Diagrama de Euler

Un diagrama de Euler ( /ˈɔɪlər / , OY -lər ) es un medio diagramático para representar conjuntos y sus relaciones. Son particularmente útiles para explicar jerarquías complejas y definiciones superpuestas. Son similares a otra técnica de diagramación de conjuntos, los diagramas de Venn . A diferencia de los diagramas de Venn, que muestran todas las relaciones posibles entre diferentes conjuntos, los diagramas de Euler muestran solo las relaciones relevantes.

El primer uso de los "círculos eulerianos" se atribuye comúnmente al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). En los Estados Unidos, tanto los diagramas de Venn como los de Euler se incorporaron como parte de la enseñanza de la teoría de conjuntos como parte del movimiento de las nuevas matemáticas de la década de 1960. Desde entonces, también se han adoptado en otros campos curriculares, como la lectura ^[1], así como en organizaciones y empresas.

Los diagramas de Euler consisten en formas simples cerradas en un plano bidimensional , cada una de las cuales representa un conjunto o categoría. La forma en que estas formas se superponen o no demuestra las relaciones entre los conjuntos. Cada curva divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Las curvas que no se superponen representan conjuntos disjuntos , que no tienen elementos en común. Dos curvas que se superponen representan conjuntos que se intersecan , que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva completamente dentro del interior de otra es un subconjunto de ella.

Los diagramas de Venn son una forma más restrictiva de los diagramas de Euler. Un diagrama de Venn debe contener las 2 ⁿ zonas lógicamente posibles de superposición entre sus n curvas, que representan todas las combinaciones de inclusión/exclusión de sus conjuntos constituyentes. Las regiones que no forman parte del conjunto se indican coloreándolas de negro, a diferencia de los diagramas de Euler, donde la pertenencia al conjunto se indica mediante la superposición y el color.

Como se muestra en la ilustración de la derecha, Sir William Hamilton afirmó erróneamente que el uso original de los círculos para "sensualizar... las abstracciones de la lógica" ^[5] no fue de Euler (1707-1783) sino de Weise (1642-1708); ^[6] sin embargo, el último libro fue escrito en realidad por Johann Christian Lange, en lugar de Weise. ^{[2] [3] Hace referencia a} las Cartas a una princesa alemana de Euler . ^{[7] [a]}

En la ilustración de Hamilton de las cuatro proposiciones categóricas ^[8] que pueden aparecer en un silogismo , simbolizadas por los dibujos A , E , I y O , son:

A : LaAfirmativa Universal

Ejemplo: "Todos los metales son elementos".

E : ElNegativo Universal

Ejemplo: “Ningún metal es una sustancia compuesta”.

Yo : LaAfirmativa Particular

Ejemplo: “Algunos metales son frágiles”.

O : ElNegativo Particular

Ejemplo: “Algunos metales no son frágiles”. ^[8]

Venn (1834-1923) comenta sobre la notable prevalencia del diagrama de Euler:

"... de los primeros sesenta tratados lógicos, publicados durante el último siglo aproximadamente, que fueron consultados para este propósito –un poco al azar, ya que resultaron ser los más accesibles–, pareció que treinta y cuatro recurrían a la ayuda de diagramas, casi todos ellos haciendo uso del esquema euleriano ." ^[9]

Pero, sin embargo, sostuvo "la inaplicabilidad de este esquema para los propósitos de una lógica realmente general" ^{[9] (p. 100)} y luego señaló que,

“Encaja, aunque mal, incluso con las cuatro proposiciones de la lógica común a las que normalmente se aplica.” ^{[9] (p. 101)}

Venn termina su capítulo con la observación ilustrada en los ejemplos siguientes: que su uso se basa en la práctica y la intuición, no en una práctica algorítmica estricta:

“De hecho... esos diagramas no sólo no encajan en el esquema ordinario de proposiciones que se emplean para ilustrar, sino que no parecen tener ningún esquema reconocido de proposiciones al que podrían afiliarse consistentemente”. ^{[9] (pp 124-125)}

Finalmente, en su Venn llega a una crítica crucial (en cursiva en la cita siguiente); observe en la ilustración de Hamilton que la O ( Particular Negativa ) y la I ( Particular Afirmativa ) simplemente están rotadas:

“Llegamos ahora a los conocidos círculos de Euler, que fueron descritos por primera vez en sus Lettres a une Princesse d'Allemagne ( Cartas 102-105). ^{[7] (pp 102-105)} El punto débil de estos consiste en el hecho de que sólo ilustran en sentido estricto las relaciones reales de las clases entre sí, en lugar del conocimiento imperfecto de estas relaciones que podemos poseer, o desear transmitir, por medio de la proposición. En consecuencia, no encajarán con las proposiciones de la lógica común, sino que exigirán la constitución de un nuevo grupo de proposiciones elementales apropiadas. ... Este defecto debe haberse notado desde el principio en el caso de la afirmativa y la negativa particulares, ya que el mismo diagrama se utiliza comúnmente para representarlas a ambas, lo que hace indiferentemente bien ”. [cursiva añadida] ^{[11] [9] (p 100, nota al pie 1) [b]}

Sea como fuere, con estas observaciones y críticas, Venn ^{[9] (pp 100-125)} demuestra cómo derivó lo que se conoce como sus diagramas de Venn a partir de los “... antiguos diagramas de Euler”. En particular, Venn da un ejemplo, que se muestra a la izquierda.

En 1914, Couturat (1868-1914) había etiquetado los términos como se muestra en el dibujo de la derecha. ^[4] Además, también había etiquetado la región exterior (mostrada como a ' b ' c '). Explica sucintamente cómo utilizar el diagrama: hay que eliminar las regiones que deben desaparecer:

"El método de Venn se traduce en diagramas geométricos que representan todos los constituyentes, de modo que, para obtener el resultado, sólo necesitamos eliminar (sombreando) aquellos que desaparecen según los datos del problema". [cursiva añadida] ^{[4] (p. 73)}

Dadas las asignaciones de Venn, entonces, las áreas no sombreadas dentro de los círculos se pueden sumar para obtener la siguiente ecuación para el ejemplo de Venn:

" NO y es z y TODO x es y : por lo tanto, NO x es z " tiene la ecuación x ' y z ' + x y z ' + x ' y ' z para el área no sombreada dentro de los círculos (pero esto no es del todo correcto; vea el siguiente párrafo).

En Venn, el fondo que rodea los círculos no aparece: es decir, el término marcado como "0", x ' y ' z '. En ninguna parte se habla de ello ni se lo etiqueta, pero Couturat lo corrige en su dibujo. ^[4] La ecuación correcta debe incluir esta área no sombreada que se muestra en negrita:

" NO y es z y TODO x es y : por lo tanto NO x es z " tiene la ecuación x ' y z ' + x y z ' + x ' y ' z + x ' y ' z ' .

En el uso moderno, el diagrama de Venn incluye una "caja" que rodea todos los círculos; esto se llama el universo del discurso o el dominio del discurso .

Couturat ^[4] observó que, de manera algorítmica directa (formal, sistemática), no se pueden derivar ecuaciones booleanas reducidas, ni tampoco muestra cómo llegar a la conclusión " NO x es z ". Couturat concluyó que el proceso "tiene... serios inconvenientes como método para resolver problemas lógicos":

"No muestra cómo se presentan los datos cancelando ciertos constituyentes, ni muestra cómo combinar los constituyentes restantes para obtener las consecuencias buscadas. En resumen, sólo sirve para mostrar un solo paso en el argumento, a saber, la ecuación del problema; no prescinde ni de los pasos anteriores, es decir, "la transformación del problema en una ecuación" y la transformación de las premisas, ni de los pasos posteriores, es decir, las combinaciones que conducen a las diversas consecuencias. Por lo tanto, es de muy poca utilidad, ya que los constituyentes pueden representarse mediante símbolos algebraicos tan bien como mediante regiones planas, y son mucho más fáciles de manejar en esta forma". ^{[4] (p. 75)}

Así, el asunto quedaría así hasta 1952, cuando Maurice Karnaugh (1924-2022) adaptaría y ampliaría un método propuesto por Edward W. Veitch ; este trabajo se basaría en el método de la tabla de verdad definido con precisión por Emil Post ^[12] y en la aplicación de la lógica proposicional a la lógica de conmutación por (entre otros) Shannon , Stibitz y Turing . ^[c] Por ejemplo, Hill y Peterson (1968) ^[13] presentan el diagrama de Venn con sombreado y todo. Dan ejemplos de diagramas de Venn para resolver problemas de circuitos de conmutación de ejemplo, pero terminan con esta afirmación:

"Para más de tres variables, la forma ilustrativa básica del diagrama de Venn es inadecuada. Sin embargo, son posibles extensiones, la más conveniente de las cuales es el mapa de Karnaugh, que se analizará en el Capítulo 6". ^{[13] (p. 64)}

En el Capítulo 6, sección 6.4 “Representación del mapa de Karnaugh de funciones booleanas” comienzan con:

"El mapa de Karnaugh ¹ [ ¹ Karnaugh 1953] es una de las herramientas más poderosas en el repertorio del diseñador lógico. ... Un mapa de Karnaugh puede considerarse como una forma pictórica de una tabla de verdad o como una extensión del diagrama de Venn". ^{[13] (pp 103–104)}

La historia del desarrollo del método de "gráfico" o "mapa" de Karnaugh es oscura. La cadena de citas se convierte en un juego académico de "crédito, crédito; ¿quién tiene el crédito?": Karnaugh (1953) hizo referencia a Veitch (1952), Veitch, hizo referencia a Shannon (1938), ^[14] y Shannon (1938), a su vez hizo referencia (entre otros autores de textos de lógica) a Couturat (1914). En el método de Veitch las variables se disponen en un rectángulo o cuadrado; como se describe en el mapa de Karnaugh , Karnaugh en su método cambió el orden de las variables para que se correspondan con lo que se ha conocido como (los vértices de) un hipercubo .

Los diagramas de Venn son una forma más restrictiva de los diagramas de Euler. Un diagrama de Venn debe contener las 2 ⁿ zonas lógicamente posibles de superposición entre sus n curvas, que representan todas las combinaciones de inclusión/exclusión de sus conjuntos constituyentes. Las regiones que no forman parte del conjunto se indican coloreándolas de negro, a diferencia de los diagramas de Euler, donde la pertenencia al conjunto se indica mediante la superposición y el color. Cuando el número de conjuntos supera los 3, un diagrama de Venn se vuelve visualmente complejo, especialmente en comparación con el diagrama de Euler correspondiente. La diferencia entre los diagramas de Euler y Venn se puede ver en el siguiente ejemplo. Tomemos los tres conjuntos:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Los diagramas de Euler y Venn de esos conjuntos son:

• 
  Diagrama de Euler
• 
  Diagrama de Venn

En un contexto lógico, se puede utilizar la semántica de la teoría de modelos para interpretar los diagramas de Euler, dentro de un universo de discurso . En los ejemplos siguientes, el diagrama de Euler representa que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos ya que las curvas correspondientes son disjuntas, y también que el conjunto Four Legs es un subconjunto del conjunto de Animal s. El diagrama de Venn, que utiliza las mismas categorías de Animal , Mineral y Four Legs , no encapsula estas relaciones. Tradicionalmente, el vacío de un conjunto en los diagramas de Venn se representa mediante el sombreado en la región. Los diagramas de Euler representan el vacío ya sea mediante el sombreado o por la ausencia de una región.

A menudo se impone un conjunto de condiciones de buena formación; se trata de restricciones topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede imponer la conectividad de zonas, o se puede prohibir la concurrencia de curvas o de puntos múltiples, así como la intersección tangencial de curvas. En el diagrama adyacente, ejemplos de diagramas de Venn pequeños se transforman en diagramas de Euler mediante secuencias de transformaciones; algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, este tipo de transformación de un diagrama de Venn con sombreado en un diagrama de Euler sin sombreado no siempre es posible. Hay ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no se pueden dibujar utilizando curvas cerradas simples sin la creación de zonas no deseadas, ya que tendrían que tener gráficos duales no planos.

Este ejemplo muestra los diagramas de Euler y Venn y el mapa de Karnaugh que derivan y verifican la deducción "No hay X que sea Z ". En la ilustración y la tabla se utilizan los siguientes símbolos lógicos:

• 1 puede leerse como "verdadero", 0 como "falso"
• ~ para NO y abreviado como ' cuando se ilustran los mintérminos, p. ej. x' = _definido NO x,
• + para OR booleano (del álgebra booleana : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1)
• & (AND lógico) entre proposiciones; en los mintérminos, AND se omite de manera similar a la multiplicación aritmética: p. ej., x'y'z = _definido ~x & ~y & z (Del álgebra de Boole: 0⋅0 = 0, 0⋅1 = 1⋅0 = 0, 1⋅1 = 1, donde se muestra "⋅" para mayor claridad)
• → (IMPLICACIÓN lógica): se lee como SI... ENTONCES..., o "IMPLICA", P → Q =  _definido NO P O Q

Dada una conclusión propuesta como "No X es un Z ", se puede comprobar si es o no una deducción correcta mediante el uso de una tabla de verdad . El método más fácil es poner la fórmula inicial a la izquierda (abreviada como P ) y poner la (posible) deducción a la derecha (abreviada como Q ) y conectar las dos con una implicación lógica , es decir, P → Q , que se lee como SI P ENTONCES Q. Si la evaluación de la tabla de verdad produce todos los 1 bajo el signo de implicación (→, el llamado conectivo mayor ), entonces P → Q es una tautología . Dado este hecho, se puede "separar" la fórmula de la derecha (abreviada como Q ) de la manera descrita debajo de la tabla de verdad.

Dado el ejemplo anterior, la fórmula para los diagramas de Euler y Venn es:

"Ninguna Y es Z " y "Todas las X son Y ": ( ~(y & z) & (x → y) ) = P _definido

Y la deducción propuesta es:

"No hay X que sean Z ": ( ~ (x & z) ) = Q _definido

Ahora la fórmula a evaluar se puede abreviar a:

( ~(y y z) y (x → y) ) → ( ~ (x y z) ): P → Q

SI ( "Ninguna Y es Z " y "Todas las X son Y ") ENTONCES ( "Ninguna X es Z ")

En este punto, la implicación anterior P → Q (es decir, ~(y & z) & (x → y) ) → ~(x & z) ) sigue siendo una fórmula, y la deducción –la “separación” de Q de P → Q– no ha ocurrido. Pero dada la demostración de que P → Q es una tautología, el escenario está ahora listo para el uso del procedimiento de modus ponens para “separar” Q: “Ninguna X es Z ” y prescindir de los términos de la izquierda. ^{[nb 1]}

El modus ponens (o "la regla fundamental de inferencia" ^[15] ) se escribe a menudo de la siguiente manera: Los dos términos de la izquierda, P → Q y P , se llaman premisas (por convención unidas por una coma), el símbolo ⊢ significa "rendimientos" (en el sentido de deducción lógica), y el término de la derecha se llama conclusión :

P → Q , P ⊢ Q

Para que el modus ponens tenga éxito, ambas premisas P → Q y P deben ser verdaderas . Porque, como se demostró anteriormente, la premisa P → Q es una tautología, la "verdad" siempre es el caso sin importar cómo se valoren x, y y z, pero la "verdad" solo es el caso para P en aquellas circunstancias en las que P se evalúa como "verdadera" (por ejemplo, filas 0 O 1 O 2 O 6 : x'y'z' + x'y'z + x'yz' + xyz' = x'y' + yz'). ^{[nb 2]}

P → Q , P ⊢ Q

• es decir: ( ~(y & z) & (x → y) ) → ( ~ (x & z) ), ( ~(y & z) & (x → y) ) ⊢ ( ~ (x & z) )
• es decir: SI "Ninguna Y es Z " y "Todas las X son Y " ENTONCES "Ninguna X es Z ", "Ninguna Y es Z " y "Todas las X son Y " ⊢ "Ninguna X es Z "

Ahora uno es libre de "separar" la conclusión "No hay X que sea Z ", tal vez para usarla en una deducción posterior (o como tema de conversación).

El uso de la implicación tautológica significa que existen otras posibles deducciones además de "No hay X que sean Z "; el criterio para una deducción exitosa es que los 1 bajo el conector submayor de la derecha incluyan todos los 1 bajo el conector submayor de la izquierda (el conector mayor es la implicación que resulta en la tautología). Por ejemplo, en la tabla de verdad, en el lado derecho de la implicación (→, el símbolo del conector mayor) la columna en negrita debajo del símbolo del conector submayor " ~ " tiene todos los mismos 1 que aparecen en la columna en negrita debajo del conector submayor del lado izquierdo & (filas 0 , 1 , 2 y 6 ), más dos más (filas 3 y 4 ).

Diagrama de Euler que muestra las relaciones entre varias organizaciones y acuerdos multinacionales europeos

• en
• a
• mi

• 
  Un diagrama de Venn que muestra todas las intersecciones posibles
• 
  Diagrama de Euler que visualiza una situación real, las relaciones entre varias organizaciones supranacionales europeas ( versión interactiva )
• 
  Diagrama humorístico que compara los diagramas de Euler y Venn
• 
  Diagrama de Euler de tipos de triángulos , utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos (en lugar de exactamente) 2 lados iguales
• 
  Diagrama de Euler de la terminología de las Islas Británicas
• 
  Diagrama de Euler que clasifica los diferentes tipos de metaheurísticas
• 
  Diagrama de Euler que muestra la relación entre homógrafos, homófonos y sinónimos
• 
  Los 22 (de 256) diagramas de Venn esencialmente diferentes con 3 círculos (arriba) y sus diagramas de Euler correspondientes. (abajo)
  Algunos de los diagramas de Euler no son típicos; algunos incluso son equivalentes a los diagramas de Venn. Las áreas están sombreadas para indicar que no contienen elementos.
• 
  Diagrama de relaciones de los animales vertebrados de Henri Milne-Edwards (1844), ilustrado como una serie de conjuntos anidados
• 
  Diagrama de Euler de números menores de 100

• Interseccionalidad
• Caja de arcoiris
• Diagrama de araña : una extensión de los diagramas de Euler que añade existencia a las intersecciones de contornos
• Modelo de tres círculos
• Trama de UpSet

• Couturat, Louis (1914). El álgebra de la lógica: traducción inglesa autorizada por Lydia Gillingham Robinson con un prefacio de Philip EB Jourdain . Chicago y Londres: The Open Court Publishing Company .
• Sir William Hamilton (1860). Mansel, Henry Longueville ; Veitch, John (eds.). Lecciones sobre metafísica y lógica . Edimburgo y Londres: William Blackwood and Sons .
• Jevons, W. Stanley (1880). Lecciones elementales de lógica: deductiva e inductiva. Con abundantes preguntas y ejemplos, y un vocabulario de términos lógicos . Londres y Nueva York: MA MacMillan and Co.
• Karnaugh, Maurice (noviembre de 1953) [23 de abril de 1953, 17 de marzo de 1953]. "El método de mapas para la síntesis de circuitos lógicos combinacionales" (PDF) . Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part I: Communication and Electronics . 72 (5): 593–599. doi :10.1109/TCE.1953.6371932. S2CID  51636736. Documento 53-217. Archivado desde el original (PDF) el 16 de abril de 2017 . Consultado el 16 de abril de 2017 .
• Sandifer, Ed (enero de 2004). "Cómo lo hizo Euler" (PDF) . maa.org . Archivado desde el original (PDF) el 26 de enero de 2013.

• Veitch, Edward Westbrook (3 de mayo de 1952) [2 de mayo de 1952]. "Un método gráfico para simplificar funciones de verdad". Actas de la reunión nacional de la ACM de 1952 (Pittsburgh) en - ACM '52 . Nueva York, EE. UU.: Association for Computing Machinery . págs. 127–133. doi :10.1145/609784.609801. S2CID  17284651.

Por fecha de publicación:

• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1913 1.ª edición, 1927 2.ª edición Principia Mathematica hasta *56 Cambridge At The University Press (edición de 1962), Reino Unido, sin ISBN.
• Emil Post 1921 "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" reimpreso con comentarios de Jean van Heijenoort en Jean van Heijenoort, editor 1967 De Frege a Gödel: un libro de fuentes de lógica matemática, 1879-1931 , Harvard University Press , Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.) 
• Claude E. Shannon 1938 "Un análisis simbólico de circuitos de conmutación y relés", Transactions American Institute of Electrical Engineers vol 57, págs. 471–495. Derivado de Claude Elwood Shannon: Collected Papers editado por NJA Solane y Aaron D. Wyner, IEEE Press , Nueva York.
• Hans Reichenbach 1947 Elementos de lógica simbólica republicado en 1980 por Dover Publications, Inc. , NY, ISBN 0-486-24004-5 . 
• Frederich J. Hill y Gerald R. Peterson 1968, 1974 Introducción a la teoría de conmutación y diseño lógico , John Wiley & Sons , NY, ISBN 978-0-471-39882-0 . 

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Diagramas de Euler .

• Diagramas de Euler. Brighton, Reino Unido (2004). ¿Qué son los diagramas de Euler?