Desigualdad de la martingala de Doob

En matemáticas , la desigualdad de la martingala de Doob , también conocida como desigualdad de la submartingala de Kolmogorov , es un resultado del estudio de los procesos estocásticos . Da un límite a la probabilidad de que una submartingala supere cualquier valor dado durante un intervalo de tiempo determinado. Como sugiere el nombre, el resultado suele darse en el caso de que el proceso sea una martingala , pero el resultado también es válido para las submartingalas.

La desigualdad se debe al matemático estadounidense Joseph L. Doob .

La configuración de la desigualdad de Doob es una submartingala relativa a una filtración del espacio de probabilidad subyacente. La medida de probabilidad en el espacio muestral de la martingala se denotará por P . El valor esperado correspondiente de una variable aleatoria X , tal como se define por la integración de Lebesgue , se denotará por E[ X ] .

De manera informal, la desigualdad de Doob establece que el valor esperado del proceso en un momento final controla la probabilidad de que una trayectoria de muestra alcance un valor superior a cualquier valor determinado de antemano. Como la prueba utiliza un razonamiento muy directo, no requiere ninguna suposición restrictiva sobre la filtración subyacente o sobre el proceso en sí, a diferencia de muchos otros teoremas sobre procesos estocásticos. En el contexto de tiempo continuo, se requiere la continuidad derecha (o izquierda) de las trayectorias de muestra, pero solo con el fin de saber que el valor supremo de una trayectoria de muestra es igual al supremo sobre un subconjunto denso contable arbitrario de tiempos.

Sea X ₁ , ..., X _n una submartingala de tiempo discreto relativa a una filtración del espacio de probabilidad subyacente, es decir:${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},\ldots ,{\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle X_{i}\leq \operatorname {E} [X_{i+1}\mid {\mathcal {F}}_{i}].}$

La desigualdad de la submartingala ^{[ aclaración necesaria ]} dice que

${\displaystyle P\left[\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{n},0)]}{C}}}$

para cualquier número positivo C . La prueba se basa en el hecho de la teoría de conjuntos de que el evento definido por max( X _i ) > C puede descomponerse como la unión disjunta de los eventos E _i definidos por (X _i > C y (X _j ≤ C para todo j < i )) . Entonces

${\displaystyle CP(E_{i})=\int _{E_{i}}C\,dP\leq \int _{E_{i}}X_{i}\,dP\leq \int _{E_{i}}{\text{E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{i}]\,dP=\int _{E_{i}}X_{n}\,dP,}$

Habiendo hecho uso de la propiedad de la submartingala para la última desigualdad y el hecho de que para la última igualdad. Sumando este resultado como i varía de 1 a n se llega a la conclusión${\displaystyle E_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}}$

${\displaystyle CP(E)\leq \int _{E}X_{n}\,dP,}$

que es más aguda que el resultado indicado. Al utilizar el hecho elemental de que X _n ≤ max( X _n , 0) , se deduce la desigualdad de submartingala dada.

En esta prueba, la propiedad de submartingala se utiliza una vez, junto con la definición de expectativa condicional . ^[1] La prueba también puede expresarse en el lenguaje de los procesos estocásticos para convertirse en un corolario del poderoso teorema de que una submartingala detenida es en sí misma una submartingala. ^[2] En esta configuración, el índice mínimo i que aparece en la prueba anterior se interpreta como un tiempo de detención .

Sea ahora X _t una submartingala indexada por un intervalo [0, T ] de números reales, relativo a una filtración F _t del espacio de probabilidad subyacente, es decir:

${\displaystyle X_{s}\leq \operatorname {E} [X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}].}$

para todo s < t . La desigualdad de la submartingala ^{[ aclaración necesaria ]} dice que si las trayectorias de muestra de la martingala son casi con seguridad continuas hacia la derecha, entonces

${\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}}$

para cualquier número positivo C . Este es un corolario del resultado de tiempo discreto anterior, obtenido escribiendo

${\displaystyle \sup _{0\leq t\leq T}X_{t}=\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap \mathbb {Q} \}=\lim _{i\to \infty }\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap Q_{i}\}}$

en la que Q ₁ ⊂ Q ₂ ⊂ ⋅⋅⋅ es cualquier secuencia de conjuntos finitos cuya unión es el conjunto de todos los números racionales. La primera igualdad es una consecuencia del supuesto de continuidad por la derecha, mientras que la segunda igualdad es puramente de teoría de conjuntos. La desigualdad de tiempo discreto se aplica para decir que

${\displaystyle P\left[\sup _{t\in [0,T]\cap Q_{i}}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}}$

para cada i , y esto pasa al límite para producir la desigualdad de submartingala. ^[3] Este paso del tiempo discreto al tiempo continuo es muy flexible, ya que solo requiere tener un subconjunto denso contable de [0,T] , que luego se puede construir automáticamente a partir de una secuencia creciente de conjuntos finitos. Como tal, la desigualdad de submartingala se cumple incluso para conjuntos de índices más generales, que no se requiere que sean intervalos o números naturales . ^[4]

Existen otras desigualdades de submartingala también debidas a Doob. Ahora, sea X _t una martingala o una submartingala positiva; si el conjunto de índices es incontable, entonces (como se indicó anteriormente) suponga que las trayectorias de la muestra son continuas hacia la derecha. En estos escenarios, la desigualdad de Jensen implica que | X _t | ^p es una submartingala para cualquier número p ≥ 1 , siempre que todas estas nuevas variables aleatorias tengan integral finita. La desigualdad de submartingala es entonces aplicable para decir que ^[5]

${\displaystyle {\text{P}}[\sup _{t}|X_{t}|\geq C]\leq {\frac {{\text{E}}[|X_{T}|^{p}]}{C^{p}}}.}$

para cualquier número positivo C . Aquí T es el tiempo final , es decir, el valor más grande del conjunto de índices. Además, se tiene

${\displaystyle {\text{E}}[|X_{T}|^{p}]\leq {\text{E}}\left[\sup _{0\leq s\leq T}|X_{s}|^{p}\right]\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}{\text{E}}[|X_{T}|^{p}]}$

si p es mayor que uno. Esto, a veces conocido como desigualdad máxima de Doob , es un resultado directo de combinar la representación de la torta de capas con la desigualdad de la submartingala y la desigualdad de Hölder . ^[6]

Además de la desigualdad anterior, se cumple ^[7]

${\displaystyle {\text{E}}\left|\sup _{0\leq s\leq T}X_{s}\right|\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+{\text{E}}[\max\{|X_{T}|\log |X_{T}|,0\}]\right)}$

La desigualdad de Doob para martingalas de tiempo discreto implica la desigualdad de Kolmogorov : si X ₁ , X _{2 , ... es una secuencia de} variables aleatorias independientes de valor real , cada una con media cero, está claro que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{1}+\cdots +X_{n}+X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\cdots +X_{n}+\operatorname {E} \left[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}}}$

Por lo tanto, S _n  =  X ₁  + ... +  X _n es una martingala. Nótese que la desigualdad de Jensen implica que |S _n | es una submartingala no negativa si S _n es una martingala. Por lo tanto, tomando p  = 2 en la desigualdad de la martingala de Doob,

${\displaystyle P\left[\max _{1\leq i\leq n}\left|S_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[S_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}},}$

que es precisamente el enunciado de la desigualdad de Kolmogorov. ^[8]

Sea B el movimiento browniano unidimensional canónico . Entonces ^[9]

${\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).}$

La prueba es la siguiente: como la función exponencial es monótonamente creciente, para cualquier λ no negativo,

${\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.}$

Por la desigualdad de Doob, y puesto que la exponencial del movimiento browniano es una submartingala positiva,

${\displaystyle {\begin{aligned}P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=P\left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\[8pt]&\leq {\frac {\operatorname {E} [\exp(\lambda B_{T})]}{\exp(\lambda C)}}\\[8pt]&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)&&\operatorname {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\end{aligned}}}$

Como el lado izquierdo no depende de λ , elija λ para minimizar el lado derecho: λ  =  C / T da la desigualdad deseada.

Fuentes

• Shiryaev, Albert N. (2001) [1994], "Martingala", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press