Mie dispersándose

En electromagnetismo , la solución de Mie a las ecuaciones de Maxwell (también conocida como solución de Lorenz-Mie , solución de Lorenz-Mie-Debye o dispersión de Mie ) describe la dispersión de una onda electromagnética plana por una esfera homogénea . La solución toma la forma de una serie infinita de ondas parciales multipolares esféricas . Recibe su nombre en honor al físico alemán Gustav Mie .

El término solución de Mie también se utiliza para las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para la dispersión por esferas estratificadas o por cilindros infinitos, u otras geometrías donde se pueden escribir ecuaciones separadas para la dependencia radial y angular de las soluciones. El término teoría de Mie se utiliza a veces para esta colección de soluciones y métodos; no se refiere a una teoría o ley física independiente. En términos más generales, las fórmulas de "dispersión de Mie" son más útiles en situaciones en las que el tamaño de las partículas dispersantes es comparable a la longitud de onda de la luz, en lugar de mucho más pequeñas o mucho más grandes.

La dispersión de Mie (a veces denominada dispersión no molecular o dispersión de partículas de aerosol ) tiene lugar en los 4.500 m (15.000 pies) inferiores de la atmósfera , donde pueden estar presentes muchas partículas esencialmente esféricas con diámetros aproximadamente iguales a la longitud de onda del rayo incidente . La teoría de la dispersión de Mie no tiene límite de tamaño superior y converge al límite de la óptica geométrica para partículas grandes. ^[1]

Una formulación moderna de la solución de Mie al problema de dispersión en una esfera se puede encontrar en muchos libros, por ejemplo, en la Teoría electromagnética de JA Stratton . ^[2] En esta formulación, la onda plana incidente, así como el campo de dispersión, se expanden en armónicos esféricos vectoriales radiantes . El campo interno se expande en armónicos esféricos vectoriales regulares. Al imponer la condición de contorno en la superficie esférica, se pueden calcular los coeficientes de expansión del campo disperso.

Para partículas mucho más grandes o mucho más pequeñas que la longitud de onda de la luz dispersada, existen aproximaciones simples y precisas que son suficientes para describir el comportamiento del sistema. Pero para objetos cuyo tamaño está dentro de unos pocos órdenes de magnitud de la longitud de onda, por ejemplo, gotas de agua en la atmósfera, partículas de látex en la pintura, gotas en emulsiones, incluida la leche, y células biológicas y componentes celulares, es necesario un enfoque más detallado. ^[3]

La solución de Mie ^[4] debe su nombre a su creador, el físico alemán Gustav Mie . El físico danés Ludwig Lorenz y otros desarrollaron de forma independiente la teoría de la dispersión de ondas electromagnéticas planas por una esfera dieléctrica .

El formalismo permite el cálculo de los campos eléctricos y magnéticos dentro y fuera de un objeto esférico y generalmente se utiliza para calcular cuánta luz se dispersa (la sección transversal óptica total ) o hacia dónde va (el factor de forma). Las características notables de estos resultados son las resonancias de Mie, tamaños que se dispersan particularmente fuerte o débilmente. ^[5] Esto contrasta con la dispersión de Rayleigh para partículas pequeñas y la dispersión de Rayleigh-Gans-Debye (después de Lord Rayleigh , Richard Gans y Peter Debye ) para partículas grandes. La existencia de resonancias y otras características de la dispersión de Mie lo convierte en un formalismo particularmente útil cuando se usa luz dispersa para medir el tamaño de las partículas.

La dispersión de Rayleigh describe la dispersión elástica de la luz por esferas que son mucho más pequeñas que la longitud de onda de la luz. La intensidad I de la radiación dispersada está dada por

${\displaystyle I=I_{0}({\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2R^{2}}})({\frac {2\pi }{\lambda }})^{4}({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}})^{2}({\frac {d}{2}})^{6},}$

donde I ₀ es la intensidad de la luz antes de la interacción con la partícula, R es la distancia entre la partícula y el observador, θ es el ángulo de dispersión, λ es la longitud de onda de la luz considerada, n es el índice de refracción de la partícula y d es el diámetro de la partícula.

De la ecuación anterior se desprende que la dispersión de Rayleigh depende en gran medida del tamaño de la partícula y de las longitudes de onda. La intensidad de la radiación dispersada por Rayleigh aumenta rápidamente a medida que aumenta la relación entre el tamaño de la partícula y la longitud de onda. Además, la intensidad de la radiación dispersada por Rayleigh es idéntica en las direcciones directa e inversa.

El modelo de dispersión de Rayleigh deja de funcionar cuando el tamaño de las partículas supera el 10% de la longitud de onda de la radiación incidente. En el caso de partículas con dimensiones superiores a estas, se puede utilizar el modelo de dispersión de Mie para determinar la intensidad de la radiación dispersada. La intensidad de la radiación dispersada de Mie se obtiene mediante la suma de una serie infinita de términos, en lugar de mediante una expresión matemática simple. Sin embargo, se puede demostrar que la dispersión en este rango de tamaños de partículas difiere de la dispersión de Rayleigh en varios aspectos: es aproximadamente independiente de la longitud de onda y es mayor en la dirección de avance que en la dirección de retroceso. Cuanto mayor sea el tamaño de las partículas, más luz se dispersa en la dirección de avance.

El color azul del cielo es el resultado de la dispersión de Rayleigh, ya que el tamaño de las partículas de gas en la atmósfera es mucho menor que la longitud de onda de la luz visible. La dispersión de Rayleigh es mucho mayor para la luz azul que para otros colores debido a su longitud de onda más corta. Cuando la luz solar pasa a través de la atmósfera, su componente azul es dispersado por Rayleigh fuertemente por los gases atmosféricos, pero los componentes de longitud de onda más larga (por ejemplo, rojo/amarillo) no lo son. Por lo tanto, la luz solar que llega directamente del Sol parece ligeramente amarilla, mientras que la luz dispersada por el resto del cielo parece azul. Durante los amaneceres y atardeceres, el efecto de la dispersión de Rayleigh en el espectro de la luz transmitida es mucho mayor debido a la mayor distancia que los rayos de luz tienen que viajar a través del aire de alta densidad cerca de la superficie de la Tierra.

En cambio, las gotas de agua que forman las nubes tienen un tamaño comparable a las longitudes de onda de la luz visible, y la dispersión se describe mediante el modelo de Mie, en lugar del de Rayleigh. En este caso, todas las longitudes de onda de la luz visible se dispersan de forma aproximadamente idéntica, por lo que las nubes parecen blancas o grises.

La aproximación de Rayleigh–Gans es una solución aproximada a la dispersión de la luz cuando el índice de refracción relativo de la partícula es cercano al del entorno y su tamaño es mucho menor en comparación con la longitud de onda de la luz dividida por | n  − 1 |, donde n es el índice de refracción : ^[3]

${\displaystyle {\begin{alineado}|n-1|&\ll 1\\kd|n-1|&\ll 1\end{alineado}}}$

donde es el vector de onda de la luz ( ), y se refiere a la dimensión lineal de la partícula. La primera condición se suele denominar ópticamente suave y la aproximación es válida para partículas de forma arbitraria. ^[3]${\textstyle k}$${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\estilo de visualización d}$

La aproximación de difracción anómala es válida para esferas grandes (en comparación con la longitud de onda) y ópticamente blandas; blandas en el contexto de la óptica implica que el índice de refracción de la partícula (m) difiere solo ligeramente del índice de refracción del entorno, y la partícula somete la onda a solo un pequeño cambio de fase. La eficiencia de extinción en esta aproximación está dada por

${\displaystyle Q=2-{\frac {4}{p}}\sin p+{\frac {4}{p^{2}}}(1-\cos p),}$

donde Q es el factor de eficiencia de dispersión, que se define como la relación entre la sección transversal de dispersión y la sección transversal geométrica π a ² .

El término p = 4πa( n − 1)/λ tiene como significado físico el retardo de fase de la onda que pasa por el centro de la esfera, donde a es el radio de la esfera, n es la relación de los índices de refracción dentro y fuera de la esfera, y λ la longitud de onda de la luz.

Este conjunto de ecuaciones fue descrito por primera vez por van de Hulst en (1957). ^[5]

La dispersión por una nanopartícula esférica se resuelve exactamente independientemente del tamaño de la partícula. Consideramos la dispersión por una onda plana que se propaga a lo largo del eje z polarizada a lo largo del eje x . Las permeabilidades dieléctrica y magnética de una partícula son y , y y para el medio ambiente.${\displaystyle \varepsilon _{1}}$$estilo de visualización {\mu _{1}}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\estilo de visualización \mu}$

Para resolver el problema de dispersión, ^[3] escribimos primero las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas, ya que los campos dentro y fuera de las partículas deben satisfacerla. Ecuación de Helmholtz:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2 }\mathbf {H} =0.}$

Además de la ecuación de Helmholtz, los campos deben satisfacer las condiciones y , . Los armónicos esféricos vectoriales poseen todas las propiedades necesarias, que se presentan de la siguiente manera:${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right) }$ — armónicos magnéticos (TE),

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k} }}$ — armónicos eléctricos (TM),

dónde

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}}$

y  — Polinomios de Legendre asociados , y  — cualquiera de las funciones esféricas de Bessel .${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

A continuación, expandimos la onda plana incidente en armónicos esféricos vectoriales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\text{inc}}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0 }\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{ (1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _ {e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\\\mathbf {H} _{\text{inc}}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{ o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}}$

Aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones hay funciones esféricas de Bessel de primera especie. Los coeficientes de desarrollo se obtienen tomando integrales de la forma${\estilo de visualización (1)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{\text{inc}}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}.}$

En este caso, todos los coeficientes en son cero, ya que la integral sobre el ángulo en el numerador es cero.${\displaystyle m\neq 1}$${\displaystyle \varphi }$

Luego se imponen las siguientes condiciones:

1. Condiciones de interfaz en el límite entre la esfera y el entorno (que permiten relacionar los coeficientes de expansión de los campos incidente, interno y disperso)
2. La condición de que la solución esté acotada en el origen (por lo tanto, en la parte radial de las funciones generadoras se seleccionan funciones de Bessel esféricas de primer tipo para el campo interno),${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$
3. Para un campo disperso, la asintótica en el infinito corresponde a una onda esférica divergente (en relación con esto, para el campo disperso en la parte radial de las funciones generadoras se eligen funciones de Hankel esféricas del primer tipo).${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

Los campos dispersos se escriben en términos de una expansión armónica vectorial como

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).}$

Aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones  están las funciones de Hankel esféricas del primer tipo (las del segundo tipo tendrían ), y ,${\displaystyle (3)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$${\displaystyle (4)}$${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$

Campos internos:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).}$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$es el vector de onda fuera de la partícula,  es el vector de onda en el medio proveniente del material de la partícula, y son los índices de refracción del medio y de la partícula.${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1}}$

Después de aplicar las condiciones de interfaz, obtenemos expresiones para los coeficientes:

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

dónde

${\displaystyle \rho =ka,}$

${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$siendo el radio de la esfera.${\displaystyle a}$

${\displaystyle j_{n}}$y  representan las funciones esféricas de Bessel y Hankel del primer tipo, respectivamente.${\displaystyle h_{n}}$

Los valores que se calculan comúnmente utilizando la teoría de Mie incluyen coeficientes de eficiencia para la extinción , la dispersión y la absorción . ^{[6] [7]} Estos coeficientes de eficiencia son relaciones entre la sección transversal del proceso respectivo, , y el área protegida de la partícula, , donde a es el radio de la partícula. Según la definición de extinción,${\displaystyle Q_{e}}$ ${\displaystyle Q_{s}}$ ${\displaystyle Q_{a}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}}$y .${\displaystyle Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}}$

Los coeficientes de dispersión y extinción se pueden representar como la serie infinita:

${\displaystyle Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

Las contribuciones en estas sumas, indexadas por n , corresponden a los órdenes de una expansión multipolar donde n = 1 es el término dipolar, n = 2 es el término cuadripolar, y así sucesivamente.

Si el tamaño de la partícula es igual a varias longitudes de onda del material, entonces los campos dispersos tienen algunas características. Además, la forma del campo eléctrico es clave, ya que el campo magnético se obtiene a partir de él tomando el rotacional .

Todos los coeficientes de Mie dependen de la frecuencia y tienen máximos cuando el denominador está cerca de cero (se logra una igualdad exacta a cero para frecuencias complejas). En este caso, es posible que la contribución de un armónico específico domine en la dispersión. Entonces, a grandes distancias de la partícula, el patrón de radiación del campo disperso será similar al patrón de radiación correspondiente de la parte angular de los armónicos esféricos vectoriales. Los armónicos corresponden a dipolos eléctricos (si la contribución de este armónico domina en la expansión del campo eléctrico, entonces el campo es similar al campo del dipolo eléctrico), corresponden al campo eléctrico del dipolo magnético, y - cuadrupolos eléctricos y magnéticos, y - octupolos, y así sucesivamente. Los máximos de los coeficientes de dispersión (así como el cambio de su fase a ) se denominan resonancias multipolares, y los ceros pueden denominarse anapolos .${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}$${\displaystyle \pi }$

La dependencia de la sección transversal de dispersión con respecto a la longitud de onda y la contribución de resonancias específicas dependen en gran medida del material de la partícula. Por ejemplo, para una partícula de oro con un radio de 100 nm, la contribución del dipolo eléctrico a la dispersión predomina en el rango óptico, mientras que para una partícula de silicio hay resonancias de dipolo magnético y cuadrupolo pronunciadas. Para partículas metálicas, el pico visible en la sección transversal de dispersión también se denomina resonancia plasmónica localizada .

En el límite de partículas pequeñas o longitudes de onda largas , la contribución del dipolo eléctrico domina en la sección transversal de dispersión.

En el caso de una onda plana polarizada en x , incidente a lo largo del eje z , las descomposiciones de todos los campos contenían solo armónicos con m = 1, pero para una onda incidente arbitraria este no es el caso. ^[8] Para una onda plana rotada, los coeficientes de expansión se pueden obtener, por ejemplo, utilizando el hecho de que durante la rotación, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí mediante matrices D de Wigner .

En este caso, el campo disperso se descompondrá por todos los armónicos posibles:

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))}$

Entonces la sección eficaz de dispersión se expresará en términos de los coeficientes de la siguiente manera: ^[9]

${\displaystyle C_{\text{sca}}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times \left[\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}\left(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2}\right)+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}\right].}$

El efecto Kerker es un fenómeno de direccionalidad de dispersión, que se produce cuando se presentan respuestas multipolares diferentes y no despreciables.

En 1983, en el trabajo de Kerker , Wang y Giles , ^[10] se investigó la dirección de dispersión de partículas con . En particular, se demostró que para partículas hipotéticas con dispersión hacia atrás se suprime completamente. Esto puede verse como una extensión a una superficie esférica de los resultados de Giles y Wild para la reflexión en una superficie plana con índices de refracción iguales donde la reflexión y la transmisión son constantes e independientes del ángulo de incidencia. ^[11]${\displaystyle \mu \neq 1}$${\displaystyle \mu =\varepsilon }$

Además, las secciones transversales de dispersión en las direcciones hacia adelante y hacia atrás se expresan simplemente en términos de coeficientes de Mie: ^{[12] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{sca}}^{\text{backward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{\text{sca}}^{\text{forward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}}$

Para ciertas combinaciones de coeficientes, las expresiones anteriores se pueden minimizar.

Así, por ejemplo, cuando los términos con pueden despreciarse ( aproximación dipolar ), , corresponde al mínimo en retrodispersión (los dipolos magnéticos y eléctricos son iguales en magnitud y están en fase, esto también se llama primera condición de Kerker o condición de intensidad hacia atrás cero ^[14] ). Y  corresponde al mínimo en dispersión hacia adelante, esto también se llama segunda condición de Kerker (o condición de intensidad hacia adelante cercana a cero ). A partir del teorema óptico, se muestra que para una partícula pasiva no es posible. ^[15] Para la solución exacta del problema, es necesario tener en cuenta las contribuciones de todos los multipolos. La suma de los dipolos eléctricos y magnéticos forma la fuente de Huygens ^[16]${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$${\displaystyle (a_{1}=-b_{1})}$

En el caso de las partículas dieléctricas, la máxima dispersión hacia adelante se observa en longitudes de onda más largas que la longitud de onda de la resonancia dipolar magnética, y la máxima dispersión hacia atrás en longitudes de onda más cortas. ^[17]

Más tarde se encontraron otras variedades del efecto, como el efecto Kerker transversal, con supresión casi completa y simultánea de los campos dispersos hacia delante y hacia atrás (patrones de dispersión lateral), ^[18] el efecto Kerker optomecánico ^[19] en la dispersión acústica ^[20] y también en plantas ^{[21] .}

También hay un vídeo corto en YouTube con una explicación del efecto.

La función de Green es una solución de la siguiente ecuación:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

donde  — matriz identidad para , y para . Como todos los campos son vectoriales, la función de Green es una matriz de 3 por 3 y se denomina diádica. Si se induce polarización en el sistema, cuando los campos se escriben como ${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$${\displaystyle r<a}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$${\displaystyle r>a}$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

De la misma manera que los campos, la función de Green se puede descomponer en armónicos esféricos vectoriales. ^[22] Función de Green diádica de un espacio libre a: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})\\{}={}&{\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad {\begin{cases}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r<r'\\\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r>r'\end{cases}}\end{aligned}}}$

En presencia de una esfera, la función de Green también se descompone en armónicos esféricos vectoriales. Su aparición depende del entorno en el que se encuentran los puntos y ^{[24] .}${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$

Cuando ambos puntos están fuera de la esfera ( ):${\displaystyle r>a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(0)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+b_{n}^{(0)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

donde los coeficientes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\b_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Cuando ambos puntos están dentro de la esfera ( ):${\displaystyle r<a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)+d_{n}^{(1)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right),\end{aligned}}}$

Coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\d_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

La fuente está dentro de la esfera y el punto de observación está fuera ( ):${\displaystyle r>a,r'<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}}$

coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\b_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}}$

La fuente está fuera de la esfera y el punto de observación está dentro ( ):${\displaystyle r<a,r'>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])\right)\end{aligned}}}$

coeficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\d_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}}$

Las soluciones de Mie se implementan en varios programas escritos en diferentes lenguajes de programación, como Fortran , MATLAB y Mathematica . Estas soluciones aproximan una serie infinita y proporcionan como salida el cálculo de la función de fase de dispersión, las eficiencias de extinción, dispersión y absorción, y otros parámetros como los parámetros de asimetría o el par de radiación. El uso actual del término "solución de Mie" indica una aproximación en serie a una solución de las ecuaciones de Maxwell. Hay varios objetos conocidos que permiten tal solución: esferas, esferas concéntricas, cilindros infinitos, grupos de esferas y grupos de cilindros. También existen soluciones en serie conocidas para la dispersión por partículas elipsoidales. A continuación se proporciona una lista de códigos que implementan estas soluciones especializadas:

• Códigos para dispersión electromagnética por esferas : soluciones para una sola esfera, esferas recubiertas, esferas multicapa y grupos de esferas;
• Códigos para dispersión electromagnética por cilindros : soluciones para un solo cilindro, cilindros multicapa y grupos de cilindros.

Una generalización que permite un tratamiento de partículas con formas más generales es el método de la matriz T , que también se basa en una aproximación en serie a las soluciones de las ecuaciones de Maxwell.

Consulte también los enlaces externos para otros códigos y calculadoras.

La teoría de Mie es muy importante en óptica meteorológica , donde las relaciones diámetro-longitud de onda del orden de la unidad y mayores son características para muchos problemas relacionados con la dispersión de la neblina y las nubes . Otra aplicación es la caracterización de partículas mediante mediciones de dispersión óptica. La solución de Mie también es importante para comprender la apariencia de materiales comunes como la leche , el tejido biológico y la pintura de látex .

La dispersión de Mie se produce cuando los diámetros de las partículas atmosféricas son similares o mayores que las longitudes de onda de la luz. El polvo , el polen , el humo y las gotitas de agua microscópicas que forman las nubes son causas comunes de la dispersión de Mie. La dispersión de Mie se produce principalmente en las partes bajas de la atmósfera, donde las partículas más grandes son más abundantes, y predomina en condiciones nubladas.

La teoría de Mie se ha utilizado para determinar si la luz dispersada por el tejido corresponde a núcleos de células sanas o cancerosas utilizando interferometría de baja coherencia con resolución angular .

La teoría de Mie es un principio central en la aplicación de ensayos basados ​​en nefelometría , ampliamente utilizados en medicina para medir diversas proteínas plasmáticas . Se puede detectar y cuantificar una amplia variedad de proteínas plasmáticas mediante nefelometría.

En las esferas magnéticas se producen varios efectos de dispersión electromagnética inusuales. Cuando la permitividad relativa es igual a la permeabilidad , la ganancia de retrodispersión es cero. Además, la radiación dispersa está polarizada en el mismo sentido que la radiación incidente. En el límite de partículas pequeñas (o de longitud de onda larga), pueden darse condiciones para una dispersión frontal cero, para una polarización completa de la radiación dispersa en otras direcciones y para una asimetría de la dispersión frontal con respecto a la retrodispersión. El caso especial del límite de partículas pequeñas proporciona casos especiales interesantes de polarización completa y asimetría de dispersión frontal con respecto a la retrodispersión. ^[10]

La teoría de Mie se ha utilizado para diseñar metamateriales . Por lo general, consisten en compuestos tridimensionales de inclusiones metálicas o no metálicas incrustadas de forma periódica o aleatoria en una matriz de baja permitividad. En un esquema de este tipo, los parámetros constitutivos negativos están diseñados para aparecer alrededor de las resonancias de Mie de las inclusiones: la permitividad efectiva negativa está diseñada alrededor de la resonancia del coeficiente de dispersión dipolar eléctrico de Mie, mientras que la permeabilidad efectiva negativa está diseñada alrededor de la resonancia del coeficiente de dispersión dipolar magnético de Mie, y el material doblemente negativo (DNG) está diseñado alrededor de la superposición de resonancias de los coeficientes de dispersión dipolar eléctrico y magnético de Mie. La partícula suele tener las siguientes combinaciones:

1. un conjunto de partículas magnetodieléctricas con valores de permitividad relativa y permeabilidad mucho mayores que uno y próximos entre sí;
2. dos partículas dieléctricas diferentes con igual permitividad pero diferente tamaño;
3. Dos partículas dieléctricas diferentes con igual tamaño pero diferente permitividad.

En teoría, las partículas analizadas por la teoría de Mie son comúnmente esféricas pero, en la práctica, las partículas suelen fabricarse como cubos o cilindros para facilitar su fabricación. Para cumplir con los criterios de homogeneización, que pueden enunciarse en la forma de que la constante de red es mucho menor que la longitud de onda de operación, la permitividad relativa de las partículas dieléctricas debe ser mucho mayor que 1, por ejemplo para lograr una permitividad efectiva negativa (permeabilidad). ^{[25] [26] [27]}${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}>78(38)}$

La teoría de Mie se aplica a menudo en el análisis de difracción láser para inspeccionar el efecto del tamaño de las partículas. ^[28] Si bien las primeras computadoras de la década de 1970 solo podían calcular datos de difracción con la aproximación más simple de Fraunhofer, Mie se usa ampliamente desde la década de 1990 y se recomienda oficialmente para partículas por debajo de los 50 micrómetros en la directriz ISO 13320:2009. ^[29]

La teoría de Mie se ha utilizado en la detección de la concentración de petróleo en agua contaminada. ^{[30] [31]}

La dispersión de Mie es el método principal para dimensionar burbujas individuales de aire sonoluminiscente en agua ^{[32] [33] [34]} y es válida para cavidades en materiales, así como para partículas en materiales, siempre que el material circundante sea esencialmente no absorbente.

También se ha utilizado para estudiar la estructura del Plasmodium falciparum , una forma particularmente patógena de malaria . ^[35]

En 1986, PA Bobbert y J. Vlieger extendieron el modelo de Mie para calcular la dispersión por una esfera en un medio homogéneo colocada sobre una superficie plana: el modelo Bobbert–Vlieger (BV). Al igual que el modelo de Mie, el modelo extendido se puede aplicar a esferas con un radio cercano a la longitud de onda de la luz incidente. ^[36] El modelo se ha implementado en código fuente C++ . ^[37] Los desarrollos recientes están relacionados con la dispersión por elipsoide. ^{[38] [39] [40]} Los estudios contemporáneos se basan en la conocida investigación de Rayleigh. ^[41]

• Códigos de dispersión electromagnética por esferas
• Electromagnetismo computacional
• Dispersión de luz por partículas
• Lista de códigos de transferencia radiativa atmosférica
• Propiedades ópticas del agua y el hielo.

• Kerker, M. (1969). La dispersión de la luz y otras radiaciones electromagnéticas . Nueva York: Academic.
• Barber, PW; Hill, SS (1990). Dispersión de luz por partículas: métodos computacionales . Singapur: World Scientific. ISBN 978-9971-5-0813-5.
• Mishchenko, M.; Travis, L.; Lacis, A. (2002). Dispersión, absorción y emisión de luz por partículas pequeñas . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78252-4.
• Frisvad, J.; Christensen, N.; Jensen, H. (2007). "Cálculo de las propiedades de dispersión de los medios participantes utilizando la teoría de Lorenz-Mie" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 26 (3): 60. doi :10.1145/1276377.1276452.
• Wriedt, Thomas (2008). "Teoría de Mie 1908, en el teléfono móvil 2008". Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer . 109 (8): 1543–1548. Código Bibliográfico :2008JQSRT.109.1543W. doi :10.1016/j.jqsrt.2008.01.009.
• Lorenz, Ludwig (1890). "Lysbevægelsen i og uden para un avión Lysbølger belyst Kugle". Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter . 6 (6): 1–62.

• SCATTERLIB y scattport.org son colecciones de códigos de dispersión de luz con implementaciones de soluciones Mie en Fortran , C++ , IDL , Pascal , Mathematica y Mathcad.
• JMIE ( código C++ 2D para calcular los campos analíticos alrededor de un cilindro infinito, desarrollado por Jeffrey M. McMahon)
• ScatLab. Software de dispersión Mie para Windows.
• Código MATLAB de STRATIFY para la dispersión de esferas multicapa en casos en los que la fuente es un dipolo puntual y una onda plana. Descripción en arXiv:2006.06512
• Scattnlay, un paquete de soluciones Mie de código abierto en C++ con envoltorios de Python y JavaScript . Proporciona resultados de simulación de campo cercano y lejano para esferas multicapa.
• La calculadora de dispersión de Mie en línea proporciona una simulación de las propiedades de dispersión (incluida la descomposición multipolar) y mapas de campo cercano para esferas de núcleo-capa, de volumen y multicapa. Los parámetros de material incluyen todos los archivos de datos nk del sitio web refractiveindex.info. El código fuente es parte del proyecto Scattnlay.
• Está disponible una calculadora de soluciones Mie en línea, con documentación en alemán e inglés.
• La calculadora de dispersión de Mie en línea produce hermosos gráficos sobre un rango de parámetros.
• Calculadora de dispersión Mie en línea escrita en PHP .
• Difusión de luz mediada por resonancia de Mie y láser aleatorio.
• Solución de Mie para partículas esféricas.
• PyMieScatt, un paquete de soluciones Mie escrito en Python .
• pyMieForAll, un paquete de solución Mie C++ de código abierto con contenedor Python .