Movimiento de proyectil

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El movimiento de proyectiles es una forma de movimiento que experimenta un objeto o partícula (un proyectil ) que se proyecta en un campo gravitatorio , como por ejemplo desde la superficie de la Tierra , y se mueve a lo largo de una trayectoria curvada bajo la acción de la gravedad únicamente. En el caso particular del movimiento de proyectiles en la Tierra, la mayoría de los cálculos suponen que los efectos de la resistencia del aire son pasivos .

Galileo Galilei demostró que la trayectoria de un proyectil dado es parabólica , pero que la trayectoria también puede ser recta en el caso especial en que el objeto se lanza directamente hacia arriba o hacia abajo. El estudio de tales movimientos se denomina balística , y dicha trayectoria se describe como balística . La única fuerza de importancia matemática que se ejerce activamente sobre el objeto es la gravedad, que actúa hacia abajo, impartiendo así al objeto una aceleración descendente hacia el centro de masas de la Tierra . Debido a la inercia del objeto , no se necesita ninguna fuerza externa para mantener el componente de velocidad horizontal del movimiento del objeto.

Si se tienen en cuenta otras fuerzas, como la resistencia aerodinámica o la propulsión interna (como en un cohete ), se requiere un análisis adicional. Un misil balístico es un misil que solo se guía durante la relativamente breve fase inicial de vuelo con motor , y cuyo curso restante está regido por las leyes de la mecánica clásica .

La balística (del griego antiguo βάλλειν bállein  'lanzar') es la ciencia de la dinámica que se ocupa del vuelo, el comportamiento y los efectos de los proyectiles, especialmente balas , bombas no guiadas , cohetes o similares; la ciencia o el arte de diseñar y acelerar proyectiles para lograr un rendimiento deseado.

Las ecuaciones elementales de balística descuidan casi todos los factores, excepto la velocidad inicial, el ángulo de lanzamiento y una aceleración gravitacional que se supone constante. Las soluciones prácticas de un problema balístico a menudo requieren consideraciones de la resistencia del aire, los vientos cruzados, el movimiento del objetivo, la aceleración debida a la gravedad que varía con la altura y, en problemas como el lanzamiento de un cohete desde un punto de la Tierra a otro, la distancia del horizonte frente a la curvatura de la Tierra (su velocidad local de rotación). Las soluciones matemáticas detalladas de los problemas prácticos normalmente no tienen soluciones de forma cerrada y, por lo tanto, requieren métodos numéricos para abordarlas.

En el movimiento de proyectiles, el movimiento horizontal y el movimiento vertical son independientes entre sí, es decir, ninguno de los movimientos afecta al otro. Este es el principio del movimiento compuesto establecido por Galileo en 1638 ^[1] y utilizado por él para demostrar la forma parabólica del movimiento de proyectiles ^{[2] .}

Una trayectoria balística es una parábola con aceleración homogénea, como la de una nave espacial con aceleración constante en ausencia de otras fuerzas. En la Tierra, la aceleración cambia de magnitud con la altitud y de dirección (objetivos lejanos) con la latitud/longitud a lo largo de la trayectoria. Esto provoca una trayectoria elíptica , que es muy parecida a una parábola a pequeña escala. Sin embargo, si se lanzara un objeto y la Tierra fuera reemplazada de repente por un agujero negro de igual masa, sería obvio que la trayectoria balística es parte de una órbita elíptica alrededor de ese agujero negro, y no una parábola que se extiende hasta el infinito. A velocidades más altas, la trayectoria también puede ser circular, parabólica o hiperbólica (a menos que esté distorsionada por otros objetos como la Luna o el Sol).${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}}$

En este artículo se supone una aceleración gravitacional homogénea .${\textstyle (g=g_{0})}$

Como solo hay aceleración en la dirección vertical, la velocidad en la dirección horizontal es constante, siendo igual a . El movimiento vertical del proyectil es el movimiento de una partícula durante su caída libre. Aquí la aceleración es constante, siendo igual a g . ^{[nota 1]} Los componentes de la aceleración son: ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$

${\displaystyle a_{x}=0}$,

${\displaystyle a_{y}=-g}$.*

*La aceleración y también puede denominarse la fuerza de la Tierra sobre el objeto o los objetos de interés.${\textstyle (-F_{g}/m)}$

Sea el proyectil lanzado con una velocidad inicial , que puede expresarse como la suma de los componentes horizontales y verticales de la siguiente manera:${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$.

Los componentes y se pueden encontrar si se conoce el ángulo de lanzamiento inicial, :${\displaystyle v_{0x}}$${\displaystyle v_{0y}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

El componente horizontal de la velocidad del objeto permanece invariable durante todo el movimiento. El componente vertical de la velocidad cambia linealmente, ^{[nota 2]} porque la aceleración debida a la gravedad es constante. Las aceleraciones en las direcciones x e y se pueden integrar para obtener los componentes de la velocidad en cualquier momento t , de la siguiente manera:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$.

La magnitud de la velocidad (según el teorema de Pitágoras , también conocido como ley del triángulo):

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$.

En cualquier momento , el desplazamiento horizontal y vertical del proyectil son:${\displaystyle t}$

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$,

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

La magnitud del desplazamiento es:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Consideremos las ecuaciones,

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$y . ^[3]${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Si se elimina t entre estas dos ecuaciones se obtiene la siguiente ecuación:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

Aquí R es el alcance de un proyectil .

Dado que g , θ y v ₀ son constantes, la ecuación anterior tiene la forma

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$,

donde a y b son constantes. Esta es la ecuación de una parábola, por lo que la trayectoria es parabólica. El eje de la parábola es vertical.

Si se conocen la posición del proyectil (x, y) y el ángulo de lanzamiento (θ o α), la velocidad inicial se puede encontrar resolviendo v ₀ en la ecuación parabólica mencionada anteriormente:

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

La trayectoria parabólica de un proyectil también se puede expresar en coordenadas polares en lugar de cartesianas . En este caso, la posición tiene la fórmula general

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$.

En esta ecuación, el origen es el punto medio del alcance horizontal del proyectil y, si el terreno es plano, el arco parabólico se traza en el alcance . Esta expresión se puede obtener transformando la ecuación cartesiana como se indicó anteriormente por y .${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$${\displaystyle y=r\sin \phi }$${\displaystyle x=r\cos \phi }$

El tiempo total t que el proyectil permanece en el aire se denomina tiempo de vuelo.

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Después del vuelo, el proyectil regresa al eje horizontal (eje x), por lo que .${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$

Tenga en cuenta que hemos descuidado la resistencia del aire en el proyectil.

Si el punto de partida está a la altura y ₀ con respecto al punto de impacto, el tiempo de vuelo es:

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

Como se indicó anteriormente, esta expresión se puede reducir a

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{|g|}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {(45)}}{|g|}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

si θ es 45° e y ₀ es 0.

Como se muestra arriba en la sección Desplazamiento , la velocidad horizontal y vertical de un proyectil son independientes entre sí.

Gracias a esto, podemos encontrar el tiempo necesario para alcanzar un objetivo utilizando la fórmula de desplazamiento para la velocidad horizontal:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

Esta ecuación dará el tiempo total t que debe recorrer el proyectil para alcanzar el desplazamiento horizontal del objetivo, sin tener en cuenta la resistencia del aire.

La altura máxima que alcanzará el objeto se conoce como el pico del movimiento del objeto. El aumento de altura durará hasta , es decir,${\displaystyle v_{y}=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

Tiempo para alcanzar la altura máxima (h):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Para el desplazamiento vertical de la altura máxima del proyectil:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

La altura máxima alcanzable se obtiene para θ = 90°:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

Si se conocen la posición del proyectil (x,y) y el ángulo de lanzamiento (θ), la altura máxima se puede encontrar resolviendo h en la siguiente ecuación:

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

El ángulo de elevación (φ) a la altura máxima viene dado por:

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

La relación entre el alcance d en el plano horizontal y la altura máxima h alcanzada es:${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

El alcance y la altura máxima del proyectil no dependen de su masa. Por lo tanto, el alcance y la altura máxima son iguales para todos los cuerpos que se lanzan con la misma velocidad y dirección. El alcance horizontal d del proyectil es la distancia horizontal que ha recorrido cuando vuelve a su altura inicial ( ).${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$.

Hora de llegar al suelo:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

A partir del desplazamiento horizontal la distancia máxima del proyectil:

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$,

Entonces ^{[nota 3]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )}$.

Nótese que d tiene su valor máximo cuando

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$,

lo cual corresponde necesariamente a

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$,

o

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$.

La distancia horizontal total (d) recorrida.

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

Cuando la superficie es plana (la altura inicial del objeto es cero), la distancia recorrida: ^[4]

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

Por lo tanto, la distancia máxima se obtiene si θ es de 45 grados. Esta distancia es:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

Según el teorema de trabajo-energía, el componente vertical de la velocidad es:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

Estas fórmulas ignoran la resistencia aerodinámica y también suponen que el área de aterrizaje está a una altura uniforme 0.

El "ángulo de alcance" es el ángulo ( θ ) con el que se debe lanzar un proyectil para recorrer una distancia d , dada la velocidad inicial v .

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

Hay dos soluciones:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(trayectoria poco profunda)

y porque ,${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(trayectoria empinada)

Para alcanzar un objetivo a una distancia x y una altitud y cuando se dispara desde (0,0) y con una velocidad inicial v, los ángulos de lanzamiento requeridos θ son:

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

Las dos raíces de la ecuación corresponden a los dos posibles ángulos de lanzamiento, siempre que no sean imaginarios, en cuyo caso la velocidad inicial no es lo suficientemente grande como para alcanzar el punto ( x , y ) seleccionado. Esta fórmula permite hallar el ángulo de lanzamiento necesario sin la restricción de .${\displaystyle y=0}$

También se puede preguntar qué ángulo de lanzamiento permite la menor velocidad de lanzamiento posible. Esto ocurre cuando las dos soluciones anteriores son iguales, lo que implica que la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada es cero. Esto requiere resolver una ecuación cuadrática para , y encontramos${\displaystyle v^{2}}$

${\displaystyle v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$

Esto da

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

Si denotamos el ángulo cuya tangente es y/x por α , entonces

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

Esto implica

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

En otras palabras, el lanzamiento debe realizarse en un ángulo medio entre el objetivo y el cenit (vector opuesto a la gravedad).

La longitud del arco parabólico trazado por un proyectil, L , dado que la altura de lanzamiento y aterrizaje es la misma (no hay resistencia del aire), viene dada por la fórmula:

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

donde es la velocidad inicial, es el ángulo de lanzamiento y es la aceleración debida a la gravedad en valor positivo. La expresión se puede obtener evaluando la integral de longitud de arco para la parábola altura-distancia entre los límites de desplazamiento inicial y final (es decir, entre 0 y el alcance horizontal del proyectil) de manera que:${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle g}$

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

Si el tiempo de vuelo es t ,

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

La resistencia del aire crea una fuerza que (para proyectiles simétricos) siempre está dirigida contra la dirección del movimiento en el medio circundante y tiene una magnitud que depende de la velocidad absoluta: . La dependencia de la velocidad de la fuerza de fricción es lineal ( ) a velocidades muy bajas ( arrastre de Stokes ) y cuadrática ( ) a grandes velocidades ( arrastre de Newton ). ^[5] La transición entre estos comportamientos está determinada por el número de Reynolds , que depende de la velocidad, el tamaño del objeto, la densidad y la viscosidad dinámica del medio. Para números de Reynolds inferiores a aproximadamente 1, la dependencia es lineal, por encima de 1000 ( flujo turbulento ) se vuelve cuadrática. En el aire, que tiene una viscosidad cinemática de alrededor de , esto significa que la fuerza de arrastre se vuelve cuadrática en v cuando el producto de la velocidad y el diámetro es mayor que aproximadamente , lo que suele ser el caso de los proyectiles.${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$${\displaystyle f(v)\propto v}$${\displaystyle f(v)\propto v^{2}}$${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \eta }$ ${\displaystyle \eta /\rho }$${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

• Arrastre de Stokes: (para )${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad }$${\displaystyle Re\lesssim 1}$
• Arrastre de Newton: (para )${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad }$${\displaystyle Re\gtrsim 1000}$

El diagrama de cuerpo libre de la derecha corresponde a un proyectil que experimenta resistencia del aire y los efectos de la gravedad. Aquí, se supone que la resistencia del aire está en la dirección opuesta a la velocidad del proyectil:${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

La resistencia de Stokes, donde , sólo se aplica a velocidades muy bajas en el aire y, por lo tanto, no es el caso típico de los proyectiles. Sin embargo, la dependencia lineal de sobre da lugar a una ecuación diferencial de movimiento muy simple${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

en el que los 2 componentes cartesianos se vuelven completamente independientes, y por lo tanto es más fácil de resolver. ^[6] Aquí, , y se utilizarán para denotar la velocidad inicial, la velocidad a lo largo de la dirección de x y la velocidad a lo largo de la dirección de y , respectivamente. La masa del proyectil se denotará por m , y . Para la derivación solo se considera el caso donde . Nuevamente, el proyectil se dispara desde el origen (0,0).${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{x}}$${\displaystyle v_{y}}$${\displaystyle \mu :=k/m}$${\displaystyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(1b)

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(3b)

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)}$.

El caso más típico de resistencia del aire , en el caso de números de Reynolds superiores a 1000, es el arrastre de Newton con una fuerza de arrastre proporcional al cuadrado de la velocidad, . En el aire, que tiene una viscosidad cinemática de alrededor de , esto significa que el producto de la velocidad por el diámetro debe ser mayor que aproximadamente .${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

Lamentablemente, las ecuaciones de movimiento no se pueden resolver analíticamente con facilidad en este caso, por lo que se examinará una solución numérica.

Se parte de los siguientes supuestos:

• Aceleración gravitacional constante ${\textstyle g}$
• La resistencia del aire se da mediante la siguiente fórmula de arrastre :

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

Dónde:

• F _D es la fuerza de arrastre
• c es el coeficiente de arrastre
• ρ es la densidad del aire
• A es el área de la sección transversal del proyectil. Nuevamente compare esto con la teoría/práctica del coeficiente balístico .${\displaystyle \mu =k/m:=}$ ${\displaystyle c\rho A/(2m)}$ ${\displaystyle =c\rho /(2\rho _{p}l)}$

Aunque el caso general de un proyectil con arrastre de Newton no se puede resolver analíticamente, algunos casos especiales sí se pueden resolver. Aquí denotamos la velocidad terminal en caída libre como y la constante de tiempo de asentamiento característica . (Dimensión de [m/s ² ], [1/m])${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$${\displaystyle t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$

• Movimiento casi horizontal : en caso de que el movimiento sea casi horizontal , como una bala en vuelo, el componente de velocidad vertical tiene muy poca influencia en el movimiento horizontal. En este caso: ^[8]${\displaystyle |v_{x}|\gg |v_{y}|}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)}$

El mismo patrón se aplica al movimiento con fricción a lo largo de una línea en cualquier dirección, cuando la gravedad es insignificante (relativamente pequeña ). También se aplica cuando se impide el movimiento vertical, como en el caso de un automóvil en movimiento con el motor apagado.${\displaystyle g}$

• Movimiento vertical hacia arriba : ^[8]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}\right)}$

Aquí

${\displaystyle v_{\infty }\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu }}},}$

${\displaystyle t_{f}\equiv {\frac {1}{\sqrt {\mu g}}},}$

${\displaystyle t_{\mathrm {peak} }\equiv t_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty }}}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}}\arctan {\left({\sqrt {\frac {\mu }{g}}}v_{y,0}\right)},}$

y

${\displaystyle y_{\mathrm {peak} }\equiv -{\frac {1}{\mu }}\ln {\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu }}\ln {\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y,0}^{2}\right)}}$

¿Dónde está la velocidad ascendente inicial en y la posición inicial es ?${\displaystyle v_{y,0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle y(0)=0}$

Un proyectil no puede elevarse más allá de la dirección vertical antes de alcanzar la cima.${\displaystyle t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}}$

• Movimiento vertical hacia abajo : ^[8]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}\right)}$

Después de un tiempo , el proyectil alcanza casi la velocidad terminal .${\displaystyle t_{f}}$${\displaystyle -v_{\infty }}$

El movimiento de un proyectil con resistencia se puede calcular de forma genérica mediante la integración numérica de la ecuación diferencial ordinaria , por ejemplo, aplicando una reducción a un sistema de primer orden . La ecuación a resolver es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}}$.

Este enfoque también permite agregar los efectos del coeficiente de arrastre dependiente de la velocidad, la densidad del aire dependiente de la altitud (en el producto ) y el campo de gravedad dependiente de la posición ( ).${\displaystyle c(v)\rho (y)}$${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}\lesssim g_{0}/(1+2y/R)\approx g_{0}(1-2y/R)}$

Un caso especial de trayectoria balística para un cohete es una trayectoria elevada, una trayectoria con un apogeo mayor que la trayectoria de energía mínima para el mismo rango. En otras palabras, el cohete viaja más alto y al hacerlo usa más energía para llegar al mismo punto de aterrizaje. Esto puede hacerse por varias razones, como aumentar la distancia al horizonte para dar un mayor alcance de visión/comunicación o para cambiar el ángulo con el que un misil impactará al aterrizar. Las trayectorias elevadas se usan a veces tanto en cohetería de misiles como en vuelos espaciales . ^[9]

Cuando un proyectil recorre una distancia significativa en comparación con el radio de la Tierra (por encima de ≈100 km), hay que tener en cuenta la curvatura de la Tierra y la gravedad no uniforme de la Tierra . Este es, por ejemplo, el caso de las naves espaciales y los misiles intercontinentales. La trayectoria se generaliza entonces (sin resistencia del aire) de una parábola a una elipse de Kepler con un foco en el centro de la Tierra. El movimiento del proyectil sigue entonces las leyes de Kepler del movimiento planetario .

Los parámetros de las trayectorias deben adaptarse a partir de los valores de un campo de gravedad uniforme indicado anteriormente. El radio de la Tierra se toma como R y g como la gravedad superficial estándar. Sea la velocidad de lanzamiento relativa a la primera velocidad cósmica .${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$

Alcance total d entre el lanzamiento y el impacto:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Alcance máximo de un proyectil para un ángulo de lanzamiento óptimo ( ):${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       con , la primera velocidad cósmica${\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}$

Altura máxima de un proyectil sobre la superficie planetaria:

${\displaystyle h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)}$

Altura máxima de un proyectil para lanzamiento vertical ( ):${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       con , la segunda velocidad cósmica${\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}$

Hora de vuelo:

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

• Ecuaciones de movimiento
• Fugoide

^[1]