Sólido de revolución

En geometría , un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene al rotar una figura plana alrededor de una línea recta (el eje de revolución ), que no puede intersecar a la generatriz (excepto en su límite). La superficie creada por esta revolución y que limita el sólido es la superficie de revolución .

Suponiendo que la curva no cruza el eje, el volumen del sólido es igual a la longitud del círculo descrito por el centroide de la figura multiplicado por el área de la figura ( segundo teorema del centroide de Pappus ).

Un disco representativo es un elemento de volumen tridimensional de un sólido de revolución. El elemento se crea al rotar un segmento de línea (de longitud w ) alrededor de un eje (ubicado a r unidades de distancia), de modo que se encierra un volumen cilíndrico de π r ² w unidades.

Dos métodos comunes para hallar el volumen de un sólido de revolución son el método del disco y el método de integración de capas . Para aplicar estos métodos, lo más fácil es dibujar el gráfico en cuestión; identificar el área que se va a girar alrededor del eje de revolución; determinar el volumen de una porción del sólido en forma de disco, con un espesor δx , o de una capa cilíndrica de ancho δx ; y luego hallar la suma límite de estos volúmenes cuando δx se acerca a 0, un valor que se puede hallar evaluando una integral adecuada. Se puede dar una justificación más rigurosa al intentar evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas con dos órdenes de integración diferentes.

El método del disco se utiliza cuando el corte que se dibuja es perpendicular al eje de revolución, es decir, cuando se integra paralelamente al eje de revolución.

El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de f ( y ) y g ( y ) y las líneas y = a e y = b alrededor del eje y está dado por Si g ( y ) = 0 (por ejemplo, girando un área entre la curva y el eje y ), esto se reduce a:$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\izquierda|f(y)^{2}-g(y)^{2}\derecha|\,dy\,.}$$$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.}$$

El método puede visualizarse considerando un rectángulo horizontal delgado en y entre f ( y ) en la parte superior y g ( y ) en la parte inferior, y girándolo alrededor del eje y ; forma un anillo (o disco en el caso de que g ( y ) = 0 ), con radio exterior f ( y ) y radio interior g ( y ) . El área de un anillo es π( R ² − r ² ) , donde R es el radio exterior (en este caso f ( y ) ), y r es el radio interior (en este caso g ( y ) ). El volumen de cada disco infinitesimal es, por lo tanto, π f ( y ) ² dy . El límite de la suma de Riemann de los volúmenes de los discos entre a y b se vuelve integral (1).

Suponiendo la aplicabilidad del teorema de Fubini y la fórmula de cambio de variables multivariadas, el método del disco se puede derivar de manera directa mediante (denotando el sólido como D):$${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz}$$

El método de la cáscara (a veces denominado "método del cilindro") se utiliza cuando el corte que se dibujó es paralelo al eje de revolución, es decir, cuando se integra perpendicularmente al eje de revolución.

El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de f ( x ) y g ( x ) y las líneas x = a y x = b alrededor del eje y está dado por Si g ( x ) = 0 (por ejemplo, girando un área entre la curva y el eje y), esto se reduce a:$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}$$$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}$$

El método se puede visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con una altura f ( x ) − g ( x ) , y haciéndolo girar alrededor del eje y ; forma una carcasa cilíndrica. El área de la superficie lateral de un cilindro es 2π rh , donde r es el radio (en este caso x ), y h es la altura (en este caso f ( x ) − g ( x ) ). Sumando todas las áreas de superficie a lo largo del intervalo se obtiene el volumen total.

Este método se puede derivar con la misma integral triple, esta vez con un orden de integración diferente:$${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}$$

Cuando una curva se define por su forma paramétrica ( x ( t ), y ( t )) en algún intervalo [ a , b ] , los volúmenes de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o del eje y se dan por ^[1]$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

En las mismas circunstancias, las áreas de las superficies de los sólidos generadas al girar la curva alrededor del eje x o del eje y están dadas por ^[2]$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Esto también se puede derivar de la integración multivariable. Si una curva plana está dada por entonces su superficie de revolución correspondiente cuando gira alrededor del eje x tiene coordenadas cartesianas dadas por con . Entonces el área de la superficie está dada por la integral de superficie${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ $${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

Al calcular las derivadas parciales se obtiene y al calcular el producto vectorial se obtiene donde se utilizó la identidad trigonométrica . Con este producto vectorial, obtenemos donde se utilizó nuevamente la misma identidad trigonométrica. La derivación para una superficie obtenida al girar alrededor del eje y es similar.$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle }$$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$

Para una curva polar donde y , los volúmenes de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o del eje y son${\displaystyle r=f(\theta )}$${\displaystyle \alpha \leq \theta \leq \beta }$${\displaystyle f(\theta )\geq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}}$$

Se dan las áreas de las superficies de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje x o del eje y .$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}}$$

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• Cuerno de Gabriel
• Teorema de Guldinus
• Pseudosfera
• Superficie de revolución
• Ungula

• "Volúmenes de sólidos de revolución". CliffsNotes.com . 12 de abril de 2011. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2012.
• Ayres, Frank ; Mendelson, Elliott (2008). Cálculo . Esquemas de Schaum . McGraw-Hill Professional. págs. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2.( copia en línea , pág. 244, en Google Books )
• Weisstein, Eric W. "Sólido de revolución". MathWorld .