o retrasarse (lentificarse) hasta 14 min 6 s (alrededor del 11 de febrero). La ecuación del tiempo tiene ceros cerca del 15 de abril, el 13 de junio, el 1 de septiembre y el 25 de diciembre. Ignorando los cambios muy lentos en la órbita y rotación de la Tierra, estos eventos se repiten a la misma hora cada año tropical . Sin embargo, debido al número no entero de días en un año, estas fechas pueden variar en un día o más de un año a otro. Como ejemplo de la inexactitud de las fechas, según el Almanaque informático interactivo multianual del Observatorio Naval de los Estados Unidos, la ecuación del tiempo era cero a las 02:00 UT1 del 16 de abril de 2011. ^{[4] : 277}

La gráfica de la ecuación del tiempo se aproxima bastante a la suma de dos curvas sinusoidales, una con un período de un año y otra con un período de medio año. Las curvas reflejan dos efectos astronómicos, cada uno de los cuales causa una falta de uniformidad diferente en el movimiento diario aparente del Sol en relación con las estrellas:

• la oblicuidad de la eclíptica (el plano del movimiento orbital anual de la Tierra alrededor del Sol), que está inclinada unos 23,44 grados con respecto al plano del ecuador de la Tierra ; y
• la excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, que es de aproximadamente 0,0167.

La ecuación del tiempo se desvanece solo para un planeta con inclinación axial cero y excentricidad orbital cero. ^[5] Dos ejemplos de planetas con grandes ecuaciones de tiempo son Marte y Urano. En Marte, la diferencia entre la hora del reloj de sol y la hora del reloj puede ser de hasta 50 minutos, debido a la excentricidad considerablemente mayor de su órbita. El planeta Urano , que tiene una inclinación axial extremadamente grande, tiene una ecuación de tiempo que hace que sus días comiencen y terminen varias horas antes o después dependiendo de dónde se encuentre en su órbita.

El Observatorio Naval de los Estados Unidos afirma que "la ecuación del tiempo es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio ", es decir, si el sol está adelantado respecto al reloj, el signo es positivo y si el reloj está adelantado respecto al sol, el signo es negativo. ^{[6] [7]} La ​​ecuación del tiempo se muestra en el gráfico superior para un período de poco más de un año. El gráfico inferior (que cubre exactamente un año calendario) tiene los mismos valores absolutos, pero el signo está invertido, ya que muestra cuánto se adelanta el reloj respecto al sol. Las publicaciones pueden utilizar cualquiera de los dos formatos: en el mundo angloparlante, el primer uso es el más común, pero no siempre se sigue. Cualquiera que utilice una tabla o un gráfico publicado debe comprobar primero el uso del signo. A menudo, hay una nota o un título que lo explica. De lo contrario, el uso se puede determinar sabiendo que, durante los primeros tres meses de cada año, el reloj está adelantado respecto al reloj de sol. La regla mnemotécnica "NYSS" (pronunciada "nice"), para "año nuevo, reloj de sol lento", puede ser útil. Algunas tablas publicadas evitan la ambigüedad al no utilizar signos, sino mostrando frases como "reloj de sol rápido" o "reloj de sol lento" en su lugar. ^[8]

La frase "ecuación del tiempo" se deriva del latín medieval aequātiō diērum , que significa "ecuación de días" o "diferencia de días". La palabra aequātiō (y la ecuación del inglés medio ) se usaba en la astronomía medieval para tabular la diferencia entre un valor observado y el valor esperado (como en la ecuación del centro, la ecuación de los equinoccios, la ecuación del epiciclo). Gerald J. Toomer usa el término medieval "ecuación", del latín aequātiō (ecualización o ajuste), para la diferencia de Ptolomeo entre el tiempo solar medio y el tiempo solar aparente. La definición de la ecuación de Johannes Kepler es "la diferencia entre el número de grados y minutos de la anomalía media y los grados y minutos de la anomalía corregida". ^{[9] : 155}

Los astrónomos reconocían la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo medio desde la antigüedad, pero antes de la invención de los relojes mecánicos precisos a mediados del siglo XVII, los relojes de sol eran los únicos instrumentos fiables y el tiempo solar aparente era el estándar generalmente aceptado. El tiempo medio no sustituyó al tiempo aparente en los almanaques y efemérides nacionales hasta principios del siglo XIX. ^[10]

Los babilonios conocían el movimiento diario irregular del Sol. ^{[ cita requerida ]}

El Libro III del Almagesto de Ptolomeo (siglo II) se ocupa principalmente de la anomalía del Sol, y tabuló la ecuación del tiempo en sus Tablas prácticas . ^[11] Ptolomeo analiza la corrección necesaria para convertir el cruce meridiano del Sol en tiempo solar medio y tiene en cuenta el movimiento no uniforme del Sol a lo largo de la eclíptica y la corrección meridiana para la longitud eclíptica del Sol. Afirma que la corrección máxima es 8+1 ⁄ 3  grados de tiempo o 5 ⁄ 9 de una hora (Libro III, capítulo 9). ^[12] Sin embargo, no consideró que el efecto fuera relevante para la mayoría de los cálculos, ya que era insignificante para las luminarias de movimiento lento y solo lo aplicó para la luminaria de movimiento más rápido, la Luna.

Según la discusión de Ptolomeo en el Almagesto , los valores para la ecuación del tiempo (árabe taʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) eran estándar para las tablas ( zij ) en las obras de astronomía islámica medieval . ^[13]

Nevil Maskelyne dio una descripción del tiempo aparente y medio en el Almanaque Náutico de 1767: "El tiempo aparente es el que se deduce inmediatamente del Sol, ya sea a partir de la observación de su paso por el meridiano o de su salida o puesta observadas . Este tiempo es diferente del que muestran los relojes y relojes bien regulados en tierra, que se llama tiempo igualado o medio". Continuó diciendo que, en el mar, el tiempo aparente que se obtiene a partir de la observación del Sol debe corregirse mediante la ecuación del tiempo, si el observador requiere el tiempo medio. ^[1]

En un principio se consideró que la hora exacta era la que marcaba un reloj de sol. Cuando se introdujeron los buenos relojes mecánicos, coincidían con los relojes de sol solo cerca de cuatro fechas al año, por lo que se utilizó la ecuación del tiempo para "corregir" sus lecturas y obtener la hora del reloj de sol. Algunos relojes, llamados relojes de ecuación , incluían un mecanismo interno para realizar esta "corrección". Más tarde, cuando los relojes se convirtieron en los buenos relojes dominantes, la hora del reloj sin corregir, es decir, la "hora media", se convirtió en el estándar aceptado. Las lecturas de los relojes de sol, cuando se utilizaban, se corregían entonces (y a menudo todavía se corrigen) con la ecuación del tiempo, utilizada en la dirección inversa a la anterior, para obtener la hora del reloj. Por lo tanto, muchos relojes de sol tienen tablas o gráficos de la ecuación del tiempo grabados en ellos para permitir que el usuario haga esta corrección. ^{[8] : 123}

La ecuación del tiempo se utilizó históricamente para poner en hora los relojes. Entre la invención de los relojes precisos en 1656 y la llegada de los servicios comerciales de distribución horaria alrededor de 1900, hubo varias formas terrestres comunes de poner en hora los relojes. Se leía un reloj de sol y se corregía con la tabla o gráfico de la ecuación del tiempo. Si se disponía de un instrumento de tránsito, se anotaba el tránsito del sol a través del meridiano (el momento en que el sol parece estar al sur o al norte del observador); luego se ponía el reloj al mediodía y se compensaba con el número de minutos dado por la ecuación del tiempo para esa fecha. Un tercer método no utilizaba la ecuación del tiempo; en su lugar, utilizaba observaciones estelares para dar el tiempo sideral , explotando la relación entre el tiempo sideral y el tiempo solar medio . ^{[14] : 57–58}

Las primeras tablas que dieron la ecuación del tiempo de una manera esencialmente correcta fueron publicadas en 1665 por Christiaan Huygens . ^[15] Huygens, siguiendo la tradición de Ptolomeo y los astrónomos medievales en general, fijó sus valores para la ecuación del tiempo de modo que todos los valores fueran positivos durante todo el año. ^[15] Esto significaba que cualquier reloj que se ajustara a la hora media según las tablas de Huygens estaba constantemente unos 15 minutos retrasado en comparación con la hora media actual.

Otro conjunto de tablas fue publicado en 1672-73 por John Flamsteed , quien más tarde se convirtió en el primer astrónomo real del nuevo Observatorio Real de Greenwich . Estas parecen haber sido las primeras tablas esencialmente correctas que dieron el significado actual de la hora media (anteriormente, como se señaló anteriormente, el signo de la ecuación siempre era positivo y se establecía en cero cuando la hora aparente del amanecer era la más temprana en relación con la hora del amanecer en el reloj). Flamsteed adoptó la convención de tabular y nombrar la corrección en el sentido de que debía aplicarse a la hora aparente para dar la hora media. ^[16]

La ecuación del tiempo, basada correctamente en los dos componentes principales de la irregularidad del movimiento aparente del Sol, no fue adoptada de forma generalizada hasta después de las tablas de Flamsteed de 1672-73, publicadas con la edición póstuma de las obras de Jeremiah Horrocks . ^{[17] : 49}

Robert Hooke (1635-1703), quien analizó matemáticamente la articulación universal , fue el primero en notar que la geometría y la descripción matemática de la ecuación (no secular) del tiempo y la articulación universal eran idénticas, y propuso el uso de una articulación universal en la construcción de un "reloj de sol mecánico". ^{[18] : 219}

Las correcciones en las tablas de Flamsteed de 1672-1673 y 1680 dieron como resultado un tiempo medio calculado en esencia correctamente y sin necesidad de más correcciones. Sin embargo, los valores numéricos en las tablas de la ecuación del tiempo han cambiado un poco desde entonces, debido a tres factores:

• Mejoras generales en la precisión que surgieron a partir de refinamientos en las técnicas de medición astronómica,
• Cambios intrínsecos lentos en la ecuación del tiempo, que ocurren como resultado de pequeños cambios a largo plazo en la oblicuidad y excentricidad de la Tierra (que afectan, por ejemplo, la distancia y las fechas del perihelio ), y
• La inclusión de pequeñas fuentes de variación adicional en el movimiento aparente del Sol, desconocidas en el siglo XVII pero descubiertas a partir del siglo XVIII, incluidos los efectos de la Luna (véase baricentro ), Venus y Júpiter. ^[19]

Desde 1767 hasta 1833, el Almanaque Náutico y Efemérides Astronómicas británico tabuló la ecuación del tiempo en el sentido de "sumar o restar (según las instrucciones) el número de minutos y segundos indicados al tiempo aparente para obtener el tiempo medio". Los tiempos en el Almanaque estaban en tiempo solar aparente, porque el tiempo a bordo de un barco se determinaba con mayor frecuencia observando el Sol. Esta operación se realizaba en el caso inusual de que se necesitara el tiempo solar medio de una observación. En las ediciones posteriores a 1834, todos los tiempos han estado en tiempo solar medio, porque para entonces el tiempo a bordo de un barco se determinaba cada vez más a menudo mediante cronómetros marinos . En consecuencia, las instrucciones eran sumar o restar (según las instrucciones) el número de minutos indicados al tiempo medio para obtener el tiempo aparente. Entonces, ahora la adición correspondía a que la ecuación fuera positiva y la resta correspondía a que fuera negativa.

Como el movimiento aparente diario del Sol es de una revolución por día, es decir, 360° cada 24 horas, y el Sol aparece como un disco de aproximadamente 0,5° en el cielo, los relojes de sol simples pueden leerse con una precisión máxima de aproximadamente un minuto. Como la ecuación del tiempo tiene un rango de aproximadamente 33 minutos, la diferencia entre la hora del reloj de sol y la hora del reloj no puede ignorarse. Además de la ecuación del tiempo, también hay que aplicar correcciones debido a la distancia a la que uno se encuentra respecto del meridiano de la zona horaria local y el horario de verano , si lo hay.

El minúsculo aumento del día solar medio debido a la desaceleración de la rotación de la Tierra, de unos 2 ms por día por siglo, que actualmente se acumula hasta aproximadamente 1 segundo cada año, no se tiene en cuenta en las definiciones tradicionales de la ecuación del tiempo, ya que es imperceptible con el nivel de precisión de los relojes de sol.

La Tierra gira alrededor del Sol. Visto desde la Tierra, el Sol parece girar una vez alrededor de la Tierra a través de las estrellas de fondo en un año. Si la Tierra orbitara alrededor del Sol con una velocidad constante, en una órbita circular en un plano perpendicular al eje de la Tierra, entonces el Sol culminaría todos los días exactamente a la misma hora, y sería un cronómetro perfecto (excepto por el efecto muy pequeño de la rotación más lenta de la Tierra). Pero la órbita de la Tierra es una elipse no centrada en el Sol, y su velocidad varía entre 30,287 y 29,291 km/s, según las leyes de Kepler del movimiento planetario , y su velocidad angular también varía, y por lo tanto el Sol parece moverse más rápido (en relación con las estrellas de fondo) en el perihelio (actualmente alrededor del 3 de enero) y más lento en el afelio medio año después. ^{[20] [21] [22]}

En estos puntos extremos, este efecto varía el día solar aparente en 7,9 s/día respecto a su media. En consecuencia, las diferencias diarias más pequeñas en otros días en cuanto a velocidad son acumulativas hasta estos puntos, lo que refleja cómo el planeta se acelera y desacelera en comparación con la media.

Como resultado, la excentricidad de la órbita de la Tierra contribuye a una variación periódica que es (en la aproximación de primer orden) una onda sinusoidal con:

• amplitud: 7,66 minutos
• período : un año
• puntos cero: perihelio (principios de enero) y afelio (principios de julio)
• Valores extremos: principios de abril (negativos) y principios de octubre (positivos)

Este componente del EoT está representado por el factor a antes mencionado :

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))}$

Incluso si la órbita de la Tierra fuera circular, el movimiento percibido del Sol a lo largo de nuestro ecuador celeste seguiría sin ser uniforme. ^[5] Esto es una consecuencia de la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto al plano de su órbita , o equivalentemente, la inclinación de la eclíptica (la trayectoria que parece tomar el Sol en la esfera celeste ) con respecto al ecuador celeste . La proyección de este movimiento sobre nuestro ecuador celeste , a lo largo del cual se mide el "tiempo del reloj", es máxima en los solsticios , cuando el movimiento anual del Sol es paralelo al ecuador (lo que provoca una amplificación de la velocidad percibida) y produce principalmente un cambio en la ascensión recta . Es mínima en los equinoccios , cuando el movimiento aparente del Sol es más inclinado y produce más cambios en la declinación , dejando menos para el componente en ascensión recta , que es el único componente que afecta la duración del día solar. Un ejemplo práctico de la oblicuidad es que el desplazamiento diario de la sombra proyectada por el Sol en un reloj solar, incluso en el ecuador, es menor cerca de los solsticios y mayor cerca de los equinoccios. Si este efecto actuara solo, los días tendrían una duración de hasta 24 horas y 20,3 segundos (medidos de mediodía solar a mediodía solar) cerca de los solsticios, y hasta 20,3 segundos más cortos que 24 horas cerca de los equinoccios. ^{[20] [23] [22]}

En la figura de la derecha, podemos ver la variación mensual de la pendiente aparente del plano de la eclíptica al mediodía solar, vista desde la Tierra. Esta variación se debe a la precesión aparente de la Tierra en rotación a lo largo del año, vista desde el Sol al mediodía solar.

En términos de la ecuación del tiempo, la inclinación de la eclíptica resulta en la contribución de una variación de onda sinusoidal con:

• amplitud: 9,87 minutos
• periodo: 1/2 año
• puntos cero: equinoccios y solsticios
• valores extremos: principios de febrero y agosto (negativos) y principios de mayo y noviembre (positivos).

Este componente del EoT está representado por el factor “b” antes mencionado:

${\displaystyle b=9.863\sin\left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

Los dos factores mencionados anteriormente tienen longitudes de onda, amplitudes y fases diferentes, por lo que su contribución combinada es una onda irregular. En la época 2000, estos son los valores (en minutos y segundos con fechas UT ):

^{[ cita requerida ]}

ET = aparente − media. Positivo significa: el Sol corre rápido y culmina antes, o el reloj solar está adelantado respecto del tiempo medio. Se produce una ligera variación anual debido a la presencia de años bisiestos, que se reinicia cada 4 años. La forma exacta de la curva de la ecuación del tiempo y el analema asociado cambian lentamente a lo largo de los siglos, debido a variaciones seculares tanto en la excentricidad como en la oblicuidad. En este momento, ambas están disminuyendo lentamente, pero aumentan y disminuyen a lo largo de una escala de tiempo de cientos de miles de años. ^[24]

En escalas de tiempo más cortas (miles de años) los cambios en las fechas del equinoccio y el perihelio serán más importantes. El primero es causado por la precesión y desplaza el equinoccio hacia atrás en comparación con las estrellas. Pero puede ignorarse en la discusión actual ya que nuestro calendario gregoriano está construido de tal manera que mantiene la fecha del equinoccio de primavera en el 20 de marzo (al menos con suficiente precisión para nuestro objetivo aquí). El desplazamiento del perihelio es hacia adelante, alrededor de 1,7 días cada siglo. En 1246 el perihelio ocurrió el 22 de diciembre, el día del solsticio, por lo que las dos ondas contribuyentes tenían puntos cero comunes y la ecuación de la curva del tiempo era simétrica: en Algoritmos astronómicos Meeus da extremos de febrero y noviembre de 15 m 39 s y los de mayo y julio de 4 m 58 s. Antes de eso, el mínimo de febrero era mayor que el máximo de noviembre, y el máximo de mayo mayor que el mínimo de julio. De hecho, en años anteriores a −1900 (1901 a. C.) el máximo de mayo fue mayor que el máximo de noviembre. En el año −2000 (2001 a. C.) el máximo de mayo fue de +12 minutos y un par de segundos, mientras que el máximo de noviembre fue de poco menos de 10 minutos. El cambio secular es evidente cuando se compara un gráfico actual de la ecuación del tiempo (ver más abajo) con uno de hace 2000 años, por ejemplo, uno construido a partir de los datos de Ptolomeo. ^[25]

Si el gnomon (el objeto que proyecta la sombra) no es un borde sino un punto (por ejemplo, un agujero en un plato), la sombra (o punto de luz) trazará una curva durante el transcurso de un día. Si la sombra se proyecta sobre una superficie plana, esta curva será una sección cónica (normalmente una hipérbola), ya que el círculo del movimiento del Sol junto con el punto del gnomon definen un cono. En los equinoccios de primavera y otoño, el cono degenera en un plano y la hipérbola en una línea. Con una hipérbola diferente para cada día, se pueden poner marcas de hora en cada hipérbola que incluyan las correcciones necesarias. Desafortunadamente, cada hipérbola corresponde a dos días diferentes, uno en cada mitad del año, y estos dos días requerirán correcciones diferentes. Un compromiso conveniente es dibujar la línea para la "hora media" y agregar una curva que muestre la posición exacta de los puntos de sombra al mediodía durante el transcurso del año. Esta curva adoptará la forma de un ocho y se conoce como analema . Comparando el analema con la línea media del mediodía, se puede determinar la cantidad de corrección que se debe aplicar generalmente ese día.

La ecuación del tiempo se utiliza no sólo en relación con los relojes de sol y otros dispositivos similares, sino también en muchas aplicaciones de la energía solar . Las máquinas, como los seguidores solares y los helióstatos, deben moverse de maneras que están influenciadas por la ecuación del tiempo.

La hora civil es la hora media local de un meridiano que a menudo pasa cerca del centro de la zona horaria y que posiblemente se vea alterada por el horario de verano . Cuando se busca la hora solar aparente que corresponde a una hora civil dada, se deben tener en cuenta la diferencia de longitud entre el sitio de interés y el meridiano de la zona horaria, el horario de verano y la ecuación del tiempo. ^[26]

La ecuación del tiempo se obtiene a partir de una tabla publicada o de un gráfico. Para fechas pasadas, dichas tablas se elaboran a partir de mediciones históricas o mediante cálculos; para fechas futuras, por supuesto, las tablas sólo pueden calcularse. En dispositivos como los helióstatos controlados por ordenador, el ordenador suele estar programado para calcular la ecuación del tiempo. El cálculo puede ser numérico o analítico. Los primeros se basan en la integración numérica de las ecuaciones diferenciales del movimiento, incluidos todos los efectos gravitacionales y relativistas significativos. Los resultados tienen una precisión de más de un segundo y son la base de los datos de los almanaques modernos. Los segundos se basan en una solución que incluye sólo la interacción gravitatoria entre el Sol y la Tierra, más sencilla pero no tan precisa como la primera. Su precisión se puede mejorar incluyendo pequeñas correcciones.

La siguiente discusión describe un algoritmo razonablemente preciso (que concuerda con los datos del almanaque con una precisión de 3 segundos en un amplio rango de años) para la ecuación del tiempo que es bien conocida por los astrónomos. ^{[27] : 89} También muestra cómo obtener una fórmula aproximada simple (precisa hasta 1 minuto en un gran intervalo de tiempo), que se puede evaluar fácilmente con una calculadora y proporciona la explicación simple del fenómeno que se utilizó anteriormente en este artículo.

La definición precisa de la ecuación del tiempo es: ^{[28] : 1529}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA} }$

Las cantidades que aparecen en esta ecuación son:

• EOT, la diferencia horaria entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio ;
• GHA, el ángulo horario de Greenwich del Sol aparente (real);
• GMHA = Tiempo Universal − Desplazamiento, el ángulo horario medio de Greenwich del Sol medio (ficticio).

Aquí el tiempo y el ángulo son cantidades que están relacionadas por factores tales como: 2 π  radianes = 360° = 1 día = 24 horas. La diferencia, EOT, es medible ya que GHA es un ángulo que se puede medir y el Tiempo Universal , UT, es una escala para la medición del tiempo. El desfase de π = 180° = 12 horas con respecto a UT es necesario porque UT es cero en la media medianoche mientras que GMHA = 0 en la media mediodía. El Tiempo Universal es discontinuo en la media medianoche, por lo que se requiere otra cantidad número de día N , un entero, para formar la cantidad continua tiempo t : t = N + ⁠Utah/24 horas⁠ días . Tanto GHA como GMHA, como todos los ángulos físicos, tienen una discontinuidad matemática, pero no física, en su respectivo mediodía (aparente y medio). A pesar de las discontinuidades matemáticas de sus componentes, EOT se define como una función continua sumando (o restando) 24 horas en el pequeño intervalo de tiempo entre las discontinuidades en GHA y GMHA.

Según las definiciones de los ángulos de la esfera celeste GHA = GAST − α (ver ángulo horario )
donde:

• GAST es el tiempo sideral aparente de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el meridiano en el plano del ecuador). Se trata de una función conocida de UT. ^[29]
• α es la ascensión recta del Sol aparente (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el Sol real en el plano del ecuador).

Sustituyendo en la ecuación del tiempo, es

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

Al igual que la fórmula para GHA anterior, se puede escribir GMHA = GAST − α _M , donde el último término es la ascensión recta del Sol medio. La ecuación se escribe a menudo en estos términos como ^{[4] : 275  [30] : 45}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\alpha _ {M}-\alpha }$

donde α _M = GAST − UT + offset . En esta formulación, una medición o cálculo de EOT en un cierto valor de tiempo depende de una medición o cálculo de α en ese momento. Tanto α como α _M varían de 0 a 24 horas durante el transcurso de un año. El primero tiene una discontinuidad en un momento que depende del valor de UT, mientras que el segundo la tiene en un momento ligeramente posterior. Como consecuencia, cuando se calcula de esta manera, EOT tiene dos discontinuidades artificiales. Ambas se pueden eliminar restando 24 horas del valor de EOT en el pequeño intervalo de tiempo después de la discontinuidad en α y antes de la de α _M . El EOT resultante es una función continua del tiempo.

Otra definición, denominada E para distinguirla de EOT, es

${\displaystyle E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

Aquí GMST = GAST − eqeq , es el tiempo sideral medio de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal medio y el Sol medio en el plano del ecuador). Por lo tanto, GMST es una aproximación a GAST (y E es una aproximación a EOT); eqeq se llama ecuación de los equinoccios y se debe al bamboleo o nutación del eje de rotación de la Tierra sobre su movimiento de precesión. Dado que la amplitud del movimiento nutacional es de solo unos 1,2 s (18″ de longitud), la diferencia entre EOT y E se puede ignorar a menos que uno esté interesado en la precisión de subsegundos.

Una tercera definición, denominada Δ t para distinguirla de EOT y E , y ahora llamada Ecuación del Tiempo de Efemérides ^{[28] : 1532} (antes de la distinción que ahora se hace entre EOT, E y Δ t, esta última se conocía como la ecuación del tiempo) es

${\displaystyle \Delta t=\Lambda -\alpha }$

aquí Λ es la longitud eclíptica del Sol medio (el ángulo entre el equinoccio vernal medio y el Sol medio en el plano de la eclíptica ).

La diferencia Λ − (GMST − UT + offset) es de 1,3 s desde 1960 hasta 2040. Por lo tanto, en este rango restringido de años Δ t es una aproximación al EOT cuyo error está en el rango de 0,1 a 2,5 s dependiendo de la corrección de longitud en la ecuación de los equinoccios; para muchos propósitos, por ejemplo corregir un reloj de sol, esta precisión es más que suficiente.

La ascensión recta, y por lo tanto la ecuación del tiempo, se puede calcular a partir de la teoría de dos cuerpos de Newton sobre el movimiento celeste, en la que los cuerpos (Tierra y Sol) describen órbitas elípticas alrededor de su centro de masa común. Usando esta teoría, la ecuación del tiempo se convierte en:

${\displaystyle \Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha }$

donde los nuevos ángulos que aparecen son:

• M = ⁠2π( t − t _p )/y_​⁠ , es la anomalía media , el ángulo desde el periapsis de la órbita elíptica hasta el Sol medio; su rango es de 0 a 2 π a medida que t aumenta de t _p a t _p + t _Y ;
• tY ₌​365.259 6358  días es la duración de un año anómalo : el intervalo de tiempo entre dos pasajes sucesivos del periapsis;
• λ _p = Λ − M , es la longitud eclíptica del periapsis;
• t es el tiempo dinámico , la variable independiente en la teoría. Aquí se considera idéntico al tiempo continuo basado en UT (ver arriba), pero en cálculos más precisos (de E o EOT) se debe tener en cuenta la pequeña diferencia entre ellos ^{[28] : 1530  [29]} así como la distinción entre UT1 y UTC.
• t _p es el valor de t en el periapsis.

Para completar el cálculo se requieren tres ángulos adicionales:

• E , la anomalía excéntrica del Sol (nótese que es diferente de M );
• ν , la verdadera anomalía del Sol;
• λ = ν + λ _p , la longitud verdadera del Sol en la eclíptica.

Todos estos ángulos se muestran en la figura de la derecha, que muestra la esfera celeste y la órbita elíptica del Sol vista desde la Tierra (la misma que la órbita de la Tierra vista desde el Sol). En esta figura, ε es la oblicuidad , mientras que e = √ 1 − ( b / a ) ² es la excentricidad de la elipse.

Ahora, dado un valor de 0 ≤ M ≤ 2π , se puede calcular α ( M ) mediante el siguiente procedimiento bien conocido: ^{[27] : 89}

Primero, dado M , calculamos E a partir de la ecuación de Kepler : ^{[31] : 159}

${\displaystyle M=Ee\sin {E}}$

Aunque esta ecuación no se puede resolver con exactitud en forma cerrada, los valores de E ( M ) se pueden obtener a partir de series infinitas (potenciales o trigonométricas), métodos gráficos o numéricos. Alternativamente, observe que para e = 0 , E = M , y por iteración: ^{[32] : 2}

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}}$

Esta aproximación se puede mejorar, para e pequeño , iterando nuevamente:

${\displaystyle E\aproximadamente M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}}$,

y la iteración continua produce términos de orden sucesivamente más altos de la expansión de la serie de potencias en e . Para valores pequeños de e (mucho menores que 1) dos o tres términos de la serie dan una buena aproximación para E ; cuanto menor sea e , mejor será la aproximación.

A continuación, conociendo E , calcule la anomalía verdadera ν a partir de una relación de órbita elíptica ^{[31] : 165}

${\displaystyle \nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)}$

La rama correcta de la función de valores múltiples arctan x a utilizar es la que hace de ν una función continua de E ( M ) a partir de ν _{E =0} = 0 . Así, para 0 ≤ E < π, utilice arctan x = arctan x , y para π < E ≤ 2π, utilice arctan x = arctan x + π . En el valor específico E = π para el cual el argumento de tan es infinito, utilice ν = E . Aquí arctan x es la rama principal, | arctan x | < ⁠π/2⁠ ; la función que devuelven las calculadoras y las aplicaciones informáticas. Alternativamente, esta función se puede expresar en términos de su serie de Taylor en e , cuyos primeros tres términos son:

${\displaystyle \nu \aprox E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}}$.

Para valores pequeños de e, esta aproximación (o incluso solo los dos primeros términos) es buena. Al combinar la aproximación para E ( M ) con esta para ν ( E ), se obtiene:

${\displaystyle \nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

La relación ν ( M ) se denomina ecuación del centro ; la expresión escrita aquí es una aproximación de segundo orden en e . Para el pequeño valor de e que caracteriza la órbita de la Tierra, esto da una muy buena aproximación para ν ( M ) .

A continuación, conociendo ν , calculamos λ a partir de su definición:

${\displaystyle \lambda =\nu +\lambda _ {p}}$

El valor de λ varía de forma no lineal con M porque la órbita es elíptica y no circular. De la aproximación para ν :

${\displaystyle \lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$.

Finalmente, conociendo λ, calcule α a partir de una relación para el triángulo rectángulo en la esfera celeste que se muestra arriba ^{[33] : 22}

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$

Nótese que el cuadrante de α es el mismo que el de λ , por lo tanto, reduzca λ al rango de 0 a 2 π y escriba

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)}$,

donde k es 0 si λ está en el cuadrante 1, es 1 si λ está en los cuadrantes 2 o 3 y es 2 si λ está en el cuadrante 4. Para los valores en los que tan es infinito, α = λ .

Aunque se pueden obtener valores aproximados para α a partir de series de Taylor truncadas como las de ν , ^{[34] : 32} es más eficaz utilizar la ecuación ^{[35] : 374}

${\displaystyle \alpha =\lambda -\arcsin \left(y\sin \left(\alpha +\lambda \right)\right)}$

donde y = tan ² ( ⁠mi/2⁠ ) ​​. Nótese que para ε = y = 0 , α = λ e iterando dos veces:

${\displaystyle \alpha \approx \lambda -y\sin {2\lambda }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\lambda }}$.

La ecuación del tiempo se obtiene sustituyendo el resultado del cálculo de la ascensión recta en una fórmula de ecuación del tiempo. Aquí se utiliza Δ t ( M ) = M + λ _p − α [ λ ( M )] ; en parte porque no se incluyen pequeñas correcciones (del orden de 1 segundo), que justificarían el uso de E , y en parte porque el objetivo es obtener una expresión analítica simple. El uso de aproximaciones de dos términos para λ ( M ) y α ( λ ) permite escribir Δ t como una expresión explícita de dos términos, que se designa Δ t _ey porque es una aproximación de primer orden en e y en y .

1) minutos${\displaystyle \Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7.659\sin {M}+9.863\sin \left(2M+3.5932\right)}$

Esta ecuación fue derivada por primera vez por Milne, ^{[35] : 375} quien la escribió en términos de λ = M + λ _p . Los valores numéricos escritos aquí resultan de usar los valores de los parámetros orbitales, e =0,016 709 , ε =23.4393 ° =0,409 093  radianes y λ _p =282,9381 ° =4.938 201  radianes que corresponden a la época del 1 de enero de 2000 a las 12 del mediodía UT1 . Al evaluar la expresión numérica para Δ t _ey como se indica anteriormente, una calculadora debe estar en modo radianes para obtener valores correctos porque el valor de 2 λ _p − 2π en el argumento del segundo término está escrito allí en radianes. También se pueden escribir aproximaciones de orden superior, ^{[36] : Ecs (45) y (46)} pero necesariamente tienen más términos. Por ejemplo, la aproximación de segundo orden tanto en e como en y consta de cinco términos ^{[28] : 1535}

2)${\displaystyle \Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)}$

Esta aproximación tiene el potencial de una alta precisión, sin embargo, para lograrla en un amplio rango de años, los parámetros e , ε y λ p deben poder variar con el tiempo. [27] : 86  [28] : 1531,1535  Esto crea complicaciones de cálculo adicionales. Se han propuesto otras aproximaciones, por ejemplo, Δ t e [27] : 86  [37] que utiliza la ecuación de primer orden del centro pero ninguna otra aproximación para determinar α , y Δ t e 2 [38] que utiliza la ecuación de segundo orden del centro.

La variable tiempo, M , se puede escribir en términos de n , el número de días transcurridos desde el perihelio, o D , el número de días transcurridos desde una fecha y hora específicas (época):

3) días días${\displaystyle M={\frac {2\pi} {t_{Y}}}n}$${\displaystyle =M_{D}+{\frac {2\pi }{t_{Y}}}D}$${\displaystyle =6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

4) ${\displaystyle M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

Aquí , M _D es el valor de M en la fecha y hora elegidas. Para los valores dados aquí, en radianes, M _D es el medido para el Sol real en la época, el 1 de enero de 2000 a las 12 del mediodía UT1, y D es el número de días después de esa época. En el periapsis M = 2π , por lo que al resolver se obtiene D = D _p =2.508 109 . Esto sitúa el periapsis el 4 de enero de 2000 a las 00:11:41 mientras que el periapsis real es, según los resultados del Almanaque informático interactivo multianual ^[39] (abreviado como MICA), el 3 de enero de 2000 a las 05:17:30. Esta gran discrepancia se produce porque la diferencia entre el radio orbital en las dos ubicaciones es de sólo 1 parte en un millón; en otras palabras, el radio es una función muy débil del tiempo cerca del periapsis. Como cuestión práctica, esto significa que no se puede obtener un resultado muy preciso para la ecuación del tiempo utilizando n y añadiendo la fecha real del periapsis para un año determinado. Sin embargo, se puede lograr una gran precisión utilizando la formulación en términos de D .

Cuando D > D _p , M es mayor que 2 π y se le debe restar un múltiplo de 2 π (que depende del año) para llevarlo al rango de 0 a 2 π . De la misma manera para los años anteriores a 2000 se deben sumar múltiplos de 2 π . Por ejemplo, para el año 2010, D varía de3653 el 1 de enero al mediodía a4017 el 31 de diciembre al mediodía; los valores M correspondientes son69.078 9468 y75.340 4748 y se reducen al rango de 0 a 2 π restando 10 y 11 veces 2 π respectivamente.

Siempre se puede escribir:

5) D = n _Y + d

dónde:

• n _Y = número de días desde la época hasta el mediodía del 1 de enero del año deseado
• 0 ≤ d ≤ 364 (365 si el cálculo es para un año bisiesto).

La ecuación resultante para los años posteriores a 2000, escrita como suma de dos términos, dados 1), 4) y 5), es:

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))}$

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

6) [minutos]${\displaystyle \Delta t_{ey}=a+b}$

En formato de texto simple:

7) EoT = -7,659sin(6,24004077 + 0,01720197(365*(y-2000) + d)) + 9,863sin( 2 (6,24004077 + 0,01720197 (365*(y-2000) + d)) + 3,5932 ) [minutos]

El término "a" representa la contribución de la excentricidad, el término "b" representa la contribución de la oblicuidad.

El resultado de los cálculos se suele dar como un conjunto de valores tabulares o como un gráfico de la ecuación del tiempo en función de d . En la figura se muestra una comparación de los gráficos de Δ t , Δ t _ey y los resultados de MICA, todos correspondientes al año 2000. Se observa que el gráfico de Δ t _ey está cerca de los resultados producidos por MICA, el error absoluto, Err = | Δ t _ey − MICA2000 | , es inferior a 1 minuto durante todo el año; su valor más alto es de 43,2 segundos y se produce el día 276 (3 de octubre). El gráfico de Δ t es indistinguible de los resultados de MICA, el error absoluto más grande entre los dos es de 2,46 s en el día 324 (20 de noviembre).

Para la elección de la rama apropiada de la relación arcotangente con respecto a la continuidad de la función, resulta útil una versión modificada de la función arcotangente, que aporta conocimientos previos sobre el valor esperado por un parámetro. La función arcotangente modificada se define como:

${\displaystyle \arctan _{\eta }x=\arctan x+\pi \operatorname {round} {\left({\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}\right)}}$.

Produce un valor lo más cercano posible a η . La función round redondea al entero más cercano.

Aplicando esto obtenemos:

${\displaystyle \Delta t(M)=M+\lambda _{p}-\arctan _{M+\lambda _{p}}\left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$.

El parámetro M + λ _p se dispone aquí para fijar Δ t en el valor cero más cercano, que es el deseado.

La diferencia entre los resultados de MICA y Δ t se comprobó cada 5 años durante el intervalo de 1960 a 2040. En todos los casos, el error absoluto máximo fue inferior a 3 s; la diferencia más grande, 2,91 s, se produjo el 22 de mayo de 1965 (día 141). Sin embargo, para lograr este nivel de precisión durante este intervalo de años, es necesario tener en cuenta el cambio secular en los parámetros orbitales con el tiempo. Las ecuaciones que describen esta variación son: ^{[27] : 86  [28] : 1531,1535}

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}}$

Según estas relaciones, en 100 años ( D  = 36 525 ), λ _p aumenta aproximadamente un 0,5 % (1,7°), e disminuye aproximadamente un 0,25 % y ε disminuye aproximadamente un 0,05 %.

Como resultado, la cantidad de cálculos necesarios para cualquiera de las aproximaciones de orden superior de la ecuación del tiempo requiere una computadora para completarlas, si se desea lograr su precisión inherente en un amplio rango de tiempo. En este caso, no es más difícil evaluar Δ t usando una computadora que cualquiera de sus aproximaciones.

En todo esto, tenga en cuenta que Δ t _ey, como se escribió anteriormente, es fácil de evaluar, incluso con una calculadora, es lo suficientemente preciso (mejor que 1 minuto en el rango de 80 años) para corregir relojes de sol y tiene la bonita explicación física como la suma de dos términos, uno debido a la oblicuidad y el otro a la excentricidad que se utilizó anteriormente en el artículo. Esto no es cierto ni para Δ t considerado como una función de M ni para ninguna de sus aproximaciones de orden superior.

Otro procedimiento para calcular la ecuación del tiempo se puede realizar de la siguiente manera. ^[37] Los ángulos están en grados; se aplica el orden convencional de operaciones .

n = ⁠360°/365,24 días,⁠

donde n es la velocidad orbital angular media de la Tierra en grados por día, también conocida como "movimiento diario medio" .

${\displaystyle A=\left(D+9\right)n}$

donde D es la fecha, contada en días a partir del 1 del 1 de enero (es decir, la parte de días de la fecha ordinal en el año). 9 es el número aproximado de días desde el solsticio de diciembre hasta el 31 de diciembre. A es el ángulo en el que la Tierra se movería en su órbita a su velocidad promedio desde el solsticio de diciembre hasta la fecha D.

${\displaystyle B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$

B es el ángulo en el que se mueve la Tierra desde el solsticio hasta la fecha D , incluida una corrección de primer orden por la excentricidad orbital de la Tierra, 0,0167. El número 3 es el número aproximado de días desde el 31 de diciembre hasta la fecha actual del perihelio de la Tierra . Esta expresión para B se puede simplificar combinando constantes para:

${\displaystyle B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$.

${\displaystyle C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}}$

Aquí, C es la diferencia entre el ángulo recorrido a la velocidad media y el ángulo a la velocidad corregida proyectada sobre el plano ecuatorial, y dividida por 180° para obtener la diferencia en " medias vueltas ". El valor 23,44° es la inclinación del eje de la Tierra ("oblicuidad") . La resta da el signo convencional a la ecuación del tiempo. Para cualquier valor dado de x , arctan x (a veces escrito como tan ⁻¹ x ) tiene múltiples valores, que difieren entre sí por números enteros de medias vueltas. El valor generado por una calculadora o computadora puede no ser el apropiado para este cálculo. Esto puede hacer que C sea incorrecto por un número entero de medias vueltas. Las medias vueltas sobrantes se eliminan en el siguiente paso del cálculo para dar la ecuación del tiempo:

${\displaystyle \mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)}$ minutos

La expresión nint( C ) significa el entero más próximo a C . En un ordenador, se puede programar, por ejemplo, como INT(C + 0,5) . Su valor es 0, 1 o 2 en diferentes épocas del año. Al restarle queda un pequeño número fraccionario positivo o negativo de medias vueltas, que se multiplica por 720, el número de minutos (12 horas) que tarda la Tierra en dar media vuelta con respecto al Sol, para obtener la ecuación del tiempo.

En comparación con los valores publicados, ^[8] este cálculo tiene un error cuadrático medio de solo 3,7 s. El error máximo es de 6,0 s. Esto es mucho más preciso que la aproximación descrita anteriormente, pero no tanto como el cálculo elaborado.

El valor de B en el cálculo anterior es un valor preciso de la longitud eclíptica del Sol (desplazada 90°), por lo que la declinación solar δ queda fácilmente disponible:

${\displaystyle \delta =-\arcsin \left(\sin 23.44^{\circ }\cdot \cos B\right)}$

que tiene una precisión de una fracción de grado.

• Acimut  : ángulo horizontal desde el norte u otra dirección cardinal de referencia
• Ciclos de Milankovitch  – Ciclos climáticos globales

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Ecuación del tiempo (relojes de sol) .

• Calculadora solar de la NOAA
• «Servicios de datos de USNO». Archivado desde el original el 29 de mayo de 2014.(incluye horas de salida, puesta y tránsito del Sol y otros objetos celestes)
• La ecuación del tiempo descrita en el sitio web del Observatorio Real de Greenwich
• La ecuación del tiempo y el analema, de Kieron Taylor
• Un artículo de Brian Tung que contiene un enlace a un programa en C que utiliza una fórmula más precisa que la mayoría (en particular en inclinaciones y excentricidades elevadas). El programa puede calcular la declinación solar, la ecuación del tiempo o el analema
• Realizar cálculos utilizando los modelos planetarios geocéntricos de Ptolomeo con una discusión de su gráfico ET
• Reloj de caja larga con ecuación del tiempo de John Topping, c.1720
• Tabla de corrección de la ecuación del tiempo Una página que describe cómo corregir un reloj a un reloj de sol
• Tempómetro solar: Calcula tu tiempo solar, incluida la ecuación del tiempo