Desigualdad de Barrow

En geometría , la desigualdad de Barrow es una desigualdad que relaciona las distancias entre un punto arbitrario dentro de un triángulo , los vértices del triángulo y ciertos puntos en los lados del triángulo. Recibe su nombre en honor a David Francis Barrow .

Declaración

Sea P un punto arbitrario dentro del triángulo ABC . A partir de P y ABC , defina U , V y W como los puntos donde las bisectrices de los ángulos BPC , CPA y APB intersecan los lados BC , CA y AB , respectivamente. Entonces, la desigualdad de Barrow establece que [1]

PAG A + PAG B + PAG do ≥ 2 ( PAG tú + PAG V + PAG Yo ) , {\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}

con igualdad vigente sólo en el caso de un triángulo equilátero y P es el centro del triángulo. [1]

Generalización

La desigualdad de Barrow se puede extender a polígonos convexos. Para un polígono convexo cuyos vértices sean un punto interior y las intersecciones de las bisectrices de los ángulos de con los lados asociados del polígono , entonces se cumple la siguiente desigualdad: [2] [3] A 1 , A 2 , … , A norte {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}} PAG {\estilo de visualización P} Q 1 , Q 2 , … , Q norte {\displaystyle Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}} ∠ A 1 PAG A 2 , … , ∠ A norte − 1 PAG A norte , ∠ A norte PAG A 1 {\displaystyle \ángulo A_{1}PA_{2},\ldots ,\ángulo A_{n-1}PA_{n},\ángulo A_{n}PA_{1}} A 1 A 2 , … , A norte − 1 A norte , A norte A 1 {\displaystyle A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}}

∑ a = 1 norte | PAG A a | ≥ segundo ⁡ ( π norte ) ∑ a = 1 norte | PAG Q a | {\displaystyle \suma _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\suma _{k=1}^{n}|PQ_{k}|}

Aquí se denota la función secante . Para el caso del triángulo la desigualdad se convierte en la desigualdad de Barrow debido a . segundo ⁡ ( incógnita ) {\displaystyle \sec(x)} norte = 3 {\estilo de visualización n=3} segundo ⁡ ( π 3 ) = 2 {\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2}

Historia

Túmulo fortaleciendo Erdős-Mordell
| PAG A | + | PAG B | + | PAG do | ≥ 2 ( | PAG Q a | + | PAG Q b | + | PAG Q do | ) ≥ 2 ( | PAG F a | + | PAG F b | + | PAG F do | ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}}

La desigualdad de Barrow refuerza la desigualdad de Erdős-Mordell , que tiene la misma forma excepto que PU , PV y PW se reemplazan por las tres distancias de P a los lados del triángulo. Recibe su nombre en honor a David Francis Barrow . La prueba de Barrow de esta desigualdad se publicó en 1937, como su solución a un problema planteado en la revista American Mathematical Monthly para demostrar la desigualdad de Erdős-Mordell. [1] Este resultado se denominó "desigualdad de Barrow" ya en 1961. [4]

Louis J. Mordell dio posteriormente una prueba más sencilla . [5]

Véase también

Referencias

  1. ^ abc Erdős, Paul ; Mordell, LJ ; Barrow, David F. (1937), "Solución al problema 3740", American Mathematical Monthly , 44 (4): 252–254, doi :10.2307/2300713, JSTOR  2300713.
  2. ^ M. Dinca: "Una demostración sencilla de la desigualdad de Erdös-Mordell". En: Artículos y notas matemáticas , 2009
  3. ^ Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". En: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung , Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566 (alemán).
  4. ^ Oppenheim, A. (1961), "Nuevas desigualdades para un triángulo y un punto interno", Annali di Matematica Pura ed Applicata , 53 : 157–163, doi :10.1007/BF02417793, MR  0124774
  5. ^ Mordell, LJ (1962), "Sobre los problemas geométricos de Erdös y Oppenheim", The Mathematical Gazette , 46 (357): 213–215, JSTOR  3614019.
  • Hojoo Lee: Temas sobre desigualdades: teoremas y técnicas
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