Lista de desigualdades triangulares

En geometría , las desigualdades de triángulos son desigualdades que involucran los parámetros de los triángulos y que se cumplen para cada triángulo o para cada triángulo que cumple ciertas condiciones. Las desigualdades dan un orden de dos valores diferentes: son de la forma "menor que", "menor o igual que", "mayor que" o "mayor o igual que". Los parámetros en una desigualdad de triángulo pueden ser las longitudes de los lados, el semiperímetro , las medidas de los ángulos , los valores de las funciones trigonométricas de esos ángulos, el área del triángulo, las medianas de los lados, las alturas , las longitudes de las bisectrices de los ángulos internos desde cada ángulo hasta el lado opuesto, las bisectrices perpendiculares de los lados, la distancia desde un punto arbitrario a otro punto, el inradio , los exradios , el circunradio y/u otras cantidades.

A menos que se especifique lo contrario, este artículo trata de triángulos en el plano euclidiano .

Los parámetros que aparecen más comúnmente en las desigualdades triangulares son:

• las longitudes de los lados a , b y c ;
• el semiperímetro s = ( a  +  b  +  c ) / 2 (la mitad del perímetro p );
• las medidas de los ángulos A , B y C de los ángulos de los vértices opuestos a los lados respectivos a , b y c (con los vértices denotados con los mismos símbolos que las medidas de sus ángulos);
• los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos;
• el área T del triángulo;
• las medianas m _a , m _b y m _c de los lados (cada una de ellas es la longitud del segmento de línea desde el punto medio del lado hasta el vértice opuesto);
• las alturas h _a , h _b y h _c (cada una de ellas es la longitud de un segmento perpendicular a un lado y que se extiende desde ese lado (o posiblemente la extensión de ese lado) hasta el vértice opuesto);
• las longitudes de las bisectrices de los ángulos internos t _a , t _b y t _c (cada una de ellas un segmento desde un vértice hasta el lado opuesto y que biseca el ángulo del vértice);
• las bisectrices perpendiculares p _a , p _b y p _c de los lados (cada una de ellas es la longitud de un segmento perpendicular a un lado en su punto medio y que llega a uno de los otros lados);
• las longitudes de segmentos de línea con un punto final en un punto arbitrario P en el plano (por ejemplo, la longitud del segmento desde P hasta el vértice A se denota PA o AP );
• el radio interno r (radio del círculo inscrito en el triángulo, tangente a los tres lados), los radios externos r _a , r _b y r _c (cada uno de ellos siendo el radio de un círculo externo tangente al lado a , b o c respectivamente y tangente a las extensiones de los otros dos lados), y el radio circunscrito R (radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo y que pasa por los tres vértices).

La desigualdad básica del triángulo es o equivalentemente$${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b}$$$${\displaystyle \max(a,b,c)\leq s.}$$

Además, cuando el valor del lado derecho es el límite más bajo posible, ^{[1] : p. 259} se aproxima asintóticamente a medida que ciertas clases de triángulos se aproximan al caso degenerado de área cero. La desigualdad de la izquierda, que se cumple para todos los a, b, c positivos , es la desigualdad de Nesbitt .$${\displaystyle {\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}<2,}$$

Tenemos

${\displaystyle 3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.}$^{[2] : pág. 250, n.° 82}

${\displaystyle abc\geq (a+bc)(a-b+c)(-a+b+c).\quad }$^{[1] : pág. 260}

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}}<{\frac {1}{2}}.\quad }$^{[1] : pág. 261}

${\displaystyle {a+bc}}+{a-b+c}}+{-a+b+c}}\leq {a}}+{b}}+{c}}.}$^{[1] : pág. 261}

${\displaystyle a^{2}b(ab)+b^{2}c(bc)+c^{2}a(ca)\geq 0.}$^{[1] : pág. 261}

Si el ángulo C es obtuso (mayor que 90°) entonces

${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2};}$

Si C es aguda (menor de 90°) entonces

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}.}$

El caso intermedio de igualdad cuando C es un ángulo recto es el teorema de Pitágoras .

En general, ^{[2] : p.1, #74}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},}$

con igualdad aproximarse al límite sólo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se acerca a 180°.

Si el centroide del triángulo está dentro del círculo inscrito del triángulo , entonces ^{[3] : p. 153}

${\displaystyle a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.}$

Si bien todas las desigualdades anteriores son verdaderas porque a , b y c deben seguir la desigualdad triangular básica de que el lado más largo es menor que la mitad del perímetro, las siguientes relaciones se cumplen para todos los a , b y c positivos : ^{[1] : p.267}

${\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}}\leq {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}},}$

cada uno manteniéndose igual solo cuando a = b = c . Esto dice que en el caso no equilátero la media armónica de los lados es menor que su media geométrica , que a su vez es menor que su media aritmética , y que a su vez es menor que su media cuadrática .

${\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.}$ ^{[1] : pág. 286}

${\displaystyle (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.}$^{[2] : pág. 21, #836}

${\displaystyle \cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}$

para el semiperímetro s , con igualdad sólo en el caso equilátero. ^{[2] : p.13, #608}

${\displaystyle a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.}$ ^{[4] : Teoría 1}

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}$ ^{[1] : pág. 286}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.}$ ^{[1] : pág. 286}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq \left({\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{3}}\right)^{3}\leq \left(\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}$ ^{[5] : pág. 203}

${\displaystyle \sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi }$^{[2] : pág. 149, #3297}

donde la proporción áurea .${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1}{8}}.}$ ^{[1] : pág. 286}

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{2}}\geq 1.}$ ^{[1] : pág. 286}

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.}$ ^[6]

${\displaystyle \sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.}$^{[2] : pág. 187, #309.2}

Para el circunradio R y el inradio r tenemos

${\displaystyle \max \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

con igualdad si y sólo si el triángulo es isósceles con ángulo de vértice mayor o igual a 60°; ^{[7] : Cor. 3} y

${\displaystyle \min \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

con igualdad si y sólo si el triángulo es isósceles con ángulo de vértice menor o igual a 60°. ^{[7] : Cor. 3}

También tenemos

${\displaystyle {\frac {r}{R}}-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\leq \cos A\leq {\frac {r}{R}}+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}}$

y lo mismo para los ángulos B, C , con igualdad en la primera parte si el triángulo es isósceles y el ángulo del vértice es al menos 60° e igualdad en la segunda parte si y sólo si el triángulo es isósceles con un ángulo del vértice no mayor de 60°. ^{[7] : Prop. 5}

Además, dos ángulos cualesquiera de las medidas A y B de los lados opuestos a y b respectivamente están relacionados de acuerdo con ^{[1] : p. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b,}$

que está relacionado con el teorema del triángulo isósceles y su inverso, que establecen que A = B si y sólo si a = b .

Según el teorema del ángulo exterior de Euclides , cualquier ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores en los vértices opuestos: ^{[1] : p. 261}

${\displaystyle 180^{\circ }-A>\max(B,C).}$

Si un punto D está en el interior del triángulo ABC , entonces

${\displaystyle \angle BDC>\angle A.}$^{[1] : pág. 263}

Para un triángulo agudo tenemos ^{[2] : p.26, #954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

con la desigualdad inversa manteniéndose para un triángulo obtuso.

Además, para triángulos no obtusos tenemos ^{[8] : Corolario 3}

${\displaystyle {\frac {2R+r}{R}}\leq {\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {A-C}{2}}\right)+\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\right)}$

con igualdad si y solo si es un triángulo rectángulo con hipotenusa AC.

La desigualdad de Weitzenböck es, en términos del área T , ^{[1] : p. 290}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,}$

con igualdad solo en el caso equilátero. Este es un corolario de la desigualdad de Hadwiger-Finsler , que es

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.}$

También,

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$^{[9] : pág. 138}

y ^{[2] : p.192, #340.3  [5] : p. 204}

${\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

A partir del límite superior más a la derecha de T , utilizando la desigualdad de media aritmético-geométrica , se obtiene la desigualdad isoperimétrica para triángulos :

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2}}$ ^{[5] : pág. 203}

para el semiperímetro s . Esto a veces se expresa en términos del perímetro p como

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

con igualdad para el triángulo equilátero . ^[10] Esto se ve reforzado por

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

La desigualdad de Bonnesen también refuerza la desigualdad isoperimétrica:

${\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq (a+b+c)^{2}-4\pi T.}$

También tenemos

${\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$ ^{[1] : pág. 290  [9] : pág. 138}

con igualdad sólo en el caso equilátero;

${\displaystyle 38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}$^{[2] : pág. 111, #2807}

para semiperímetros s ; y

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.}$^{[2] : pág. 88, #2188}

La desigualdad de Ono para triángulos agudos (aquellos con todos los ángulos menores a 90°) es

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}$

El área del triángulo se puede comparar con el área del círculo inscrito :

${\displaystyle {\frac {\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

con igualdad sólo para el triángulo equilátero. ^[11]

Si un triángulo interior está inscrito en un triángulo de referencia de modo que los vértices del triángulo interior dividen el perímetro del triángulo de referencia en segmentos de igual longitud, la relación de sus áreas está limitada por ^{[9] : p. 138}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Sea que las bisectrices de los ángulos interiores de A , B y C se encuentren con los lados opuestos en D , E y F. Entonces ^{[2] : p.18, #762}

${\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Area of triangle}}\,DEF}{{\text{Area of triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Una línea que pasa por la mediana de un triángulo divide el área de manera tal que la relación entre el área parcial más pequeña y el área del triángulo original es al menos 4/9. ^[12]

Las tres medianas de un triángulo conectan cada una un vértice con el punto medio del lado opuesto, y la suma de sus longitudes satisface ^{[1] : p. 271}${\displaystyle m_{a},\,m_{b},\,m_{c}}$

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}$

Además, ^{[2] : p.12, #589}

${\displaystyle \left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}$

con igualdad sólo en el caso equilátero, y para radio r , ^{[2] : p.22, #846}

${\displaystyle {\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\geq r.}$

Si denotamos además las longitudes de las medianas extendidas hasta sus intersecciones con el círculo circunscrito como M _a , M _b y M _c , entonces ^{[2] : p.16, #689}

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c}}}\geq 4.}$

El centroide G es la intersección de las medianas. Supongamos que AG , BG y CG se encuentran con el círculo circunscrito en U , V y W respectivamente. Entonces, ambos ^{[2] : p.17#723}

${\displaystyle GU+GV+GW\geq AG+BG+CG}$

y

${\displaystyle GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;}$

Además, ^{[2] : p.156, #S56}

${\displaystyle \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.}$

Para un triángulo agudo tenemos ^{[2] : p.26, #954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

en términos del radio circunscrito R , mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.

Denotando como IA, IB, IC las distancias del incentro a los vértices, se cumple lo siguiente: ^{[2] : p.192, #339.3}

${\displaystyle {\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {4}{3}}.}$

Las tres medianas de cualquier triángulo pueden formar los lados de otro triángulo: ^{[13] : p. 592}

${\displaystyle m_{a}<m_{b}+m_{c},\quad m_{b}<m_{c}+m_{a},\quad m_{c}<m_{a}+m_{b}.}$

Además, ^{[14] : Coro. 6}

${\displaystyle \max\{bm_{c}+cm_{b},\quad cm_{a}+am_{c},\quad am_{b}+bm_{a}\}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.}$

Las alturas h _a , etc. conectan cada una un vértice con el lado opuesto y son perpendiculares a ese lado. Satisfacen ambos ^{[1] : p. 274}

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

y

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Además, si entonces ^{[2] : 222, #67}${\displaystyle a\geq b\geq c,}$

${\displaystyle a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.}$

También tenemos ^{[2] : p.140, #3150}

${\displaystyle {\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({\frac {3}{8}}\right)^{3}.}$

Para las bisectrices de los ángulos internos t _a , t _b , t _c de los vértices A, B, C y circuncentro R e incentro r , tenemos ^{[2] : p.125, #3005}

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}$

Los recíprocos de las alturas de cualquier triángulo pueden formar un triángulo: ^[15]

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}},\quad {\frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.}$

Las bisectrices de los ángulos internos son segmentos en el interior del triángulo que van desde un vértice hasta el lado opuesto y dividen el ángulo del vértice en dos ángulos iguales. Las bisectrices de los ángulos t _a etc. satisfacen

${\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

en cuanto a los lados, y

${\displaystyle h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}}$

en términos de las altitudes y medianas, y lo mismo para t _b y t _c . ^{[1] : pp. 271–3} Además, ^{[2] : p.224, #132}

${\displaystyle {\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}$

en términos de las medianas, y ^{[2] : p.125, #3005}

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}}$

en términos de las altitudes, radio interno r y radio circunscrito R .

Sean T _a , T _b y T _c las longitudes de las bisectrices de los ángulos que se extienden hasta la circunferencia circunscrita. Entonces ^{[2] : p.11, #535}

${\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,}$

con igualdad sólo en el caso equilátero, y ^{[2] : p.14, #628}

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r}$

para el radio circunscrito R y el radio interno r , nuevamente con igualdad solo en el caso equilátero. Además,. ^{[2] : p.20, #795}

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).}$

Para el incentro I (la intersección de las bisectrices de los ángulos internos), ^{[2] : p.127, #3033}

${\displaystyle 6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.}$

Para los puntos medios L, M, N de los lados, ^{[2] : p.152, #J53}

${\displaystyle IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).}$

Para el incentro I , baricentro G , circuncentro O , centro de nueve puntos N y ortocentro H , tenemos para triángulos no equiláteros las desigualdades de distancia ^{[16] : p.232}

${\displaystyle IG<HG,}$

${\displaystyle IH<HG,}$

${\displaystyle IG<IO,}$

y

${\displaystyle IN<{\frac {1}{2}}IO;}$

y tenemos la desigualdad angular ^{[16] : p.233}

${\displaystyle \angle IOH<{\frac {\pi }{6}}.}$

Además, ^{[16] : p.233, Lema 3}

${\displaystyle IG<{\frac {1}{3}}v,}$

donde v es la mediana más larga.

Tres triángulos con vértice en el incentro, OIH , GIH y OGI , son obtusos: ^{[16] : p.232}

${\displaystyle \angle OIH}$>> 90°, >> 90°.${\displaystyle \angle GIH}$${\displaystyle \angle OGI}$

Como estos triángulos tienen los ángulos obtusos indicados, tenemos

${\displaystyle OI^{2}+IH^{2}<OH^{2},\quad GI^{2}+IH^{2}<GH^{2},\quad OG^{2}+GI^{2}<OI^{2},}$

y de hecho el segundo de éstos es equivalente a un resultado más fuerte que el primero, demostrado por Euler : ^{[17] [18]}

${\displaystyle OI^{2}<OH^{2}-2\cdot IH^{2}<2\cdot OI^{2}.}$

El mayor de los dos ángulos de un triángulo tiene la bisectriz interna más corta: ^{[19] : p.72, #114}

${\displaystyle {\text{If}}\quad A>B\quad {\text{then}}\quad t_{a}<t_{b}.}$

Estas desigualdades tratan de las longitudes p _a etc. de las porciones interiores de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. Denotando los lados de modo que tengamos ^[20]${\displaystyle a\geq b\geq c,}$

${\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}$

y

${\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}$

Consideremos cualquier punto P en el interior del triángulo, con los vértices del triángulo denotados A , B y C y con las longitudes de los segmentos de línea denotados PA , etc. Tenemos ^{[1] : pp. 275–7}

${\displaystyle 2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA>PA+PB+PC,}$

y más fuertemente que la segunda de estas desigualdades es: ^{[1] : p. 278} Si es el lado más corto del triángulo, entonces${\displaystyle AB}$

${\displaystyle PA+PB+PC\leq AC+BC.}$

También tenemos la desigualdad de Ptolomeo ^{[2] : p.19, #770}

${\displaystyle PA\cdot BC+PB\cdot CA>PC\cdot AB}$

para el punto interior P y lo mismo para las permutaciones cíclicas de los vértices.

Si trazamos perpendiculares desde el punto interior P a los lados del triángulo, intersecando los lados en D , E y F , tenemos ^{[1] : p. 278}

${\displaystyle PA\cdot PB\cdot PC\geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).}$

Además, la desigualdad de Erdős-Mordell establece que ^{[21] [22]}

${\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PD+PE+PF}}\geq 2}$

con igualdad en el caso equilátero. Más fuertemente, la desigualdad de Barrow establece que si las bisectrices interiores de los ángulos en el punto interior P (es decir, de ∠ APB , ∠ BPC y ∠ CPA ) intersecan los lados del triángulo en U , V y W , entonces ^[23]

${\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PU+PV+PW}}\geq 2.}$

También más fuerte que la desigualdad de Erdős–Mordell es la siguiente: ^[24] Sean D, E, F las proyecciones ortogonales de P sobre BC, CA, AB respectivamente, y H, K, L las proyecciones ortogonales de P sobre las tangentes al círculo circunscrito del triángulo en A, B, C respectivamente. Entonces

${\displaystyle PH+PK+PL\geq 2(PD+PE+PF).}$

Con proyecciones ortogonales H, K, L desde P sobre las tangentes al círculo circunscrito del triángulo en A, B, C respectivamente, tenemos ^[25]

${\displaystyle {\frac {PH}{a^{2}}}+{\frac {PK}{b^{2}}}+{\frac {PL}{c^{2}}}\geq {\frac {1}{R}}}$

donde R es el radio circunscrito.

Nuevamente con las distancias PD, PE, PF del punto interior P desde los lados tenemos estas tres desigualdades: ^{[2] : p.29, #1045}

${\displaystyle {\frac {PA^{2}}{PE\cdot PF}}+{\frac {PB^{2}}{PF\cdot PD}}+{\frac {PC^{2}}{PD\cdot PE}}\geq 12;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{\sqrt {PE\cdot PF}}}+{\frac {PB}{\sqrt {PF\cdot PD}}}+{\frac {PC}{\sqrt {PD\cdot PE}}}\geq 6;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{PE+PF}}+{\frac {PB}{PF+PD}}+{\frac {PC}{PD+PE}}\geq 3.}$

Para el punto interior P con distancias PA, PB, PC desde los vértices y con área de triángulo T , ^{[2] : p.37, #1159}

${\displaystyle (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC\geq 8T}$

y ^{[2] : p.26, #965}

${\displaystyle {\frac {PA}{a}}+{\frac {PB}{b}}+{\frac {PC}{c}}\geq {\sqrt {3}}.}$

Para un punto interior P , baricentro G , puntos medios L, M, N de los lados y semiperímetro s , ^{[2] : p.140, #3164  [2] : p.130, #3052}

${\displaystyle 2(PL+PM+PN)\leq 3PG+PA+PB+PC\leq s+2(PL+PM+PN).}$

Además, para números positivos k ₁ , k ₂ , k ₃ y t con t menor o igual a 1: ^{[26] : Teoría 1}

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2^{t}{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right),}$

mientras que para t > 1 tenemos ^{[26] : Thm.2}

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right).}$

Existen varias desigualdades para un punto arbitrario interior o exterior del plano en función del radio r del círculo inscrito en el triángulo. Por ejemplo, ^{[27] : p. 109}

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 6r.}$

Otros incluyen: ^{[28] : pp. 180–1}

${\displaystyle PA^{3}+PB^{3}+PC^{3}+k\cdot (PA\cdot PB\cdot PC)\geq 8(k+3)r^{3}}$

para k = 0, 1, ..., 6;

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 16r^{2};}$

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+2(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 20r^{2};}$

y

${\displaystyle PA^{4}+PB^{4}+PC^{4}+k(PA\cdot PB\cdot PC)^{4/3}\geq 16(k+3)r^{4}}$

para k = 0, 1, ..., 9.

Además, para el circunradio R ,

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{3/2}+(PB\cdot PC)^{3/2}+(PC\cdot PA)^{3/2}\geq 12Rr^{2};}$^{[29] : pág. 227}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 8(R+r)Rr^{2};}$^{[29] : pág. 233}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 48r^{4};}$^{[29] : pág. 233}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 6(7R-6r)r^{3}.}$^{[29] : pág. 233}

Sea ABC un triángulo, sea G su baricentro y sean D , E y F los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC :

${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$^[30]

La desigualdad de Euler para el circunradio R y el inradio r establece que

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq 2,}$

con igualdad sólo en el caso equilátero . ^{[31] : p. 198}

Una versión más fuerte ^{[5] : p. 198} es

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}$

En comparación, ^{[2] : p.183, #276.2}

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},}$

donde el lado derecho podría ser positivo o negativo.

Otros dos refinamientos de la desigualdad de Euler son ^{[2] : p.134, #3087}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {(a+b)}{3c}}\geq 2}$

y

${\displaystyle \left({\frac {R}{r}}\right)^{3}\geq \left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{c}}\right)\geq 8.}$

Otra desigualdad simétrica es ^{[2] : p.125, #3004}

${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\leq {\frac {4}{9}}\left({\frac {R}{r}}-2\right).}$

Además,

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}};}$^{[1] : 288}

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 8s(R^{2}-r^{2})}$

en términos del semiperímetro s ; ^{[2] : p.20, #816}

${\displaystyle r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T}$

en términos del área T ; ^{[5] : p. 201}

${\displaystyle s{\sqrt {3}}\leq r+4R}$ ^{[5] : pág. 201}

y

${\displaystyle s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}}$ ^{[2] : pág. 17#708}

en términos del semiperímetro s ; y

${\displaystyle {\begin{aligned}&2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\leq s^{2}\\&\quad \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\end{aligned}}}$

también en términos del semiperímetro. ^{[5] : p. 206  [7] : p. 99} Aquí la expresión donde d es la distancia entre el incentro y el circuncentro. En la última doble desigualdad, la primera parte se cumple con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo en el vértice de al menos 60°, y la última parte se cumple con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo en el vértice de como máximo 60°. Por lo tanto, ambas son igualdades si y solo si el triángulo es equilátero. ^{[7] : Teoría 1}${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-2Rr}}=d}$

También tenemos para cualquier lado un ^[32]

${\displaystyle (R-d)^{2}-r^{2}\leq 4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R+d)^{2}-r^{2}}{(R+d)^{4}}}\right)\leq {\frac {a^{2}}{4}}\leq Q\leq (R+d)^{2}-r^{2},}$

donde si el circuncentro está sobre o fuera del incírculo y si el circuncentro está dentro del incírculo. El circuncentro está dentro del incírculo si y sólo si ^[32]${\displaystyle Q=R^{2}}$${\displaystyle Q=4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R-d)^{2}-r^{2}}{(R-d)^{4}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {R}{r}}<{\sqrt {2}}+1.}$

Más,

${\displaystyle {\frac {9r}{2T}}\leq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {9R}{4T}}.}$^{[1] : pág. 291}

La desigualdad de Blundon establece que ^{[5] : p. 206,   [33] [34]}

${\displaystyle s\leq (3{\sqrt {3}}-4)r+2R.}$

También tenemos, para todos los triángulos agudos, ^[35]

${\displaystyle s>2R+r.}$

Para el centro del círculo inscrito I , sean AI , BI y CI los que se extienden más allá de I para intersecar el círculo inscrito en D , E y F respectivamente. Entonces ^{[2] : p.14, #644}

${\displaystyle {\frac {AI}{ID}}+{\frac {BI}{IE}}+{\frac {CI}{IF}}\geq 3.}$

En términos de los ángulos de vértice tenemos ^{[2] : p.193, #342.6}

${\displaystyle \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C\leq \left({\frac {r}{R{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Denotemos como los radios tangentes del triángulo. Entonces ^{[36] : Teoría 4}${\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C}}$

${\displaystyle {\frac {4}{R}}\leq {\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{R_{C}}}\leq {\frac {2}{r}}}$

con igualdad sólo en el caso equilátero, y ^[37]

${\displaystyle {\frac {9}{2}}r\leq R_{A}+R_{B}+R_{C}\leq 2R+{\frac {1}{2}}r}$

con igualdad sólo en el caso equilátero.

Para el radio circunscrito R tenemos ^{[2] : p.101, #2625}

${\displaystyle 18R^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc{\sqrt {3}}}$

y ^{[2] : p.35, #1130}

${\displaystyle a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}\leq 3^{7/4}R^{3/2}.}$

También tenemos ^{[1] : pp. 287–90}

${\displaystyle a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R,}$

${\displaystyle 9R^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},}$

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R}$

en términos de altitudes,

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leq {\frac {27}{4}}R^{2}}$

en términos de las medianas, y ^{[2] : p.26, #957}

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}+{\frac {bc}{b+c}}+{\frac {ca}{c+a}}\geq {\frac {2T}{R}}}$

en términos de superficie.

Además, para el circuncentro O , sean las líneas AO , BO y CO las que intersecan los lados opuestos BC , CA y AB en U , V y W respectivamente. Entonces ^{[2] : p.17, #718}

${\displaystyle OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.}$

Para un triángulo agudo la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface ^{[2] : p.26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

con la desigualdad opuesta manteniéndose para un triángulo obtuso.

El radio circunscrito es al menos el doble de la distancia entre el primer y el segundo punto de Brocard B ₁ y B ₂ : ^[38]

${\displaystyle R\geq 2B_{1}B_{2}.}$

Para el radio interno r tenemos ^{[1] : pp. 289–90}

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2r}},}$

${\displaystyle 9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}}$

en términos de las altitudes, y

${\displaystyle {\sqrt {r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}}}\geq 6r}$

en términos de los radios de los excírculos. Además tenemos

${\displaystyle {\sqrt {s}}({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})\leq {\sqrt {2}}(r_{a}+r_{b}+r_{c})}$^{[2] : pág. 66, #1678}

y

${\displaystyle {\frac {abc}{r}}\geq {\frac {a^{3}}{r_{a}}}+{\frac {b^{3}}{r_{b}}}+{\frac {c^{3}}{r_{c}}}.}$^{[2] : pág. 183, #281.2}

Los exradios y las medianas están relacionados por ^{[2] : p.66, #1680}

${\displaystyle {\frac {r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}}+{\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}}+{\frac {r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}}\geq 3.}$

Además, para un triángulo agudo la distancia entre el centro del círculo inscrito I y el ortocentro H satisface ^{[2] : p.26, #954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Además, un triángulo agudo satisface ^{[2] : p.26, #954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

en términos del radio circunscrito R , nuevamente con la desigualdad inversa vigente para un triángulo obtuso.

Si las bisectrices internas de los ángulos A , B , C se encuentran con los lados opuestos en U , V , W entonces ^{[2] : p.215, 32.° IMO, n.° 1}

${\displaystyle {\frac {1}{4}}<{\frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AU\cdot BV\cdot CW}}\leq {\frac {8}{27}}.}$

Si las bisectrices de los ángulos internos que pasan por el incentro I se extienden hasta encontrarse con el círculo circunscrito en X , Y y Z , entonces ^{[2] : p.181, #264.4}

${\displaystyle {\frac {1}{IX}}+{\frac {1}{IY}}+{\frac {1}{IZ}}\geq {\frac {3}{R}}}$

para el radio circunscrito R , y ^{[2] : p.181, #264.4  [2] : p.45, #1282}

${\displaystyle 0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC)\leq 2(R-2r).}$

Si el círculo inscrito es tangente a los lados en D , E , F , entonces ^{[2] : p.115, #2875}

${\displaystyle EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leq {\frac {s^{2}}{3}}}$

para semiperímetro s .

Si se forma un hexágono tangencial trazando tres segmentos tangentes a la circunferencia inscrita en un triángulo y paralelos a un lado, de modo que el hexágono esté inscrito en el triángulo y sus otros tres lados coincidan con partes de los lados del triángulo, entonces ^{[2] : p.42, #1245}

${\displaystyle {\text{Perimeter of hexagon}}\leq {\frac {2}{3}}({\text{Perimeter of triangle}}).}$

Si tres puntos D, E, F en los lados respectivos AB, BC y CA de un triángulo de referencia ABC son los vértices de un triángulo inscrito, lo que divide el triángulo de referencia en cuatro triángulos, entonces el área del triángulo inscrito es mayor que el área de al menos uno de los otros triángulos interiores, a menos que los vértices del triángulo inscrito estén en los puntos medios de los lados del triángulo de referencia (en cuyo caso el triángulo inscrito es el triángulo medial y los cuatro triángulos interiores tienen áreas iguales): ^{[9] : p.137}

${\displaystyle {\text{Area(DEF)}}\geq \min({\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}}).}$

Un triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos , cada uno de los cuales coincide con un lado del triángulo y con los otros dos vértices del cuadrado en los dos lados restantes del triángulo. (Un triángulo rectángulo tiene sólo dos cuadrados inscritos distintos.) Si uno de estos cuadrados tiene una longitud de lado x _a y otro tiene una longitud de lado x _b con x _a < x _b , entonces ^{[39] : p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Además, para cualquier cuadrado inscrito en cualquier triángulo tenemos ^{[2] : p.18, #729  [39]}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}}}\geq 2.}$

La línea de Euler de un triángulo pasa por su ortocentro , su circuncentro y su baricentro , pero no pasa por su incentro a menos que el triángulo sea isósceles . ^{[16] : p.231} Para todos los triángulos no isósceles, la distancia d desde el incentro hasta la línea de Euler satisface las siguientes desigualdades en términos de la mediana más larga del triángulo v , su lado más largo u y su semiperímetro s : ^{[16] : p. 234, Propos.5}

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.}$

Para todas estas proporciones, el límite superior de 1/3 es el más ajustado posible. ^{[16] : p.235, Teoría 6}

En los triángulos rectángulos los catetos a y b y la hipotenusa c obedecen a lo siguiente, con igualdad sólo en el caso isósceles: ^{[1] : p. 280}

${\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}.}$

En términos del inradio, la hipotenusa obedece ^{[1] : p. 281}

${\displaystyle 2r\leq c({\sqrt {2}}-1),}$

y en términos de la altura desde la hipotenusa los catetos obedecen ^{[1] : p. 282}

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b).}$

Si los dos lados iguales de un triángulo isósceles tienen longitud a y el otro lado tiene longitud c , entonces la bisectriz del ángulo interno t desde uno de los dos vértices de ángulos iguales satisface ^{[2] : p.169, # 44 ${\displaystyle \eta }$}

${\displaystyle {\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.}$

Para cualquier punto P en el plano de un triángulo equilátero ABC , las distancias de P desde los vértices PA , PB y PC son tales que, a menos que P esté en el círculo circunscrito del triángulo , obedecen a la desigualdad básica del triángulo y, por lo tanto, pueden formar los lados de un triángulo: ^{[1] : pág. 279}$${\displaystyle PA+PB>PC,\quad PB+PC>PA,\quad PC+PA>PB.}$$

Sin embargo, cuando P está en el círculo circunscrito, la suma de las distancias desde P a los dos vértices más cercanos es exactamente igual a la distancia al vértice más lejano.

Un triángulo es equilátero si y sólo si, para cada punto P en el plano, con distancias PD , PE y PF a los lados del triángulo y distancias PA , PB y PC a sus vértices, ^{[2] : p.178, #235.4}$${\displaystyle 4(PD^{2}+PE^{2}+PF^{2})\geq PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}.}$$