Ecuación de onda electromagnética

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La ecuación de onda electromagnética es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la propagación de ondas electromagnéticas a través de un medio o en el vacío . Es una forma tridimensional de la ecuación de onda . La forma homogénea de la ecuación, escrita en términos del campo eléctrico E o del campo magnético B , adopta la forma:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$

dónde

$${\displaystyle v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}$$

es la velocidad de la luz (es decir, la velocidad de fase ) en un medio con permeabilidad μ y permitividad ε , y ∇ ² es el operador de Laplace . En el vacío, v _ph = c ₀ =299 792 458  m/s , una constante física fundamental. ^[1] La ecuación de onda electromagnética se deriva de las ecuaciones de Maxwell . En la mayor parte de la literatura antigua, B se denomina densidad de flujo magnético o inducción magnética . Las siguientes ecuacionespredican que cualquier onda electromagnética debe ser una onda transversal , donde el campo eléctrico E y el campo magnético B son ambos perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$$

En su artículo de 1865 titulado Una teoría dinámica del campo electromagnético , James Clerk Maxwell utilizó la corrección a la ley circuital de Ampère que había realizado en la parte III de su artículo de 1861 Sobre las líneas físicas de fuerza . En la parte VI de su artículo de 1864 titulado Teoría electromagnética de la luz , ^[2] Maxwell combinó la corriente de desplazamiento con algunas de las otras ecuaciones del electromagnetismo y obtuvo una ecuación de onda con una velocidad igual a la velocidad de la luz. Comentó:

La concordancia de los resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son afecciones de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética propagada a través del campo de acuerdo con las leyes electromagnéticas. ^[3]

La derivación de Maxwell de la ecuación de onda electromagnética ha sido reemplazada en la enseñanza de la física moderna por un método mucho menos engorroso que implica la combinación de la versión corregida de la ley circuital de Ampère con la ley de inducción de Faraday .

Para obtener la ecuación de onda electromagnética en el vacío mediante el método moderno, comenzamos con la forma moderna "Heaviside" de las ecuaciones de Maxwell . En un espacio sin carga y sin vacío, estas ecuaciones son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{alineado}}}$$

Estas son las ecuaciones generales de Maxwell especializadas para el caso en que la carga y la corriente se establecen en cero. Si tomamos el rizo de las ecuaciones de rizo, obtenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _ {0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right) &=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\parcial }{\parcial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{ 0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{alineado}}}$$

Podemos utilizar la identidad vectorial

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$$

donde V es cualquier función vectorial del espacio. Y

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)}$$

donde ∇ V es una diádica que, cuando se opera con el operador de divergencia ∇ ⋅, produce un vector. Dado que

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$$

entonces el primer término a la derecha de la identidad se desvanece y obtenemos las ecuaciones de onda:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$

dónde

$${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}}$$

es la velocidad de la luz en el espacio libre.

Estas ecuaciones relativistas se pueden escribir en forma contravariante como

$${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$$

donde el cuatro-potencial electromagnético es

$${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$$

con la condición del calibre de Lorenz :

$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$$

Y donde

$${\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$$

es el operador d'Alembert .

La ecuación de onda electromagnética se modifica de dos maneras, se sustituye la derivada por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura.

$${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0}$$

donde es el tensor de curvatura de Ricci y el punto y coma indica diferenciación covariante.${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }}$

Se supone la generalización de la condición de calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo:

$${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0.}$$

Las densidades de corriente y carga localizadas que varían con el tiempo pueden actuar como fuentes de ondas electromagnéticas en el vacío. Las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse en forma de ecuación de onda con fuentes. La adición de fuentes a las ecuaciones de onda hace que las ecuaciones diferenciales parciales sean no homogéneas.

La solución general de la ecuación de onda electromagnética es una superposición lineal de ondas de la forma

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

para prácticamente cualquier función g de buen comportamiento con argumento adimensional φ , donde ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo), y k = ( k _x , k _y , k _z ) es el vector de onda (en radianes por metro).

Aunque la función g puede ser, y a menudo lo es, una onda sinusoidal monocromática , no tiene por qué ser sinusoidal, ni siquiera periódica. En la práctica, g no puede tener una periodicidad infinita porque cualquier onda electromagnética real debe tener siempre una extensión finita en el tiempo y el espacio. Como resultado, y con base en la teoría de la descomposición de Fourier , una onda real debe consistir en la superposición de un conjunto infinito de frecuencias sinusoidales.

Además, para una solución válida, el vector de onda y la frecuencia angular no son independientes; deben respetar la relación de dispersión :

$${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$

donde k es el número de onda y λ es la longitud de onda . La variable c solo se puede utilizar en esta ecuación cuando la onda electromagnética está en el vacío.

El conjunto más simple de soluciones a la ecuación de onda resulta de suponer formas de onda sinusoidales de una única frecuencia en forma separable:

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}$$

dónde

• i es la unidad imaginaria ,
• ω = 2 π  f  es la frecuencia angular en radianes por segundo ,
•  f  es la frecuencia en hercios , y
• ${\displaystyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)}$es la fórmula de Euler .

Consideremos un plano definido por un vector normal unitario

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.}$$

Entonces, las soluciones de las ecuaciones de onda en forma de ondas viajeras planas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}}$$

donde r = ( x , y , z ) es el vector de posición (en metros).

Estas soluciones representan ondas planares que viajan en la dirección del vector normal n . Si definimos la dirección z como la dirección de n , y la dirección x como la dirección de E , entonces por la Ley de Faraday el campo magnético se encuentra en la dirección y y está relacionado con el campo eléctrico por la relación

$${\displaystyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.}$$

Como la divergencia de los campos eléctrico y magnético es cero, no hay campos en la dirección de propagación.

Esta solución es la solución polarizada linealmente de las ecuaciones de onda. También existen soluciones polarizadas circularmente en las que los campos giran alrededor del vector normal.

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell en el vacío, las soluciones se pueden descomponer en una superposición de senos . Esta es la base del método de la transformada de Fourier para la solución de ecuaciones diferenciales. La solución sinusoidal de la ecuación de onda electromagnética toma la forma

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}}$$

dónde

• t es el tiempo (en segundos),
• ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo),
• k = ( k _x , k _y , k _z ) es el vector de onda (en radianes por metro), y
• ${\displaystyle \phi _{0}}$es el ángulo de fase (en radianes).

El vector de onda está relacionado con la frecuencia angular por

$${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$

donde k es el número de onda y λ es la longitud de onda .

El espectro electromagnético es un gráfico de las magnitudes (o energías) del campo en función de la longitud de onda.

Suponiendo que los campos monocromáticos varían en el tiempo como , si se utilizan las ecuaciones de Maxwell para eliminar B , la ecuación de onda electromagnética se reduce a la ecuación de Helmholtz para E :${\displaystyle e^{-i\omega t}}$

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,}$$

con k = ω / c como se indica anteriormente. Alternativamente, se puede eliminar E en favor de B para obtener:

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .}$$

Un campo electromagnético genérico con frecuencia ω se puede escribir como una suma de soluciones de estas dos ecuaciones. Las soluciones tridimensionales de la ecuación de Helmholtz se pueden expresar como expansiones en armónicos esféricos con coeficientes proporcionales a las funciones esféricas de Bessel . Sin embargo, aplicar esta expansión a cada componente vectorial de E o B dará soluciones que no están genéricamente libres de divergencia ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ), y por lo tanto requieren restricciones adicionales en los coeficientes.

La expansión multipolar evita esta dificultad al expandir no E o B , sino r ⋅ E o r ⋅ B en armónicos esféricos. Estas expansiones aún resuelven las ecuaciones originales de Helmholtz para E y B porque para un campo libre de divergencia F , ∇ ² ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ ² F ) . Las expresiones resultantes para un campo electromagnético genérico son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}}$$

donde y son los campos multipolares eléctricos de orden (l, m) , y y son los campos multipolares magnéticos correspondientes , y a _E ( l , m ) y a _M ( l , m ) son los coeficientes de la expansión. Los campos multipolares están dados por${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}}$$

donde h _l ^(1,2) ( x ) son las funciones esféricas de Hankel , E _l ^(1,2) y B _l ^(1,2) están determinadas por las condiciones de contorno, y

$${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}}$$

¿Son armónicos esféricos vectoriales normalizados de modo que

$${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.}$$

La expansión multipolar del campo electromagnético encuentra aplicación en una serie de problemas que involucran simetría esférica, por ejemplo, patrones de radiación de antenas o desintegración gamma nuclear . En estas aplicaciones, uno a menudo está interesado en la potencia radiada en el campo lejano . En estas regiones, los campos E y B se aproximan asintóticamente

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}$$

La distribución angular de la potencia radiada promediada en el tiempo viene dada por

$${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}$$

• Maxwell, James Clerk, " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Este artículo acompañaba una presentación que Maxwell hizo el 8 de diciembre de 1864 ante la Royal Society.)

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