Distancia de Melnikov

En matemáticas, el método Melnikov es una herramienta para identificar la existencia de caos en una clase de sistemas dinámicos bajo perturbación periódica.

El método de Melnikov se utiliza en muchos casos para predecir la aparición de órbitas caóticas en sistemas no lineales suaves no autónomos sometidos a perturbaciones periódicas. Según el método, es posible construir una función denominada "función de Melnikov", que puede utilizarse para predecir el comportamiento regular o caótico de un sistema dinámico. Por tanto, la función de Melnikov se utilizará para determinar una medida de distancia entre variedades estables e inestables en el mapa de Poincaré. Además, cuando esta medida es igual a cero, según el método, esas variedades se cruzan entre sí transversalmente y, a partir de ese cruce, el sistema se vuelve caótico.

Este método apareció en 1890 por H. Poincaré ^[1] y por V. Melnikov en 1963 ^[2] y podría llamarse el "Método Poincaré-Melnikov". Además, fue descrito por varios libros de texto como Guckenheimer & Holmes, ^[3] Kuznetsov, ^[4] S. Wiggins, ^[5] Awrejcewicz & Holicke ^[6] y otros. Hay muchas aplicaciones para la distancia de Melnikov, ya que se puede utilizar para predecir vibraciones caóticas. ^[7] En este método, la amplitud crítica se encuentra estableciendo la distancia entre órbitas homoclínicas y variedades estables igual a cero. Al igual que en Guckenheimer & Holmes, donde fueron los primeros que, basándose en el teorema KAM , determinaron un conjunto de parámetros de sistemas hamiltonianos perturbados relativamente débiles de dos grados de libertad, en los que se produjo la bifurcación homoclínica .

Consideremos la siguiente clase de sistemas dada por

$${\displaystyle {{\begin{array}{lcl}{\dot {x}}&=&{\frac {\partial H}{\partial y}}(x,y)+\epsilon g_{1}(x,y,t,\epsilon )\\{\dot {y}}&=&-{\frac {\partial H}{\partial x}}(x,y)+\epsilon g_{2}(x,y,t,\epsilon ),\end{array}}{(1)}}}$$o en forma vectorial$${\displaystyle {{\dot {q}}=JDH(q)+\epsilon g(q,t,\epsilon )~\ ~\ {(2)}}}$$

donde , , y${\displaystyle q=(x,y)}$${\displaystyle DH=\left({\frac {\parcial H}{\parcial x}},{\frac {\parcial H}{\parcial y}}\right)}$${\displaystyle g=(g_{1},g_{2})}$

${\displaystyle J=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\\\end{array}}\right).}$

Supongamos que el sistema (1) es suave en la región de interés, es un parámetro de perturbación pequeño y es una función vectorial periódica con el período .${\displaystyle \épsilon}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle T={\dfrac {2\pi }{\omega }}}$

Si , entonces hay un sistema no perturbado${\displaystyle \epsilon = 0}$

${\displaystyle {{\dot {q}}=JDH(q).~\ ~\ {(3)}}}$

A partir de este sistema (3), observando el espacio de fases en la Figura 1, considere las siguientes suposiciones

• A1 - El sistema tiene un punto fijo hiperbólico , conectado a sí mismo por una órbita homoclínica  $estilo de visualización p_{0}}$${\displaystyle q_{0}(t)=(x_{0}(t),y_{0}(t));}$
• A2 - El sistema está lleno en su interior por una familia continua de órbitas periódicas de período con donde${\ Displaystyle \ Gamma _ {p_ {0}}}$${\displaystyle q^{\alpha }(t)}$${\displaystyle T^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \en (-1,0),}$${\displaystyle \Gamma _{p_{0}}=\{q\in \mathbb {R} ^{2}|q=q_{0}(t),t\in \mathbb {R} \}=W^{s}(p_{0})\cap W^{u}(p_{0})\cup \{p_{0}\}.}$

Para obtener la función de Melnikov, se deben utilizar algunos trucos, por ejemplo, para deshacerse de la dependencia del tiempo y obtener ventajas geométricas, se debe utilizar una nueva coordenada que sea de tipo cíclico dada por Entonces, el sistema (1) podría reescribirse en forma vectorial de la siguiente manera${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle \phi =\omega t+\phi _{0}.}$

${\textstyle {{\begin{array}{lcl}{\dot {q}}&=&JDH(q)+\epsilon g(q,\phi ,\epsilon )\\{\dot {\phi }}& =&\omega .\end{array}}~\ ~\ {(4)}}}$

Por lo tanto, mirando la Figura 2, el espacio de fase tridimensional donde y tiene el punto fijo hiperbólico del sistema no perturbado convirtiéndose en una órbita periódica Las variedades estables e inestables bidimensionales de por y se denotan, respectivamente. Por el supuesto de que y coinciden a lo largo de una variedad homoclínica bidimensional. Esto se denota por donde es el tiempo de vuelo desde un punto hasta el punto en la conexión homoclínica .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1},}$${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \phi \in \mathbb {S} ^{1}}$$estilo de visualización p_{0}}$${\displaystyle \gamma(t)=(p_{0},\phi(t)).}$${\displaystyle \gamma(t)}$${\displaystyle W^{s}(\gamma (t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma (t))}$${\estilo de visualización A1,}$ ${\displaystyle W^{s}(\gamma (t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma (t))}$${\displaystyle \Gamma _{\gamma }=\{(q,\phi )\en \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}|q=q_{0}(-t_{0}),t_{0}\en \mathbb {R} ;\phi =\phi _{0}\en (0,2\pi ]\},}$${\estilo de visualización t_{0}}$$estilo de visualización q_{0}(-t_{0})}$$estilo de visualización q_{0}(0)}$

En la Figura 3, para cualquier punto se construye un vector , normal al de la siguiente manera Así variando y sirven para moverse a cada punto de${\displaystyle p\equiv(q_{0}(-t_{0}),\phi _{0}),}$$estilo de visualización {\pi _{p}}$${\displaystyle \Gamma _ {\gamma }}$${\displaystyle \pi_{p}\equiv(DH(q_{0}(-t_{0}),0).}$${\estilo de visualización t_{0}}$$estilo de visualización {\phi _{0}}$$estilo de visualización {\pi _{p}}$${\displaystyle \Gamma _{\gamma }.}$

Si es suficientemente pequeño, que es el sistema (2), entonces se convierte en y las variedades estable e inestable se vuelven diferentes entre sí. Además, para este suficientemente pequeño en un entorno, la órbita periódica del campo vectorial no perturbado (3) persiste como una órbita periódica, Además, y son -cercanos a y respectivamente.${\displaystyle \epsilon \neq 0}$${\displaystyle \gamma(t)}$${\displaystyle \gamma _{\epsilon }(t),}$ ${\displaystyle \Gamma _ {\gamma }}$${\displaystyle \Gamma _ {\gamma _ {\epsilon }},}$${\displaystyle \épsilon}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\epsilon _ {0}),}$${\displaystyle \gamma(t)}$${\displaystyle \gamma _{\epsilon }(t)=\gamma (t)+{\mathcal {O}}(\epsilon ).}$${\displaystyle W_{loc}^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W_{loc}^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle W_{loc}^{s}(\gamma (t))}$${\displaystyle W_{loc}^{u}(\gamma (t))}$

Considere la siguiente sección transversal del espacio de fases, entonces y son las trayectorias de la${\displaystyle \Sigma ^{\phi _{0}}=\{(q,\phi )\in \mathbb {R} ^{2}|\phi =\phi _{0}\},}$${\displaystyle (q(t),\phi (t))}$${\displaystyle (q_{\epsilon }(t),\phi (t))}$

campos vectoriales perturbados y no perturbados, respectivamente. Las proyecciones de estas trayectorias sobre están dadas por y Observando la Figura 4, la división de y está definida por lo tanto, considere los puntos que se intersecan transversalmente como y , respectivamente. Por lo tanto, es natural definir la distancia entre y en el punto denotado por y puede reescribirse como Dado que y se encuentran en y y luego puede reescribirse como ${\displaystyle \Sigma ^{\phi _{0}}}$${\displaystyle (q(t),\phi _{0}(t))}$${\displaystyle (q_{\epsilon }(t),\phi _{0}(t)).}$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t)),}$${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{s}}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}}$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle d(p,\epsilon )\equiv |p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u}|}$${\displaystyle d(p,\epsilon )={\dfrac {(p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u})\cdot (DH(q_{0}(-t_{0}),0)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}),0)\parallel }}.}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{s}}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}}$${\displaystyle \pi _{p},p_{\epsilon }^{s}=(q_{\epsilon }^{s},\phi _{0})}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}=(q_{\epsilon }^{u},\phi _{0}),}$${\displaystyle d(p,\epsilon )}$

${\textstyle {d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot (q_{\epsilon }^{u}-q_{\epsilon }^{s})}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.~\ ~\ {(5)}}}$

Las variedades y pueden intersecarse en más de un punto como se muestra en la Figura 5. Para que esto sea posible, después de cada intersección, por suficientemente pequeña, la trayectoria debe pasar nuevamente por ella.${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\epsilon _{0})}$

Desarrollando en series de Taylor la ecuación (5) aproximadamente nos da donde y${\displaystyle \epsilon =0,}$${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=d(t_{0},\phi _{0},0)+\epsilon {\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2}),}$${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},0)=0}$${\displaystyle {\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.}$

Entonces, cuando la función de Melnikov se define como${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=0,}$

${\displaystyle {M(t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right),~\ ~\ {(6)}}}$

ya que no es cero en , considerando finito y${\displaystyle DH(q_{0}(-t_{0}))=\left({\dfrac {\partial H}{\partial x}}(q_{0}(-t_{0})),{\dfrac {\partial H}{\partial y}}(q_{0}(-t_{0}))\right)}$${\displaystyle q_{0}(-t_{0})}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle M(t_{0},\phi _{0})=0\Rightarrow {\dfrac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0})=0.}$

Utilizando la ecuación (6) será necesario conocer la solución del problema perturbado. Para evitar esto, Melnikov definió una función de Melnikov dependiente del tiempo

${\displaystyle {M(t;t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)~\ ~\ {(7)}}}$

Donde y son las trayectorias que comienzan en y respectivamente. Tomar la derivada temporal de esta función permite algunas simplificaciones. La derivada temporal de uno de los términos en la ecuación (7) es De la ecuación de movimiento, entonces Introduciendo las ecuaciones (2) y (9) en (8) se obtiene Se puede verificar que los primeros dos términos del lado derecho se cancelan evaluando explícitamente las multiplicaciones de matrices y los productos escalares . se ha reparametrizado a .${\displaystyle q_{\epsilon }^{u}(t)}$${\displaystyle q_{\epsilon }^{s}(t)}$${\displaystyle q_{\epsilon }^{u}}$${\displaystyle q_{\epsilon }^{s}}$$${\displaystyle {{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=\left(D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}){\dot {q_{0}}}(t-t_{0}))\right)\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}.~\ ~\ {(8)}}}$$${\displaystyle {\dot {q}}_{\epsilon }^{u,s}(t)=JDH(q_{\epsilon }^{u,s}(t))+\epsilon g(q_{\epsilon }^{u,s}(t),t,\epsilon ),}$$${\displaystyle {{\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}=JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+g(q_{0}(t-t_{0}),t,0)~\ ~\ {(9)}}}$$$${\displaystyle {{\begin{aligned}{ll}{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=&D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}))JDH(q_{0}(t-t_{0})\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\phi (t),0)\end{aligned}}~\ ~\ {(10)}}}$$${\displaystyle g(q,t,\epsilon )}$${\displaystyle g(q,\phi ,\epsilon )}$

Integrando el término restante, la expresión para los términos originales no depende de la solución del problema perturbado.

${\displaystyle {{\begin{array}{lcl}DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{-\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\\DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{s}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\end{array}}~\ ~\ {(11)}}}$

Se ha elegido como límite de integración inferior el tiempo en el que , de modo que y por lo tanto los términos de contorno son cero.${\displaystyle q_{\epsilon }^{u,s}(t)=\gamma (t)}$${\displaystyle {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}=0}$

Combinando estos términos y estableciendo la forma final para la distancia de Melnikov se obtiene${\displaystyle \tau =0,}$

${\displaystyle {M(t_{0},\phi _{0})=\int _{-\infty }^{+\infty }DH(q_{0}(t))\cdot g(q_{0}(t),\omega t+\omega t_{0}+\phi _{0},0)dt.~\ ~\ {(12)}}}$

Luego, utilizando esta ecuación, se obtiene el siguiente teorema

Teorema 1 : Supóngase que existe un punto tal que${\displaystyle (t_{0},\phi _{0})=({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})}$

• i) y${\displaystyle M({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})=0}$
• ii) .${\displaystyle \left.{\frac {\partial M}{\partial t_{0}}}\right|_{({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})}\neq 0}$

Entonces, para suficientemente pequeños, y se intersecan transversalmente en Además, si para todos , entonces${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle (q_{0}(-t_{0})+{\mathcal {O}}(\epsilon ),\phi _{0}).}$${\displaystyle M(t_{0},\phi _{0})\neq 0}$${\displaystyle (t_{0},\phi _{0})\in \mathbb {R} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))\cap W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))=\emptyset .}$

Del teorema 1 , cuando hay un cero simple de la función de Melnikov, se deduce que en las intersecciones transversales de las variedades estables y inestables se forma un enredo homoclínico . Este enredo es una estructura muy complicada en la que las variedades estables e inestables se intersecan un número infinito de veces.${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$

Considérese un pequeño elemento de volumen de fase, que se aleja de la vecindad de un punto cercano a la intersección transversal, a lo largo de la variedad inestable de un punto fijo. Claramente, cuando este elemento de volumen se acerca al punto fijo hiperbólico se distorsionará considerablemente, debido a las intersecciones infinitas repetitivas y al estiramiento (y plegado) asociados con los conjuntos invariantes relevantes. Por lo tanto, es razonable esperar que el elemento de volumen experimente una secuencia infinita de transformaciones de estiramiento y plegado como la función de herradura . Entonces, esta expectativa intuitiva se confirma rigurosamente mediante un teorema enunciado de la siguiente manera

Teorema 2 : Supóngase que un difeomorfismo , donde es una variedad n-dimensional, tiene un punto fijo hiperbólico con una variedad estable e  inestable que se intersecan transversalmente en algún punto , donde Entonces, contiene un conjunto hiperbólico , invariante bajo , en el que es topológicamente conjugado a un desplazamiento en un número finito de símbolos.${\displaystyle P:M\rightarrow M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle W^{s}({\bar {x}})}$${\displaystyle W^{u}({\bar {x}})}$${\displaystyle x_{0}\neq {\bar {x}}}$${\displaystyle W^{s}({\bar {x}})\perp W^{u}({\bar {x}}),}$${\displaystyle dimW^{s}+dimW^{u}=n.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema 2 , implica que la dinámica con un punto homoclínico transversal es topológicamente similar al mapa de herradura y tiene la propiedad de sensibilidad a las condiciones iniciales y por lo tanto cuando la distancia de Melnikov (10) tiene un simple cero, implica que el sistema es caótico.