Difusión reversible

En matemáticas , una difusión reversible es un ejemplo específico de un proceso estocástico reversible . Las difusiones reversibles tienen una caracterización elegante gracias al matemático ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov .

Sea B un movimiento browniano estándar de dimensión d ; sea b  :  R ^d  →  R ^d un campo vectorial continuo de Lipschitz . Sea X  : [0, +∞) × Ω →  R ^d una difusión de Itō definida en un espacio de probabilidad (Ω, Σ,  P ) y que resuelve la ecuación diferencial estocástica de Itō con condición inicial integrable al cuadrado, es decir, X ₀  ∈  L ² (Ω, Σ,  P ;  R ^d ). Entonces, los siguientes son equivalentes: $${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} B_{t}}$$

• El proceso X es reversible con distribución estacionaria μ en R ^d .
• Existe un potencial escalar Φ :  R ^d  →  R tal que b  = −∇Φ, μ tiene derivada de Radon–Nikodym y$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}=\exp \left(-2\Phi (x)\right)}$$$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\exp \left(-2\Phi (x)\right)\,\mathrm {d} x=1.}$$

(Por supuesto, la condición de que b sea el negativo del gradiente de Φ sólo determina Φ hasta una constante aditiva; esta constante puede elegirse de modo que exp(−2Φ(·)) sea una función de densidad de probabilidad con integral 1.)

• Voß, Jochen (2004). Se producen algunas desviaciones grandes para los procesos de difusión (Tesis). Universität Kaiserslautern: tesis doctoral.(Véase el teorema 1.4)