Curva plana cuártica

En geometría algebraica , una curva plana de grado cuatro es una curva algebraica plana de grado cuatro . Puede definirse mediante una ecuación de grado cuatro bivariada :

${\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

con al menos uno de A, B, C, D, E no igual a cero. Esta ecuación tiene 15 constantes. Sin embargo, puede ser multiplicada por cualquier constante distinta de cero sin cambiar la curva; así, mediante la elección de una constante de multiplicación apropiada, cualquiera de los coeficientes puede establecerse en 1, dejando solo 14 constantes. Por lo tanto, el espacio de curvas cuárticas puede identificarse con el espacio proyectivo real ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}.}$ También se deduce, del teorema de Cramer sobre curvas algebraicas , que hay exactamente una curva cuártica que pasa por un conjunto de 14 puntos distintos en posición general , ya que una cuártica tiene 14 grados de libertad .

Una curva cuártica puede tener un máximo de:

• Cuatro componentes conectados
• Veintiocho bitangentes
• Tres puntos dobles ordinarios .

También se pueden considerar curvas cuárticas sobre otros cuerpos (o incluso anillos ), por ejemplo los números complejos . De esta manera, se obtienen superficies de Riemann , que son objetos unidimensionales sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ pero son bidimensionales sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Un ejemplo es la cuártica de Klein . Además, se pueden observar curvas en el plano proyectivo , dadas por polinomios homogéneos.

Varias combinaciones de coeficientes en la ecuación anterior dan lugar a varias familias importantes de curvas como se enumeran a continuación.

La curva ampersand es una curva plana cuártica dada por la ecuación:

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

Tiene género cero, con tres puntos dobles ordinarios, todos en el plano real. ^[1]

La curva de frijol es una curva plana cuártica con la ecuación:

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

La curva de frijol tiene género cero. Tiene una singularidad en el origen, un punto triple ordinario. ^{[2] [3]}

El bicúspide es una curva plana cuártica con la ecuación

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$

donde a determina el tamaño de la curva. El bicúspide tiene sólo las dos cúspides como singularidades, y por lo tanto es una curva de género uno. ^[4]

La curva de arco es una curva plana cuártica con la ecuación:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,}$

La curva de arco tiene un único punto triple en x = 0, y = 0 y, en consecuencia, es una curva racional, con género cero. ^[5]

La curva cruciforme , o curva cruzada , es una curva plana cuártica dada por la ecuación

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

donde a y b son dos parámetros que determinan la forma de la curva. La curva cruciforme está relacionada mediante una transformación cuadrática estándar, x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y con la elipse a ² x ² + b ² y ² = 1, y es por tanto una curva algebraica racional plana de género cero. La curva cruciforme tiene tres puntos dobles en el plano proyectivo real , en x = 0 e y = 0, x = 0 y z = 0, e y = 0 y z = 0. ^[6]

Como la curva es racional, se puede parametrizar mediante funciones racionales. Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, entonces

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

parametriza los puntos de la curva fuera de los casos excepcionales donde un denominador es cero.

El teorema de Pitágoras inverso se obtiene a partir de la ecuación anterior sustituyendo x por AC , y por BC , y cada a y b por CD , donde A , B son los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC , y D es el pie de una perpendicular trazada desde C , el vértice del ángulo recto, hasta la hipotenusa:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\\por lo tanto \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

Las secciones espíricas se pueden definir como curvas cuárticas bicirculares que son simétricas con respecto a los ejes x e y . Las secciones espíricas se incluyen en la familia de secciones tóricas e incluyen la familia de los hipópedos y la familia de los óvalos de Cassini . El nombre proviene de σπειρα que significa toro en griego antiguo.

La ecuación cartesiana se puede escribir como

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

y la ecuación en coordenadas polares como

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

El trébol de tres hojas o trifolium ^[7] es la curva del plano cuártico

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

Resolviendo para y , la curva se puede describir mediante la siguiente función:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

donde las dos apariciones de ± son independientes entre sí, dando hasta cuatro valores distintos de y para cada x .

La ecuación paramétrica de la curva es

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$^[8]

En coordenadas polares ( x = r  cos φ, y = r  sen φ) la ecuación es

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

Es un caso especial de curva rosa con k = 3. Esta curva tiene un punto triple en el origen (0, 0) y tiene tres tangentes dobles.

• Cuartico ternario
• Bitangentes de un cuarto grado