Cuatrillizo primo

En teoría de números , un cuaternario primo (a veces llamado cuádruple primo ) es un conjunto de cuatro números primos de la forma { p , p + 2, p + 6, p + 8}. ^[1] Esto representa la agrupación más cercana posible de cuatro primos mayores que 3, y es la única constelación de primos de longitud 4.

Los primeros ocho cuatrillizos primos son:

{ 5 , 7 , 11 , 13 }, { 11, 13, 17 , 19 }, { 101 , 103 , 107 , 109 }, { 191 , 193 , 197 , 199 }, { 821, 823, 827, 829}, { 1481, 1483, 1487, 1489}, { 1871, 1873, 1877, 1879}, { 2081, 2083, 2087, 2089} (secuencia A007530 en la OEIS )

Todos los cuatrillizos primos excepto {5, 7, 11, 13} tienen la forma {30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19} para algún entero n . (Esta estructura es necesaria para garantizar que ninguno de los cuatro primos sea divisible por 2, 3 o 5). Un cuatrillizo primo de esta forma también se denomina década prima .

Todas estas décadas primos tienen centros de la forma 210n + 15, 210n + 105 y 210n + 195, ya que los centros deben ser -1, 0 o +1 módulo 7. La forma +15 también puede dar lugar a un quintillo primo (alto); la forma +195 también puede dar lugar a un quintillo (bajo); mientras que la forma +105 puede producir ambos tipos de quintillos y posiblemente sextillos primos. No es casualidad que cada primo en una década primo esté desplazado de su centro por una potencia de 2, en realidad 2 o 4, ya que todos los centros son impares y divisibles tanto por 3 como por 5.

Un cuarteto primo puede describirse como un par consecutivo de primos gemelos , dos conjuntos superpuestos de tripletes primos o dos pares entremezclados de primos sexys . Estos primos "cuádruples" de 11 o más también forman el núcleo de los quintillizos y sextillizos primos al sumar o restar 8 de sus respectivos centros.

No se sabe si hay infinitos cuatrillizos primos. Una prueba de que hay infinitos implicaría la conjetura de los primos gemelos , pero es coherente con el conocimiento actual de que puede haber infinitos pares de primos gemelos y solo un número finito de cuatrillizos primos. El número de cuatrillizos primos con n dígitos en base 10 para n = 2, 3, 4, ... es

1, 3, 7, 27, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 (secuencia A120120 en la OEIS ).

A partir de febrero de 2019, ^[actualizar]el cuaternario primo más grande conocido tiene 10132 dígitos. ^[2] Comienza con p = 667674063382677 × 2 ³³⁶⁰⁸ − 1 , descubierto por Peter Kaiser.

La constante que representa la suma de los recíprocos de todos los cuatrillizos primos, la constante de Brun para cuatrillizos primos, denotada por B ₄ , es la suma de los recíprocos de todos los cuatrillizos primos:

$${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$$

con valor:

B ₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para primos primos , pares de primos de la forma ( p , p + 4) , que también se escribe B ₄ .

Se supone que el cuarteto primo {11, 13, 17, 19} aparece en el hueso Ishango, aunque esto es discutido.

Excluyendo el primer cuatrillizo primo, la distancia más corta posible entre dos cuatrillizos { p , p + 2, p + 6, p + 8} y { q , q + 2, q + 6, q + 8} es q - p  = 30. Las primeras apariciones de esto son para p = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061, ... ( OEIS : A059925 ).

El número de Skewes para cuatrillizos primos { p , p + 2, p + 6, p + 8} es 1172531 (Tóth (2019)).

Si { p , p + 2, p + 6, p + 8} es un cuaternario primo y p − 4 o p + 12 también es primo, entonces los cinco primos forman un quintillizo primo que es la constelación de cinco primos más cercana admisible. Los primeros quintillizos primos con p + 12 son:

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061 , 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, , 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {55331, 55333, 55337, 55339, 55343} … OEIS : A022006 .

Los primeros quintillizos primos con p − 4 son:

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647 , 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819} ... OEIS : 2007 .

Un quintillizo primo contiene dos pares cercanos de primos gemelos, un cuatrillizo primo y tres tripletes primos superpuestos.

No se sabe si hay infinitos números de quintillizos primos. Una vez más, demostrar la conjetura de los primos gemelos podría no demostrar necesariamente que también hay infinitos números de quintillizos primos. Asimismo, demostrar que hay infinitos números de cuatrillizos primos podría no demostrar necesariamente que hay infinitos números de quintillizos primos.

El número de Skewes para quintillizos primos { p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12} es 21432401 (Tóth (2019)).

Si tanto p − 4 como p + 12 son primos, entonces se convierte en un sextillizo de primos . Los primeros:

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 7 , 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793} OEIS : A022008

Algunas fuentes también denominan sextillizo de primos a {5, 7, 11, 13, 17, 19} . Nuestra definición, todos los casos de primos { p − 4, p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12}, se desprende de la definición de sextillizo de primos como la constelación admisible más cercana de seis primos.

Un sextillizo primo contiene dos pares cercanos de primos gemelos, un cuatrillizo primo, cuatro tripletes primos superpuestos y dos quintillizos primos superpuestos.

Todos los sextillos primos excepto {7, 11, 13, 17, 19, 23} tienen la forma de algún entero n . (Esta estructura es necesaria para garantizar que ninguno de los seis primos sea divisible por 2, 3, 5 o 7 ).$${\displaystyle \{210n+97,\ 210n+101,\ 210n+103,\ 210n+107,\ 210n+109,\ 210n+113\}}$$

No se sabe si hay infinitos sextillizos primos. Una vez más, probar la conjetura de los primos gemelos podría no probar necesariamente que también hay infinitos sextillizos primos. Además, probar que hay infinitos quintillizos primos podría no probar necesariamente que hay infinitos sextillizos primos.

El número de Skewes para el tuplete { p , p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16} es 251331775687 (Tóth (2019)).

Los cuatrillizos, quintillizos y sextillizos primos son ejemplos de constelaciones primos, y las constelaciones primos son a su vez ejemplos de k -tuplas primos. Una constelación primos es una agrupación de k primos, con un primo mínimo p y un primo máximo p + n , que cumple las dos condiciones siguientes:

• No todos los residuos módulo q están representados para ningún primo q
• Para cualquier k dado , el valor de n es el mínimo posible

De manera más general, una k -tupla prima ocurre si se cumple la primera condición, pero no necesariamente la segunda.