Ecuación de arrastre

En dinámica de fluidos , la ecuación de arrastre es una fórmula que se utiliza para calcular la fuerza de arrastre que experimenta un objeto debido al movimiento a través de un fluido que lo encierra por completo . La ecuación es: donde$${\displaystyle F_{\rm {d}}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,u^{2}\,c_{\rm {d}}\,A}$$

• ${\displaystyle F_{\rm {d}}}$es la fuerza de arrastre , que es por definición el componente de fuerza en la dirección de la velocidad del flujo,
• ${\estilo de visualización \rho}$es la densidad de masa del fluido, ^[1]
• ${\estilo de visualización u}$es la velocidad del flujo relativa al objeto,
• ${\estilo de visualización A}$es el área de referencia , y
• $estilo de visualización c_{\rm {d}}}$es el coeficiente de arrastre , un coeficiente adimensional relacionado con la geometría del objeto y que tiene en cuenta tanto la fricción superficial como el arrastre de forma . Si el fluido es un líquido, depende del número de Reynolds ; si el fluido es un gas, depende tanto del número de Reynolds como del número de Mach .$estilo de visualización c_{\rm {d}}}$$estilo de visualización c_{\rm {d}}}$

La ecuación se atribuye a Lord Rayleigh , quien originalmente utilizó L ² en lugar de A ( siendo L alguna dimensión lineal). ^[2]

El área de referencia A se define típicamente como el área de la proyección ortográfica del objeto en un plano perpendicular a la dirección del movimiento. Para objetos no huecos con forma simple, como una esfera, esto es exactamente lo mismo que el área de sección transversal máxima . Para otros objetos (por ejemplo, un tubo rodante o el cuerpo de un ciclista), A puede ser significativamente mayor que el área de cualquier sección transversal a lo largo de cualquier plano perpendicular a la dirección del movimiento. Los perfiles aerodinámicos utilizan el cuadrado de la longitud de la cuerda como área de referencia; dado que las cuerdas de los perfiles aerodinámicos generalmente se definen con una longitud de 1, el área de referencia también es 1. Las aeronaves utilizan el área del ala (o área de la pala del rotor) como área de referencia, lo que facilita la comparación con la sustentación . Los dirigibles y los cuerpos de revolución utilizan el coeficiente volumétrico de arrastre, en el que el área de referencia es el cuadrado de la raíz cúbica del volumen del dirigible. A veces se dan diferentes áreas de referencia para el mismo objeto, en cuyo caso se debe dar un coeficiente de arrastre correspondiente a cada una de estas diferentes áreas.

Para cuerpos con esquinas afiladas , como cilindros cuadrados y placas colocadas transversalmente a la dirección del flujo, esta ecuación es aplicable con el coeficiente de arrastre como un valor constante cuando el número de Reynolds es mayor que 1000. ^[3] Para cuerpos lisos, como un cilindro, el coeficiente de arrastre puede variar significativamente hasta números de Reynolds de hasta 10 ⁷ (diez millones). ^[4]

La ecuación es más fácil de entender para la situación idealizada donde todo el fluido incide en el área de referencia y se detiene por completo, acumulando presión de estancamiento sobre toda el área. Ningún objeto real corresponde exactamente a este comportamiento. es la relación entre la resistencia de cualquier objeto real y la del objeto ideal. En la práctica, un cuerpo rugoso y no aerodinámico (un cuerpo romo) tendrá un valor de alrededor de 1, más o menos. Los objetos más lisos pueden tener valores mucho más bajos de . La ecuación es precisa: simplemente proporciona la definición de ( coeficiente de resistencia ), que varía con el número de Reynolds y se encuentra mediante experimentos.$estilo de visualización c_{\rm {d}}}$$estilo de visualización c_{\rm {d}}}$$estilo de visualización c_{\rm {d}}}$$estilo de visualización c_{\rm {d}}}$

De particular importancia es la dependencia de la velocidad del flujo, lo que significa que la resistencia del fluido aumenta con el cuadrado de la velocidad del flujo. Cuando la velocidad del flujo se duplica, por ejemplo, no solo el fluido golpea con el doble de velocidad del flujo, sino que también lo hace con el doble de masa del fluido por segundo. Por lo tanto, el cambio de momento por tiempo, es decir, la fuerza experimentada, se multiplica por cuatro. Esto contrasta con la fricción dinámica sólido sobre sólido , que generalmente tiene muy poca dependencia de la velocidad.${\displaystyle u^{2}}$

La fuerza de arrastre también se puede especificar como donde P _D es la presión ejercida por el fluido sobre el área A . Aquí la presión P _D se denomina presión dinámica debido a la energía cinética del fluido que experimenta una velocidad de flujo relativa u . Esto se define de forma similar a la ecuación de energía cinética:$${\displaystyle F_{\rm {d}}\propto P_{\rm {D}}A}$$$${\displaystyle P_{\rm {D}}={\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$$

La ecuación de arrastre se puede derivar dentro de una constante multiplicativa mediante el método de análisis dimensional . Si un fluido en movimiento choca con un objeto, ejerce una fuerza sobre el objeto. Supongamos que el fluido es un líquido y que las variables involucradas, en ciertas condiciones, son:

• velocidad u ,
• densidad del fluido ρ ,
• viscosidad cinemática ν del fluido,
• tamaño del cuerpo, expresado en términos de su área mojada A , y
• fuerza de arrastre F _d .

Utilizando el algoritmo del teorema π de Buckingham , estas cinco variables pueden reducirse a dos grupos adimensionales:

• coeficiente de arrastre c _d y
• Número de Reynolds Re.

Que esto es así se hace evidente cuando la fuerza de arrastre F _d se expresa como parte de una función de las otras variables del problema:

$${\displaystyle f_{a}(F_{\rm {d}},u,A,\rho ,\nu )=0.}$$

Se utiliza esta extraña forma de expresión porque no supone una relación biunívoca. Aquí, f _a es una función (aún desconocida) que acepta cinco argumentos. Ahora bien, el lado derecho es cero en cualquier sistema de unidades; por lo tanto, debería ser posible expresar la relación descrita por f _a en términos de grupos adimensionales únicamente.

Hay muchas maneras de combinar los cinco argumentos de f _a para formar grupos adimensionales, pero el teorema π de Buckingham establece que habrá dos de esos grupos. El más apropiado es el número de Reynolds, dado por

$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}}$$

y el coeficiente de arrastre, dado por

$${\displaystyle c_{\rm {d}}={\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}.}$$

De esta manera, la función de cinco variables puede ser sustituida por otra función de sólo dos variables:

$${\displaystyle f_{b}({\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}},{\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)=0.}$$

donde f _b es una función de dos argumentos. La ley original se reduce entonces a una ley que involucra únicamente estos dos números.

Como la única incógnita en la ecuación anterior es la fuerza de arrastre F _d , es posible expresarla como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}&=f_{c}\left({\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\\F_{\rm {d}}&={\tfrac {1}{2}}\rho Au^{2}f_{c}(\mathrm {Re} )\\c_{\rm {d}}&=f_{c}(\mathrm {Re} )\end{aligned}}}$$

Así que la fuerza es simplemente1/2ρ A u ² veces alguna función f _c (aún desconocida) del número de Reynolds Re – un sistema considerablemente más simple que la función original de cinco argumentos dada anteriormente .

El análisis dimensional convierte así un problema muy complejo (intentar determinar el comportamiento de una función de cinco variables) en uno mucho más sencillo: la determinación de la resistencia en función de una sola variable, el número de Reynolds.

Si el fluido es un gas, ciertas propiedades del gas influyen en la resistencia y también deben tenerse en cuenta. Estas propiedades se consideran convencionalmente la temperatura absoluta del gas y la relación de sus calores específicos. Estas dos propiedades determinan la velocidad del sonido en el gas a su temperatura dada. El teorema de Buckingham pi conduce entonces a un tercer grupo adimensional, la relación entre la velocidad relativa y la velocidad del sonido, que se conoce como el número de Mach . En consecuencia, cuando un cuerpo se mueve en relación con un gas, el coeficiente de resistencia varía con el número de Mach y el número de Reynolds.

El análisis también proporciona otra información de forma gratuita, por así decirlo. El análisis muestra que, en igualdad de condiciones, la fuerza de arrastre será proporcional a la densidad del fluido. Este tipo de información suele resultar muy valiosa, especialmente en las primeras etapas de un proyecto de investigación.

La viscosidad del aire en una esfera giratoria tiene un coeficiente similar al coeficiente de arrastre en la ecuación de arrastre. ^[5]

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Para determinar empíricamente la dependencia del número de Reynolds, en lugar de experimentar con un cuerpo grande con fluidos que fluyen rápidamente (como aviones de tamaño real en túneles de viento ), también se puede experimentar con un modelo pequeño en un flujo de mayor velocidad porque estos dos sistemas brindan similitud al tener el mismo número de Reynolds. Si no se puede lograr el mismo número de Reynolds y el mismo número de Mach simplemente usando un flujo de mayor velocidad, puede ser ventajoso usar un fluido de mayor densidad o menor viscosidad. ^[6]

• Resistencia aerodinámica
• Angulo de ataque
• Ecuación de Morison
• Ley del seno-cuadrado de Newton sobre la resistencia del aire
• Pérdida (vuelo)
• Velocidad terminal

• Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Huntley, HE (1967). Análisis dimensional . Dover. LOC 67-17978.
• Benson, Tom. "Objeto que cae con resistencia del aire". EE. UU.: NASA . Consultado el 9 de junio de 2022 .
• Benson, Tom. "La ecuación de la resistencia". EE. UU.: NASA . Consultado el 9 de junio de 2022 .