Icosiano

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En matemáticas , los icosianos son un conjunto específico de cuaterniones hamiltonianos con la misma simetría que el 600-cell . El término puede utilizarse para referirse a dos conceptos relacionados, pero distintos:

• Grupo icosiano : grupo multiplicativo de 120 cuaterniones, ubicado en los vértices de una celda de 600 con radio unitario. Este grupo es isomorfo al grupo icosaédrico binario de orden 120.
• El anillo icosiano : todas las sumas finitas de las 120 unidades icosianas.

Las 120 unidades icosianas, que forman el grupo icosiano, son todas permutaciones pares de:

• 8 icosianos de la forma ½(±2, 0, 0, 0)
• 16 icosianos de la forma ½(±1, ±1, ±1, ±1)
• 96 icosianos de la forma ½(0, ±1, ±1 /φ , ± φ )

En este caso, el vector ( a ,  b ,  c ,  d ) se refiere al cuaternión a  +  b i  +  c j  + d k , y φ representa la proporción áurea ( √ 5  + 1)/2. Estos 120 vectores forman los vértices de un 600-cell, cuyo grupo de simetría es el grupo de Coxeter H4 de orden 14400. Además, los 600 icosianos de norma 2 forman los vértices de un 120-cell . Otros subgrupos de icosianos corresponden al teseracto , 16-cell y 24-cell .

Los icosianos se encuentran en el campo áureo , ( a  +  b √ 5 ) + ( c  +  d √ 5 ) i  + ( e  +  f √ 5 ) j  + ( g  +  h √ 5 ) k , donde las ocho variables son números racionales . Este cuaternión es un icosiano solamente si el vector ( a ,  b ,  c ,  d ,  e ,  f ,  g ,  h ) es un punto en una red L , que es isomorfa a una red E8 .

Más precisamente, la norma del cuaternión del elemento anterior es ( a  +  b √ 5 ) ²  + ( c  +  d √ 5 ) ²  + ( e  +  f √ 5 ) ²  + ( g  +  h √ 5 ) ² . Su norma euclidiana se define como u  +  v si la norma del cuaternión es u  +  v √ 5 . Esta norma euclidiana define una forma cuadrática en L , bajo la cual la red es isomorfa a la red E8 .

Esta construcción muestra que el grupo de Coxeter se integra como un subgrupo de . De hecho, un isomorfismo lineal que preserva la norma del cuaternión también preserva la norma euclidiana.$Estilo de visualización H_{4}$$Estilo de visualización E_ {8}}$

• John H. Conway , Neil Sloane : Empaquetamientos de esferas, redes y grupos (segunda edición)
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss : Las simetrías de las cosas (2008)
• Frans Marcelis Icosianos y ADE Archivado el 7 de junio de 2011 en Wayback Machine.
• Adam P. Goucher Buenas fibraciones