Sistema dual

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En matemáticas , un sistema dual , un par dual o una dualidad sobre un cuerpo es una tripleta que consta de dos espacios vectoriales , y , sobre y una función bilineal no degenerada . ${\displaystyle \mathbb {K}}$${\estilo de visualización (X,Y,b)}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle \mathbb {K}}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$

En matemáticas , la dualidad es el estudio de los sistemas duales y es importante en el análisis funcional . La dualidad desempeña un papel crucial en la mecánica cuántica porque tiene amplias aplicaciones en la teoría de los espacios de Hilbert .

AEl emparejamiento oparsobre un cuerpoes un tripleque también se puede denotar por queconsta de dos espacios vectorialesysobrey unafunción bilinealllamadafunción bilineal asociada con el emparejamiento,^[1]funcióndel emparejamientoo su forma bilineal . Los ejemplos aquí solo describen cuándoson losnúmeros realeso losnúmeros complejos, pero la teoría matemática es general.${\displaystyle \mathbb {K}}$${\estilo de visualización (X,Y,b),}$${\displaystyle b(X,Y),}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle \mathbb {K}}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$

Para cada , define y para cada define Cada es un funcional lineal en y cada es un funcional lineal en . Por lo tanto, ambos forman espacios vectoriales de funcionales lineales .${\displaystyle x\en X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$${\displaystyle y\en Y,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\en X\}\qquad {\text{ y }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\en Y\},}$$

Es una práctica común escribir en lugar de , en la que en algunos casos el emparejamiento puede denotarse por en lugar de . Sin embargo, este artículo reservará el uso de para el mapa de evaluación canónica (definido a continuación) a fin de evitar confusiones para los lectores que no estén familiarizados con este tema.${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle b(x,y)}$${\displaystyle \izquierda\ángulo X,Y\derecha\ángulo}$${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Un emparejamiento se llama${\estilo de visualización (X,Y,b)}$sistema dual , unpar dual , ^[2] o undualidad sobresi la forma bilineal no es degenerada , lo que significa que satisface los dos axiomas de separación siguientes:${\displaystyle \mathbb {K}}$ ${\estilo de visualización b}$

1. ${\estilo de visualización Y}$ separa (distingue) puntos de : si es tal que entonces ; o equivalentemente, para todo , el mapa no es idéntico (es decir, existe un tal que para cada );${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$${\estilo de visualización 0}$${\displaystyle y\en Y}$${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$${\displaystyle x\en X}$
2. ${\estilo de visualización X}$ separa (distingue) puntos de : si es tal que entonces ; o equivalentemente, para todo distinto de cero el mapa no es idéntico (es decir, existe un tal que para cada ).${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle y\en Y}$${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y\en Y,}$${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$${\estilo de visualización 0}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$${\displaystyle y\en Y}$

En este caso no es degenerado , y se puede decir que coloca y en dualidad (o, redundante pero explícitamente, en dualidad separada ), y se llama el emparejamiento de dualidad de la tripleta . ^{[1] [2]}${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización (X,Y,b)}$

Un subconjunto de se llama${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización Y}$total si para cada,implica Un subconjunto total dese define análogamente (ver nota al pie).^{[nota 1]}Por lo tanto,separa los puntos desi y solo sies un subconjunto total de, y de manera similar para.${\displaystyle x\en X}$$${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ para todos los }}s\en S}$$${\displaystyle x=0.}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

Los vectores y son ortogonales , escritos , si . Dos subconjuntos y son ortogonales , escritos , si ; es decir, si para todos y . La definición de un subconjunto que es ortogonal a un vector se define de manera análoga .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle x\perp y}$${\displaystyle b(x,y)=0}$${\displaystyle R\subseteq X}$${\displaystyle S\subseteq Y}$${\displaystyle R\perp S}$${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$${\displaystyle b(r,s)=0}$${\displaystyle r\en R}$${\displaystyle s\en S}$

El complemento ortogonal o aniquilador de un subconjunto es Por tanto, es un subconjunto total de si y sólo si es igual a .${\displaystyle R\subseteq X}$$${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R^{\perp }}$${\displaystyle \{0\}}$

Dado un triple que define un emparejamiento sobre , el conjunto polar absoluto o conjunto polar de un subconjunto de es el conjunto: Simétricamente , el conjunto polar absoluto o conjunto polar de un subconjunto de se denota por y se define por${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B^{\circ }}$$${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

Para utilizar una contabilidad que ayude a llevar un registro de la antisimetría de los dos lados de la dualidad, el polar absoluto de un subconjunto de también puede llamarse prepolar absoluto o prepolar de y luego puede denotarse por ^[3]${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ }.}$

El polar es necesariamente un conjunto convexo que contiene donde si está equilibrado entonces también lo está y si es un subespacio vectorial de entonces también lo es un subespacio vectorial de ^[4]${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle 0\in Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle Y.}$

Si es un subespacio vectorial de entonces y este también es igual a la polar real de Si entonces el bipolar de , denotado , es el polar del complemento ortogonal de , es decir, el conjunto De manera similar, si entonces el bipolar de es${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ \circ }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Dado un emparejamiento, defina un nuevo emparejamiento donde para todos y . ^[1]${\displaystyle (X,Y,b),}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$

Hay un tema consistente en la teoría de la dualidad: cualquier definición de un emparejamiento tiene una definición dual correspondiente para el emparejamiento.${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d).}$

Convención y definición : Dada cualquier definición de un emparejamiento , se obtiene una definición dual al aplicarla al emparejamiento. Estas convenciones también se aplican a los teoremas.${\displaystyle (X,Y,b),}$${\displaystyle (Y,X,d).}$

Por ejemplo, si " distingue puntos de " (resp. " es un subconjunto total de ") se define como arriba, entonces esta convención produce inmediatamente la definición dual de " distingue puntos de " (resp. " es un subconjunto total de ").${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

La siguiente notación es casi omnipresente y nos permite evitar asignar un símbolo a${\displaystyle d.}$

Convención y notación : si una definición y su notación para un emparejamiento dependen del orden de y (por ejemplo, la definición de la topología de Mackey en ), entonces al cambiar el orden de y se entiende que la definición se aplicó a (continuando con el mismo ejemplo, la topología en realidad denotaría la topología ).${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$

Para otro ejemplo, una vez que se define la topología débil en , denotada por , entonces esta definición dual se aplicaría automáticamente al emparejamiento para obtener la definición de la topología débil en , y esta topología se denotaría por en lugar de .${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$

Aunque técnicamente es incorrecto y un abuso de notación, este artículo se adherirá a la convención casi omnipresente de tratar un emparejamiento de manera intercambiable con y también de denotar por${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle (Y,X,d)}$${\displaystyle (Y,X,b).}$

Supongamos que es un emparejamiento, es un subespacio vectorial de y es un subespacio vectorial de . Entonces, la restricción de a es el emparejamiento . Si es una dualidad, entonces es posible que una restricción no sea una dualidad (por ejemplo, si y ).${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle M\times N}$${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle Y\neq \{0\}}$${\displaystyle N=\{0\}}$

En este artículo se utilizará la práctica común de denotar la restricción mediante${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$${\displaystyle (M,N,b).}$

Supóngase que es un espacio vectorial y sea el espacio dual algebraico de (es decir, el espacio de todos los funcionales lineales en ). Existe una dualidad canónica donde que se llama la función de evaluación o la función bilineal natural o canónica en Nótese en particular que para cualquier es simplemente otra forma de denotar ; es decir${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$${\displaystyle X\times X^{\#}.}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

Si es un subespacio vectorial de , entonces la restricción de a se llama emparejamiento canónico , donde si este emparejamiento es una dualidad, entonces se llama en cambio dualidad canónica . Claramente, siempre distingue puntos de , por lo que el emparejamiento canónico es un sistema dual si y solo si separa puntos de La siguiente notación es ahora casi omnipresente en la teoría de la dualidad.${\displaystyle N}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$${\displaystyle X\times N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X.}$

El mapa de evaluación se denotará por (en lugar de por ) y se escribirá en lugar de${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \langle X,N\rangle }$${\displaystyle (X,N,c).}$

Suposición : Como es práctica común, si es un espacio vectorial y es un espacio vectorial de funcionales lineales en entonces, a menos que se indique lo contrario, se asumirá que están asociados con el emparejamiento canónico.${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

Si es un subespacio vectorial de entonces distingue puntos de (o equivalentemente, es una dualidad) si y sólo si distingue puntos de o equivalentemente si es total (es decir, para todo implica ). ^[1]${\displaystyle N}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (X,N,c)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n(x)=0}$${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle x=0}$

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo. Entonces, la restricción de la dualidad canónica a × define un emparejamiento para el cual separa los puntos de Si separa los puntos de (lo cual es cierto si, por ejemplo, es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces este emparejamiento forma una dualidad. ^[2]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Suposición : Como se hace comúnmente, siempre que sea un TVS, a menos que se indique lo contrario, se asumirá sin comentarios que está asociado con el emparejamiento canónico.${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

El siguiente resultado muestra que los funcionales lineales continuos en un TVS son exactamente aquellos funcionales lineales que están limitados en un vecindario del origen.

Un espacio pre-Hilbert es un emparejamiento dual si y solo si es un espacio vectorial sobre o tiene dimensión. Aquí se supone que la forma sesquilínea es conjugada homogénea en su segunda coordenada y homogénea en su primera coordenada.${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• Si es un espacio de Hilbert real entonces forma un sistema dual.${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$
• Si es un espacio de Hilbert complejo , entonces forma un sistema dual si y solo si Si no es trivial, entonces ni siquiera forma emparejamiento ya que el producto interno es sesquilineal en lugar de bilineal. ^[1]${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Supongamos que es un espacio complejo pre-Hilbert con multiplicación escalar denotada como de costumbre por yuxtaposición o por un punto. Defina el mapa donde el lado derecho usa la multiplicación escalar de Sea el espacio vectorial conjugado complejo de donde denota el grupo aditivo de (por lo que la suma vectorial en es idéntica a la suma vectorial en ) pero con la multiplicación escalar en siendo el mapa (en lugar de la multiplicación escalar que está dotada de).${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle \cdot .}$$${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$${\displaystyle H.}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle (H,+)}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$${\displaystyle H}$

El mapa definido por es lineal en ambas coordenadas ^{[nota 2]} y por lo tanto forma un emparejamiento dual.${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$

• Supongamos que y para todo sea Entonces es un emparejamiento tal que distingue puntos de pero no distingue puntos de Además,${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$$${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• Sea (donde es tal que ), y Entonces es un sistema dual.${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$${\displaystyle (X,Y,b)}$
• Sean y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Entonces la forma bilineal coloca a y en dualidad. ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$
• Un espacio de secuencia y su dual beta con la función bilineal definida como para forman un sistema dual.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X^{\beta }}$

Supongamos que es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre Si entonces la topología débil en inducida por (y ) es la topología TVS más débil en denotada por o simplemente haciendo que todos los mapas sean continuos como rangos sobre ^[1] Si no está claro a partir del contexto, entonces se debe suponer que es todo en cuyo caso se llama topología débil en (inducida por ). La notación o (si no puede surgir ninguna confusión) simplemente se usa para denotar dotado con la topología débil Es importante destacar que la topología débil depende completamente de la función de la topología habitual en la estructura del espacio vectorial de y pero no de las estructuras algebraicas de${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle S\subseteq Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$${\displaystyle \sigma (X,S),}$${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}$${\displaystyle X_{\sigma }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,S,b).}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

De manera similar, si entonces la definición dual de la topología débil es inducida por (y ), que se denota por o simplemente (ver nota al pie para más detalles). ^{[nota 3]}${\displaystyle R\subseteq X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,R)}$

Definición y notación : Si " " se adjunta a una definición topológica (por ejemplo, -converge, -limita, etc.), entonces significa esa definición cuando el primer espacio (es decir , ) lleva la topología. La mención de o incluso y puede omitirse si no surge ninguna confusión. Entonces, por ejemplo, si una secuencia en " -converge" o "converge débilmente", esto significa que converge en mientras que si fuera una secuencia en , entonces esto significaría que converge en ).${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

La topología es localmente convexa ya que está determinada por la familia de seminormas definidas por como rangos sobre ^[1] Si y es una red en entonces -converge a si converge a en ^[1] Una red -converge a si y solo si para todo converge a Si es una secuencia de vectores ortonormales en el espacio de Hilbert, entonces converge débilmente a 0 pero no converge normativamente a 0 (o cualquier otro vector). ^[1]${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$${\displaystyle b(x,y).}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

Si es un emparejamiento y es un subespacio vectorial propio de tal que es un par dual, entonces es estrictamente más burdo que ^[1]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,N,b)}$${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

Un subconjunto de está acotado si y solo si donde${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$$${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}$

Si es un emparejamiento entonces los siguientes son equivalentes:${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle X}$distingue puntos de ;${\displaystyle Y}$
2. El mapa define una inyección desde en el espacio dual algebraico de ; ^[1]${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$es Hausdorff . ^[1]

El siguiente teorema es de importancia fundamental para la teoría de la dualidad porque caracteriza completamente el espacio dual continuo de${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

En consecuencia, el espacio dual continuo de es ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

Con respecto al emparejamiento canónico, si es un TVS cuyo espacio dual continuo separa puntos en (es decir, tal que es Hausdorff, lo que implica que también es necesariamente Hausdorff), entonces el espacio dual continuo de es igual al conjunto de todos los mapas de "evaluación en un punto" como rangos sobre (es decir, el mapa que envía a ). Esto se escribe comúnmente como Este hecho muy importante es la razón por la que los resultados para topologías polares en espacios duales continuos, como la topología dual fuerte en por ejemplo, también se pueden aplicar a menudo al TVS original ; por ejemplo, estar identificado con significa que la topología en puede pensarse en cambio como una topología en Además, si está dotado de una topología que es más fina que entonces el espacio dual continuo de necesariamente contendrá como un subconjunto. Así, por ejemplo, cuando está dotado de la topología dual fuerte (y por tanto se denota por ) entonces lo que (entre otras cosas) permite que esté dotado de la topología de subespacio inducida en él por, digamos, la topología dual fuerte (esta topología también se llama topología bidual fuerte y aparece en la teoría de espacios reflexivos : se dice que el TVS localmente convexo de Hausdorff es semirreflexivo si y se llamará reflexivo si además la topología bidual fuerte en es igual a la topología original/de partida de ).${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }(x)}$$${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$$${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Si es un emparejamiento entonces para cualquier subconjunto de :${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$y este conjunto es -cerrado; ^[1]${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^[1]
  • Por lo tanto, si es un subespacio vectorial cerrado de entonces${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• Si es una familia de subespacios vectoriales -cerrados de entonces ^[1]${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$
• Si es una familia de subconjuntos de entonces ^[1]${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$

Si es un espacio normado entonces bajo la dualidad canónica, es norma cerrada en y es norma cerrada en ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{\perp }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle S^{\perp \perp }}$${\displaystyle X.}$

Supongamos que es un subespacio vectorial de y sea la restricción de a La topología débil en es idéntica a la topología del subespacio que hereda de${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (M,Y,b)}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle M\times Y.}$${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Además, es un espacio emparejado (donde significa ) donde se define por${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$${\displaystyle Y/M^{\perp }}$${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$$${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

La topología es igual a la topología del subespacio que hereda de ^[5] Además, si es un sistema dual entonces también lo es ^[5]${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$

Supongamos que es un subespacio vectorial de Entonces es un espacio apareado donde se define por${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$$${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

La topología es idéntica a la topología cociente habitual inducida por [ ^5]${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$${\displaystyle X/M.}$

Si es un espacio localmente convexo y si es un subconjunto del espacio dual continuo , entonces está acotado si y solo si para algún barril en ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$

Los siguientes resultados son importantes para definir topologías polares.

Si es un emparejamiento y entonces: ^[1]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. El polar de es un subconjunto cerrado de${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. Las polares de los siguientes conjuntos son idénticas: (a) ; (b) la envoltura convexa de ; (c) la envoltura equilibrada de ; (d) la -clausura de ; (e) la -clausura de la envoltura convexa equilibrada de${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A.}$
3. El teorema bipolar : El bipolar de denotado por es igual al -cierre de la envoltura convexa equilibrada de${\displaystyle A,}$${\displaystyle A^{\circ \circ },}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A.}$
   • El teorema bipolar en particular "es una herramienta indispensable para trabajar con dualidades". ^[4]
4. ${\displaystyle A}$está acotado si y sólo si es absorbente en${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle Y.}$
5. Si además distingue puntos de entonces es - acotado si y sólo si es - totalmente acotado .${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$