Simetría (física)

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La simetría de un sistema físico es una característica física o matemática del sistema (observada o intrínseca) que se conserva o permanece inalterada bajo alguna transformación .

Una familia de transformaciones particulares puede ser continua (como la rotación de un círculo) o discreta (por ejemplo, la reflexión de una figura bilateralmente simétrica o la rotación de un polígono regular). Las transformaciones continuas y discretas dan lugar a los tipos correspondientes de simetrías. Las simetrías continuas se pueden describir mediante grupos de Lie , mientras que las simetrías discretas se describen mediante grupos finitos (véase Grupo de simetría ).

Estos dos conceptos, el de Lie y el de grupos finitos, son la base de las teorías fundamentales de la física moderna. Las simetrías suelen ser susceptibles de formulaciones matemáticas como las representaciones de grupos y, además, pueden aprovecharse para simplificar muchos problemas.

Se podría decir que el ejemplo más importante de simetría en física es que la velocidad de la luz tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia, lo que se describe en la relatividad especial mediante un grupo de transformaciones del espacio-tiempo conocido como el grupo de Poincaré . Otro ejemplo importante es la invariancia de la forma de las leyes físicas bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas diferenciables, que es una idea importante en la relatividad general .

La invariancia se especifica matemáticamente mediante transformaciones que dejan alguna propiedad (por ejemplo, la cantidad) sin cambios. Esta idea se puede aplicar a observaciones básicas del mundo real. Por ejemplo, la temperatura puede ser homogénea en toda una habitación. Dado que la temperatura no depende de la posición de un observador dentro de la habitación, decimos que la temperatura es invariante ante un cambio en la posición de un observador dentro de la habitación.

De manera similar, una esfera uniforme rotada sobre su centro tendrá exactamente el mismo aspecto que tenía antes de la rotación. Se dice que la esfera presenta simetría esférica . Una rotación sobre cualquier eje de la esfera conservará la forma de su superficie desde cualquier punto de vista dado.

Las ideas anteriores conducen a la idea útil de invariancia cuando se analiza la simetría física observada; esto también se puede aplicar a las simetrías en fuerzas.

Por ejemplo, se dice que un campo eléctrico debido a un cable cargado eléctricamente de longitud infinita exhibe simetría cilíndrica , porque la intensidad del campo eléctrico a una distancia dada r del cable tendrá la misma magnitud en cada punto de la superficie de un cilindro (cuyo eje es el cable) con radio r . Girar el cable sobre su propio eje no cambia su posición ni su densidad de carga, por lo tanto, preservará el campo. La intensidad del campo en una posición girada es la misma. Esto no es cierto en general para un sistema arbitrario de cargas.

En la teoría de la mecánica de Newton, dados dos cuerpos, cada uno con masa m , que comienzan en el origen y se mueven a lo largo del eje x en direcciones opuestas, uno con velocidad v ₁ y el otro con velocidad v _{2, la} energía cinética total del sistema (calculada a partir de un observador en el origen) es1/2⁠ m ( v ₁ ² + v ₂ ² ) y permanece igual si se intercambian las velocidades. La energía cinética total se conserva bajo una reflexión en el eje y .

El último ejemplo anterior ilustra otra forma de expresar simetrías, concretamente mediante ecuaciones que describen algún aspecto del sistema físico. El ejemplo anterior muestra que la energía cinética total será la misma si se intercambian v ₁ y v _{2 .}

Las simetrías pueden clasificarse en líneas generales como globales o locales . Una simetría global es aquella que mantiene una propiedad invariante para una transformación que se aplica simultáneamente en todos los puntos del espacio-tiempo , mientras que una simetría local es aquella que mantiene una propiedad invariante cuando se aplica una transformación de simetría posiblemente diferente en cada punto del espacio-tiempo ; específicamente, una transformación de simetría local está parametrizada por las coordenadas del espacio-tiempo, mientras que una simetría global no lo está. Esto implica que una simetría global es también una simetría local. Las simetrías locales juegan un papel importante en la física, ya que forman la base de las teorías de calibración .

Los dos ejemplos de simetría rotacional descritos anteriormente (esférica y cilíndrica) son casos de simetría continua . Se caracterizan por la invariancia tras un cambio continuo en la geometría del sistema. Por ejemplo, el cable puede rotarse en cualquier ángulo sobre su eje y la intensidad del campo será la misma en un cilindro determinado. Matemáticamente, las simetrías continuas se describen mediante transformaciones que cambian continuamente en función de su parametrización. Una subclase importante de simetrías continuas en física son las simetrías espaciotemporales.

Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

Las simetrías espaciotemporales continuas son simetrías que implican transformaciones del espacio y el tiempo . Pueden clasificarse además como simetrías espaciales , que involucran solo la geometría espacial asociada con un sistema físico; simetrías temporales , que involucran solo cambios en el tiempo; o simetrías espaciotemporales , que involucran cambios tanto en el espacio como en el tiempo.

• Traducción temporal : Un sistema físico puede tener las mismas características durante un cierto intervalo de tiempo Δ t ; esto se expresa matemáticamente como invariancia bajo la transformación t → t + a para cualesquieraparámetros reales t y t + a en el intervalo. Por ejemplo, en mecánica clásica, una partícula sobre la que actúa únicamente la gravedad tendrá energía potencial gravitatoria mgh cuando esté suspendida desde una altura h sobre la superficie de la Tierra. Suponiendo que no haya cambios en la altura de la partícula, esta será la energía potencial gravitatoria total de la partícula en todo momento. En otras palabras, al considerar el estado de la partícula en algún momento t ₀ y también en t ₀ + a , se conservará la energía potencial gravitatoria total de la partícula.
• Traslación espacial : Estas simetrías espaciales se representan mediante transformaciones de la forma r → → r → + a → y describen aquellas situaciones en las que una propiedad del sistema no cambia con un cambio continuo de ubicación. Por ejemplo, la temperatura de una habitación puede ser independiente de la ubicación del termómetro en la habitación.
• Rotación espacial : estas simetrías espaciales se clasifican como rotaciones propias y rotaciones impropias . Las primeras son simplemente las rotaciones "ordinarias"; matemáticamente, se representan mediante matrices cuadradas con determinante unitario . Las últimas se representan mediante matrices cuadradas con determinante −1 y consisten en una rotación propia combinada con una reflexión espacial ( inversión ). Por ejemplo, una esfera tiene simetría rotacional propia. Otros tipos de rotaciones espaciales se describen en el artículo Simetría de rotación .
• Transformaciones de Poincaré : Son simetrías espacio-temporales que conservan las distancias en el espacio-tiempo de Minkowski , es decir, son isometrías del espacio de Minkowski. Se estudian fundamentalmente en relatividad especial . Aquellas isometrías que dejan fijo el origen se denominan transformaciones de Lorentz y dan lugar a la simetría conocida como covarianza de Lorentz .
• Simetrías proyectivas : son simetrías espacio-temporales que preservan la estructura geodésica del espacio-tiempo . Pueden definirse en cualquier variedad uniforme, pero encuentran muchas aplicaciones en el estudio de soluciones exactas en relatividad general .
• Transformaciones de inversión : son simetrías espacio-temporales que generalizan las transformaciones de Poincaré para incluir otras transformaciones conformes biunívocas en las coordenadas espacio-temporales. Las longitudes no son invariantes en las transformaciones de inversión , pero existe una relación cruzada en cuatro puntos que es invariante.

Matemáticamente, las simetrías del espacio-tiempo se describen generalmente mediante campos vectoriales suaves en una variedad suave . Los difeomorfismos locales subyacentes asociados con los campos vectoriales corresponden más directamente a las simetrías físicas, pero los campos vectoriales en sí mismos se utilizan con más frecuencia al clasificar las simetrías del sistema físico.

Algunos de los campos vectoriales más importantes son los campos vectoriales de Killing , que son aquellas simetrías espaciotemporales que preservan la estructura métrica subyacente de una variedad. En términos generales, los campos vectoriales de Killing preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera de la variedad y suelen recibir el nombre de isometrías .

Una simetría discreta es una simetría que describe cambios no continuos en un sistema. Por ejemplo, un cuadrado posee simetría rotacional discreta, ya que solo las rotaciones en múltiplos de ángulos rectos conservarán la apariencia original del cuadrado. Las simetrías discretas a veces implican algún tipo de "intercambio", estos intercambios generalmente se denominan reflexiones o intercambios .

• Inversión del tiempo : Muchas leyes de la física describen fenómenos reales cuando se invierte la dirección del tiempo. Matemáticamente, esto se representa mediante la transformación,. Por ejemplo, la segunda ley del movimiento de Newton sigue siendo válida si, en la ecuación,se reemplaza por. Esto se puede ilustrar registrando el movimiento de un objeto lanzado verticalmente (sin tener en cuenta la resistencia del aire) y luego reproduciéndolo. El objeto seguirá la misma trayectoria parabólica a través del aire, ya sea que la grabación se reproduzca de manera normal o inversa. Por lo tanto, la posición es simétrica con respecto al instante en que el objeto está en su altura máxima.${\displaystyle t\,\rightarrow -t}$${\displaystyle F\,=m{\ddot {r}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle -t}$
• Inversión espacial : se representan mediante transformaciones de la formae indican una propiedad de invariancia de un sistema cuando las coordenadas están "invertidas". Dicho de otra manera, son simetrías entre un determinado objeto y su imagen especular .${\displaystyle {\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}}$
• Reflexión de deslizamiento : se representan mediante una composición de una traslación y una reflexión. Estas simetrías se dan en algunos cristales y en algunas simetrías planares, conocidas como simetrías de papel tapiz .

El modelo estándar de física de partículas tiene tres cuasi-simetrías naturales relacionadas entre sí. Estas afirman que el universo en el que vivimos debería ser indistinguible de uno en el que se introduce un determinado tipo de cambio.

• C-simetría (simetría de carga), un universo donde cada partícula es reemplazada por su antipartícula .
• P-simetría (simetría de paridad), un universo en el que todo se refleja a lo largo de los tres ejes físicos. Esto excluye las interacciones débiles, como demostró Chien-Shiung Wu .

• Simetría T (simetría de inversión del tiempo), un universo en el que la dirección del tiempo está invertida. La simetría T es contraintuitiva (el futuro y el pasado no son simétricos), pero se explica por el hecho de que el Modelo Estándar describe propiedades locales, no globales como la entropía . Para invertir correctamente la dirección del tiempo, habría que poner el Big Bang y el estado de baja entropía resultante en el "futuro". Dado que percibimos el "pasado" ("futuro") como si tuviera una entropía menor (mayor) que el presente, los habitantes de este hipotético universo con el tiempo invertido percibirían el futuro de la misma manera que percibimos el pasado, y viceversa.

Estas simetrías son casi simetrías porque cada una de ellas está rota en el universo actual. Sin embargo, el Modelo Estándar predice que la combinación de las tres (es decir, la aplicación simultánea de las tres transformaciones) debe ser una simetría, llamada simetría CPT . La violación CP , la violación de la combinación de simetría C y P, es necesaria para la presencia de cantidades significativas de materia bariónica en el universo. La violación CP es un área fructífera de la investigación actual en física de partículas .

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Un tipo de simetría conocida como supersimetría se ha utilizado para intentar hacer avances teóricos en el Modelo Estándar. La supersimetría se basa en la idea de que existe otra simetría física más allá de las ya desarrolladas en el Modelo Estándar, en concreto una simetría entre bosones y fermiones . La supersimetría afirma que cada tipo de bosón tiene, como compañero supersimétrico, un fermión, llamado supercompañero, y viceversa. La supersimetría aún no se ha verificado experimentalmente: ninguna partícula conocida tiene las propiedades correctas para ser supercompañero de ninguna otra partícula conocida. Actualmente, el LHC se está preparando para una prueba que pondrá a prueba la supersimetría.

Las simetrías generalizadas abarcan una serie de generalizaciones recientemente reconocidas del concepto de simetría global, entre ellas las simetrías de forma superior, las simetrías de grupo superior, las simetrías no invertibles y las simetrías de subsistema. ^[1]

Las transformaciones que describen simetrías físicas suelen formar un grupo matemático . La teoría de grupos es un área importante de las matemáticas para los físicos.

Las simetrías continuas se especifican matemáticamente mediante grupos continuos (llamados grupos de Lie ). Muchas simetrías físicas son isometrías y se especifican mediante grupos de simetría. A veces, este término se utiliza para tipos más generales de simetrías. El conjunto de todas las rotaciones propias (alrededor de cualquier ángulo) a través de cualquier eje de una esfera forman un grupo de Lie llamado grupo ortogonal especial SO(3). (El '3' se refiere al espacio tridimensional de una esfera ordinaria). Por lo tanto, el grupo de simetría de la esfera con rotaciones propias es SO(3). Cualquier rotación conserva las distancias en la superficie de la bola. El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman un grupo llamado grupo de Lorentz (que puede generalizarse al grupo de Poincaré ).

Los grupos discretos describen simetrías discretas. Por ejemplo, las simetrías de un triángulo equilátero se caracterizan por el grupo simétrico S ₃ .

Un tipo de teoría física basada en simetrías locales se denomina teoría de calibración y las simetrías naturales de dicha teoría se denominan simetrías de calibración . Las simetrías de calibración en el Modelo Estándar , utilizadas para describir tres de las interacciones fundamentales , se basan en el grupo SU(3) × SU(2) × U(1) . (En términos generales, las simetrías del grupo SU(3) describen la fuerza fuerte , el grupo SU(2) describe la interacción débil y el grupo U(1) describe la fuerza electromagnética ).

Además, la reducción por simetría de la energía funcional bajo la acción de un grupo y la ruptura espontánea de la simetría de las transformaciones de grupos simétricos parecen dilucidar temas de la física de partículas (por ejemplo, la unificación del electromagnetismo y la fuerza débil en la cosmología física ).

Las propiedades de simetría de un sistema físico están íntimamente relacionadas con las leyes de conservación que caracterizan a ese sistema. El teorema de Noether proporciona una descripción precisa de esta relación. El teorema establece que cada simetría continua de un sistema físico implica que alguna propiedad física de ese sistema se conserva. A la inversa, cada cantidad conservada tiene una simetría correspondiente. Por ejemplo, la simetría de traslación espacial (es decir, la homogeneidad del espacio) da lugar a la conservación del momento (lineal) , y la simetría de traslación temporal (es decir, la homogeneidad del tiempo) da lugar a la conservación de la energía .

La siguiente tabla resume algunas simetrías fundamentales y la cantidad conservada asociada.

Las simetrías continuas en física preservan las transformaciones. Se puede especificar una simetría mostrando cómo una transformación muy pequeña afecta a varios campos de partículas . El conmutador de dos de estas transformaciones infinitesimales es equivalente a una tercera transformación infinitesimal del mismo tipo, por lo que forman un álgebra de Lie .

Una transformación de coordenadas general descrita como campo general (también conocido como difeomorfismo ) tiene un efecto infinitesimal en un campo escalar , espinorial o vectorial que se puede expresar (usando la convención de suma de Einstein ):${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle \delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)}$

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)}$

Sin gravedad sólo se conservan las simetrías de Poincaré que se limitan a tener la forma:${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }}$

donde M es una matriz antisimétrica (que da las simetrías de Lorentz y rotacional) y P es un vector general (que da las simetrías traslacionales). Otras simetrías afectan a múltiples campos simultáneamente. Por ejemplo, las transformaciones de calibre locales se aplican tanto a un campo vectorial como a un campo de espinores:

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),}$

donde son generadores de un grupo de Lie particular . Hasta ahora, las transformaciones de la derecha solo han incluido campos del mismo tipo. Las supersimetrías se definen según cómo se mezclan los campos de diferentes tipos.${\displaystyle \tau }$

Otra simetría que forma parte de algunas teorías de la física y no de otras es la invariancia de escala, que implica transformaciones de Weyl del siguiente tipo:

${\displaystyle \delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)}$

Si los campos tienen esta simetría, se puede demostrar que la teoría de campos es casi con certeza también invariante conformemente. Esto significa que en ausencia de gravedad h(x) estaría restringida a la forma:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },}$

donde D genera transformaciones de escala y K genera transformaciones conformes especiales. Por ejemplo, la teoría de Yang-Mills N = 4 super- tiene esta simetría, mientras que la relatividad general no la tiene, aunque otras teorías de la gravedad, como la gravedad conforme, sí la tienen. La "acción" de una teoría de campo es un invariante bajo todas las simetrías de la teoría. Gran parte de la física teórica moderna tiene que ver con especular sobre las diversas simetrías que puede tener el Universo y encontrar los invariantes para construir teorías de campo como modelos.

En las teorías de cuerdas, dado que una cuerda puede descomponerse en un número infinito de campos de partículas, las simetrías en la capa del mundo de cuerdas son equivalentes a transformaciones especiales que mezclan un número infinito de campos.

• Las conferencias de Feynman sobre física, vol. I, cap. 52: Simetría en las leyes físicas
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Simetría", por K. Brading y E. Castellani.
• Ayudas pedagógicas para la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace al Capítulo 6: Simetría, invariancia y conservación para obtener una introducción simplificada, paso a paso, a la simetría en física.