Función cuártica

En álgebra , una función cuártica es una función de la forma

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,}$^alfa

donde a es distinto de cero, lo cual se define mediante un polinomio de grado cuatro, llamado polinomio cuártico .

Una ecuación cuártica , o ecuación de cuarto grado, es una ecuación que iguala un polinomio cuártico a cero, de la forma

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$

donde a ≠ 0 . ^[1] La derivada de una función cuártica es una función cúbica .

A veces se utiliza el término bicuadrático en lugar de cuártico , pero, por lo general, función bicuadrática se refiere a una función cuadrática de un cuadrado (o, equivalentemente, a la función definida por un polinomio cuártico sin términos de grado impar), que tiene la forma

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.}$

Como una función cuártica se define por un polinomio de grado par, tiene el mismo límite infinito cuando el argumento tiende a infinito positivo o negativo . Si a es positivo, entonces la función crece hasta infinito positivo en ambos extremos; y por lo tanto la función tiene un mínimo global . Del mismo modo, si a es negativo, decrece hasta infinito negativo y tiene un máximo global. En ambos casos puede tener o no otro máximo local y otro mínimo local.

El grado cuatro ( caso cuártico ) es el grado más alto tal que toda ecuación polinómica puede resolverse mediante radicales , según el teorema de Abel-Ruffini .

A Lodovico Ferrari se le atribuye el descubrimiento de la solución de la cuártica en 1540, pero como esta solución, como todas las soluciones algebraicas de la cuártica, requiere la solución de una cúbica para ser encontrada, no pudo ser publicada inmediatamente. ^[2] La solución de la cuártica fue publicada junto con la de la cúbica por el mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, en el libro Ars Magna . ^[3]

La prueba de que cuatro es el grado más alto de un polinomio general para el que se pueden encontrar tales soluciones se dio por primera vez en el teorema de Abel-Ruffini en 1824, lo que demostraba que todos los intentos de resolver los polinomios de orden superior serían inútiles. Las notas dejadas por Évariste Galois antes de morir en un duelo en 1832 condujeron más tarde a una elegante teoría completa de las raíces de los polinomios, de la que este teorema fue uno de los resultados. ^[4]

Cada coordenada de los puntos de intersección de dos secciones cónicas es una solución de una ecuación de segundo grado. Lo mismo ocurre con la intersección de una línea y un toro . De ello se deduce que las ecuaciones de segundo grado surgen a menudo en la geometría computacional y en todos los campos relacionados, como los gráficos por ordenador , el diseño asistido por ordenador , la fabricación asistida por ordenador y la óptica . A continuación se ofrecen ejemplos de otros problemas geométricos cuya solución implica resolver una ecuación de segundo grado.

En la fabricación asistida por ordenador , el toro es una forma que se asocia habitualmente con la fresa . Para calcular su ubicación en relación con una superficie triangulada, se debe encontrar la posición de un toro horizontal en el eje z donde es tangente a una línea fija, y esto requiere que se calcule la solución de una ecuación cuártica general. ^[5]

Una ecuación cuártica surge también en el proceso de resolver el problema de las escaleras cruzadas , en el que se dan las longitudes de dos escaleras cruzadas, cada una apoyada contra una pared y reclinada contra otra, junto con la altura a la que se cruzan, y se debe encontrar la distancia entre las paredes. ^[6]

En óptica, el problema de Alhazen es: " Dada una fuente de luz y un espejo esférico, encontrar el punto en el espejo donde la luz se reflejará en el ojo de un observador ". Esto conduce a una ecuación cuártica. ^{[7] [8] [9]}

Para hallar la distancia de aproximación más cercana entre dos elipses es necesario resolver una ecuación de cuarto grado.

Los valores propios de una matriz 4×4 son las raíces de un polinomio cuártico que es el polinomio característico de la matriz.

La ecuación característica de una ecuación diferencial o de una ecuación lineal de cuarto orden es una ecuación de cuarto orden. Un ejemplo de ello es la teoría de flexión de vigas de Timoshenko-Rayleigh. ^[10]

Las intersecciones entre esferas, cilindros u otros cuadráticos se pueden encontrar utilizando ecuaciones cuárticas.

Siendo F y G los puntos de inflexión distintos del gráfico de una función cuártica, y siendo H la intersección de la línea secante de inflexión FG y la cuártica, más cercana a G que a F , entonces G divide a FH en la sección áurea : ^[11]

${\displaystyle {\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{the golden ratio}}).}$

Además, el área de la región entre la línea secante y el cuartico debajo de la línea secante es igual al área de la región entre la línea secante y el cuartico encima de la línea secante. Una de esas regiones está disjunta en subregiones de igual área.

Dada la ecuación cuártica general

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

con coeficientes reales y a ≠ 0 la naturaleza de sus raíces está determinada principalmente por el signo de su discriminante

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}$

Esto se puede refinar considerando los signos de otros cuatro polinomios:

${\displaystyle P=8ac-3b^{2}}$

de tal manera quePAG/8 a ²⁠ es el coeficiente de segundo grado del cuartico deprimido asociado (ver más abajo);

${\displaystyle R=b^{3}+8da^{2}-4abc,}$

de tal manera queR/8 a ³⁠ es el coeficiente de primer grado del cuartico deprimido asociado;

${\displaystyle \Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,}$

que es 0 si el cuártico tiene raíz triple; y

${\displaystyle D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}}$

que es 0 si el cuartico tiene dos raíces dobles.

Los casos posibles para la naturaleza de las raíces son los siguientes: ^[12]

• Si ∆ < 0 entonces la ecuación tiene dos raíces reales distintas y dos raíces no reales conjugadas complejas .
• Si ∆ > 0 entonces las cuatro raíces de la ecuación son todas reales o ninguna lo es.
  • Si P < 0 y D < 0 entonces las cuatro raíces son reales y distintas.
  • Si P > 0 o D > 0 entonces hay dos pares de raíces conjugadas complejas no reales. ^[13]
• Si ∆ = 0 entonces (y sólo entonces) el polinomio tiene raíz múltiple . A continuación se muestran los distintos casos que pueden darse:
  • Si P < 0 y D < 0 y ∆ ₀ ≠ 0 , hay una raíz doble real y dos raíces simples reales.
  • Si D > 0 o ( P > 0 y ( D ≠ 0 o R ≠ 0)), hay una raíz doble real y dos raíces conjugadas complejas.
  • Si ∆ ₀ = 0 y D ≠ 0, hay una raíz triple y una raíz simple, todas reales.
  • Si D = 0, entonces:
    • Si P < 0, hay dos raíces dobles reales.
    • Si P > 0 y R = 0, hay dos raíces dobles conjugadas complejas.
    • Si ∆ ₀ = 0 , las cuatro raíces son iguales a − ⁠b/4 un⁠

Existen algunos casos que no parecen contemplados, pero en realidad no pueden darse. Por ejemplo, ∆ ₀ > 0 , P = 0 y D ≤ 0 no es uno de los casos. De hecho, si ∆ ₀ > 0 y P = 0 entonces D > 0, por lo que esta combinación no es posible.${\displaystyle 16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2};}$

Las cuatro raíces x ₁ , x ₂ , x ₃ y x ₄ para la ecuación cuártica general

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

con un ≠ 0 se dan en la siguiente fórmula, que se deduce de la del apartado sobre el método de Ferrari cambiando de nuevo las variables (véase § Conversión a una cuártica deprimida) y utilizando las fórmulas para las ecuaciones cuadráticas y cúbicas .

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}}$

donde p y q son los coeficientes de segundo y primer grado respectivamente en el cuartico deprimido asociado

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}}$

Y donde

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

(si S = 0 o Q = 0 , ver § Casos especiales de la fórmula, a continuación)

con

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,}$donde es el discriminante antes mencionado . Para la expresión de la raíz cúbica de Q se puede utilizar cualquiera de las tres raíces cúbicas del plano complejo, aunque si una de ellas es real esa es la natural y más sencilla de elegir. Las expresiones matemáticas de estos últimos cuatro términos son muy similares a las de sus homólogos cúbicos .${\displaystyle \Delta }$

• Si el valor de es un número complejo no real. En este caso, o bien todas las raíces son no reales o todas son reales. En este último caso, el valor de también es real, a pesar de expresarse en términos de esto es casus irreducibilis de la función cúbica extendida al presente contexto de la cuártica. Se puede preferir expresarlo de una manera puramente real, utilizando funciones trigonométricas , como sigue:${\displaystyle \Delta >0,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Q;}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

dónde

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• Si y el signo de tiene que ser elegido para tener eso es uno debe definir como mantener el signo de${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$${\displaystyle Q\neq 0,}$${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$${\displaystyle \Delta _{1},}$${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• Si entonces uno debe cambiar la elección de la raíz cúbica en para tener Esto siempre es posible excepto si el cuártico puede factorizarse en El resultado es entonces correcto, pero engañoso porque oculta el hecho de que no se necesita raíz cúbica en este caso. De hecho, este caso ^{[ aclaración necesaria ]} puede ocurrir solo si el numerador de es cero, en cuyo caso el cuártico deprimido asociado es bicuadrático; por lo tanto, puede resolverse mediante el método descrito a continuación.${\displaystyle S=0,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S\neq 0.}$${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$${\displaystyle q}$
• Si y y por lo tanto también al menos tres raíces son iguales entre sí, y las raíces son funciones racionales de los coeficientes. La raíz triple es una raíz común de la cuártica y su segunda derivada es por lo tanto también la raíz única del resto de la división euclidiana de la cuártica por su segunda derivada, que es un polinomio lineal. La raíz simple se puede deducir de${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• Si la expresión anterior para las raíces es correcta pero engañosa, oculta el hecho de que el polinomio es reducible y no se necesita una raíz cúbica para representar las raíces.${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$

Consideremos el cuartico general

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Es reducible si Q ( x ) = R ( x ) × S ( x ) , donde R ( x ) y S ( x ) son polinomios no constantes con coeficientes racionales (o más generalmente con coeficientes en el mismo cuerpo que los coeficientes de Q ( x ) ). Tal factorización tomará una de dos formas:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

o

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

En cualquier caso, las raíces de Q ( x ) son las raíces de los factores, que pueden calcularse utilizando las fórmulas para las raíces de una función cuadrática o una función cúbica .

La detección de la existencia de tales factorizaciones se puede realizar mediante la función cúbica resolvente de Q ( x ) . Resulta que:

• Si estamos trabajando sobre R (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números reales) (o, más generalmente, sobre algún cuerpo real cerrado ) entonces siempre existe dicha factorización;
• Si estamos trabajando sobre Q (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números racionales), entonces existe un algoritmo para determinar si Q ( x ) es reducible o no y, si lo es, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado.

De hecho, varios métodos para resolver ecuaciones de cuarto grado (el método de Ferrari, el método de Descartes y, en menor medida, el método de Euler) se basan en encontrar dichas factorizaciones.

Si a ₃ = a ₁ = 0 entonces la función

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

se llama función bicuadrática ; al igualarla a cero se define una ecuación bicuadrática , que es fácil de resolver de la siguiente manera

Sea la variable auxiliar z = x ² . Entonces Q ( x ) se convierte en una q cuadrática en z : q ( z ) = a ₄ z ² + a ₂ z + a ₀ . Sean z ₊ y z ₋ las raíces de q ( z ) . Entonces las raíces de la cuártica Q ( x ) son

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

El polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

es casi palindrómica , ya que P ( mx ) = ⁠4 ^veces/metros ^cuadrados⁠ P ( ⁠metro/incógnita⁠ ) ​​(es palindrómica si m = 1 ). El cambio de variables z = x + ⁠metro/incógnita⁠ en ⁠P ( x )/x2^​⁠ = 0 produce la ecuación cuadrática a ₀ z ² + a ₁ z + a ₂ − 2 ma ₀ = 0 . Como x ² − xz + m = 0 , la ecuación cuártica P ( x ) = 0 se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática dos veces.

Para fines de resolución, generalmente es mejor convertir el cuártico en un cuártico deprimido mediante el siguiente cambio simple de variable. Todas las fórmulas son más simples y algunos métodos funcionan solo en este caso. Las raíces del cuártico original se recuperan fácilmente a partir de las del cuártico deprimido mediante el cambio inverso de variable.

Dejar

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

sea ​​la ecuación cuártica general que queremos resolver.

Dividiendo por 4 , se obtiene la ecuación equivalente _x 4 ⁺ bx 3 ⁺ cx 2 ⁺ dx + e = 0 , con b = ⁠un ₃/un ₄⁠ , c = ⁠un ₂/un ₄⁠ , d = ⁠un ₁/un ₄⁠ , y e = ⁠un ₀/un ₄⁠ . Sustituyendo y − ⁠b/4⁠ para x da, después de reagrupar los términos, la ecuación y ⁴ + py ² + qy + r = 0 , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

Si y ₀ es una raíz de este cuártico deprimido, entonces y ₀ − ⁠b/4⁠ (es decir y ₀ − ⁠un ₃/4 a ₄) es una raíz del cuartico original y cada raíz del cuartico original se puede obtener mediante este proceso.

Como se explicó en la sección anterior, podemos comenzar con la ecuación cuártica deprimida

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

Esta ecuación de cuarto grado deprimida se puede resolver mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari . La ecuación deprimida se puede reescribir (esto se verifica fácilmente expandiendo el cuadrado y reagrupando todos los términos en el lado izquierdo) como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

Luego, introducimos una variable m en el factor del lado izquierdo sumando 2 y ² m + pm + m ² a ambos lados. Después de reagrupar los coeficientes de la potencia de y en el lado derecho, obtenemos la ecuación

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=2my^{2}-qy+m^{2}+mp+{\frac {p^{2}}{4}}-r,}$

( 1 )

lo que es equivalente a la ecuación original, cualquiera que sea el valor dado a m .

Como el valor de m puede elegirse arbitrariamente, lo elegiremos para completar el cuadrado del lado derecho. Esto implica que el discriminante en y de esta ecuación cuadrática es cero, es decir, m es una raíz de la ecuación.

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

que puede reescribirse como

${\displaystyle 8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.}$

( 1a )

Esta es la cúbica resolvente de la ecuación cuártica. El valor de m puede obtenerse de la fórmula de Cardano . Cuando m es una raíz de esta ecuación, el lado derecho de la ecuación ( 1 ) es el cuadrado

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Sin embargo, esto induce una división por cero si m = 0 . Esto implica q = 0 , y por lo tanto que la ecuación deprimida es bicuadrática, y puede resolverse mediante un método más fácil (ver arriba). Esto no era un problema en la época de Ferrari, cuando uno resolvía solo ecuaciones explícitamente dadas con coeficientes numéricos. Para una fórmula general que siempre es verdadera, uno necesita entonces elegir una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0 . Esto siempre es posible excepto para la ecuación deprimida y ⁴ = 0 .

Ahora bien, si m es una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0 , la ecuación ( 1 ) se convierte en

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Esta ecuación tiene la forma M ² = N ² , que puede reordenarse como M ² − N ² = 0 o ( M + N )( M − N ) = 0 . Por lo tanto, la ecuación ( 1 ) puede reescribirse como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente aplicando a cada factor la fórmula cuadrática . Al resolverlas podemos escribir las cuatro raíces como

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

donde ± ₁ y ± ₂ denotan + o − . Como las dos apariciones de ± ₁ deben denotar el mismo signo, esto deja cuatro posibilidades, una para cada raíz.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuártica original son

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

Una comparación con la fórmula general anterior muestra que √ 2 m = 2 S .

Descartes ^[14] introdujo en 1637 el método de hallar las raíces de un polinomio de segundo grado factorizándolo en dos polinomios de segundo grado. Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

Igualando los coeficientes , se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

Esto se puede simplificar comenzando de nuevo con la ecuación cuártica deprimida y ⁴ + py ² + qy + r , que se puede obtener sustituyendo y − b /4 por x . Como el coeficiente de y ³ es  0 , obtenemos s = − u , y:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

Ahora podemos eliminar tanto t como v haciendo lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

Si establecemos U = u ² , entonces resolver esta ecuación se convierte en encontrar las raíces de la ecuación cúbica resolvente.

${\displaystyle U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2},}$

( 2 )

lo cual se hace en otra parte . Esta cúbica resolvente es equivalente a la cúbica resolvente dada anteriormente (ecuación (1a)), como se puede ver sustituyendo U = 2m.

Si u es una raíz cuadrada de una raíz distinta de cero de este resolvente (tal raíz distinta de cero existe excepto para el cuártico x ⁴ , que está factorizado trivialmente),

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

Las simetrías en esta solución son las siguientes: hay tres raíces de la cúbica, que corresponden a las tres formas en que una cuártica se puede factorizar en dos cuadráticas, y elegir valores positivos o negativos de u para la raíz cuadrada de U simplemente intercambia las dos cuadráticas entre sí.

La solución anterior muestra que un polinomio cuártico con coeficientes racionales y un coeficiente cero en el término cúbico es factorizable en cuadráticos con coeficientes racionales si y solo si el cúbico resolvente ( 2 ) tiene una raíz distinta de cero que es el cuadrado de un racional, o p ² − 4 r es el cuadrado de un racional y q = 0 ; esto se puede comprobar fácilmente utilizando la prueba de la raíz racional . ^[15]

Una variante del método anterior se debe a Euler . ^{[16] [17]} A diferencia de los métodos anteriores, que utilizan alguna raíz de la cúbica resolvente, el método de Euler las utiliza todas. Consideremos una cuártica deprimida x ⁴ + px ² + qx + r . Observe que, si

• x ⁴ + px ² + qx + r = ( x ² + sx + t )( x ² − sx + v ) ,
• r ₁ y r ₂ son las raíces de x ² + sx + t ,
• r ₃ y r ₄ son las raíces de x ² − sx + v ,

entonces

• las raíces de x ⁴ + px ² + qx + r son r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ ,
• r1 + r2 = − _s ,_​
• r3 + r4 = s ._​​

Por lo tanto, ( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) = − s ² . En otras palabras, −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) es una de las raíces de la cúbica resolvente ( 2 ) y esto sugiere que las raíces de esa cúbica son iguales a −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) , −( r ₁ + r ₃ )( r ₂ + r ₄ ) y −( r ₁ + r ₄ )( r ₂ + r ₃ ) . Esto es de hecho cierto y se sigue de las fórmulas de Vieta . También se sigue de las fórmulas de Vieta, junto con el hecho de que estamos trabajando con una cuártica deprimida, que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = 0 . (Por supuesto, esto también se sigue del hecho de que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = − s + s .) Por lo tanto, si α , β y γ son las raíces de la cúbica resolutiva, entonces los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

De las dos primeras ecuaciones se deduce que r ₁ + r ₂ es una raíz cuadrada de α y que r ₃ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de α . Por la misma razón,

• r ₁ + r ₃ es una raíz cuadrada de β ,
• r ₂ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de β ,
• r ₁ + r ₄ es una raíz cuadrada de γ ,
• r ₂ + r ₃ es la otra raíz cuadrada de γ .

Por lo tanto, los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

El signo de las raíces cuadradas se tratará a continuación. La única solución de este sistema es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

Dado que, en general, hay dos opciones para cada raíz cuadrada, podría parecer que esto proporciona 8 (= 2 ³ ) opciones para el conjunto { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ }, pero, de hecho, no proporciona más de 2  de esas opciones, porque la consecuencia de reemplazar una de las raíces cuadradas por la simétrica es que el conjunto { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } se convierte en el conjunto {− r ₁ , − r ₂ , − r ₃ , − r ₄ }.

Para determinar el signo correcto de las raíces cuadradas, uno simplemente elige alguna raíz cuadrada para cada uno de los números α , β y γ y las usa para calcular los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ a partir de las igualdades anteriores. Luego, uno calcula el número √ α √ β √ γ . Como α , β y γ son las raíces de ( 2 ), es una consecuencia de las fórmulas de Vieta que su producto es igual a q ² y, por lo tanto, que √ α √ β √ γ = ± q . Pero un cálculo sencillo muestra que

√α√β√γ = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + _r2r3r4 ._​​_​​​_​​_​​_​​​_​​_​​_​​​_​​_​​_​​

Si este número es − q , entonces la elección de las raíces cuadradas fue buena (de nuevo, según las fórmulas de Vieta); de lo contrario, las raíces del polinomio serán − r ₁ , − r ₂ , − r ₃ y − r ₄ , que son los números que se obtienen si una de las raíces cuadradas se reemplaza por la simétrica (o, lo que es lo mismo, si cada una de las tres raíces cuadradas se reemplaza por la simétrica).

Este argumento sugiere otra forma de elegir las raíces cuadradas:

• elija cualquier raíz cuadrada √ α de α y cualquier raíz cuadrada √ β de β ;
• define √ γ como .${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$

Por supuesto, esto no tendrá sentido si α o β son iguales a 0 , pero 0 es una raíz de ( 2 ) sólo cuando q = 0 , es decir, sólo cuando estamos tratando con una ecuación bicuadrática, en cuyo caso hay un enfoque mucho más simple.

El grupo simétrico S ₄ de cuatro elementos tiene como subgrupo normal el cuatrigrupo de Klein . Esto sugiere utilizar uncúbica resolvente cuyas raíces pueden describirse de diversas maneras como una transformada discreta de Fourier o unamatricial de Hadamardde las raíces; véaseresolventes de Lagrangepara el método general. Denotemos por x _i , para i de 0a 3, las cuatro raíces de x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e . Si establecemos

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

Entonces, como la transformación es una involución, podemos expresar las raíces en términos de los cuatro s _i exactamente de la misma manera. Como conocemos el valor s ₀ = − ⁠b/2⁠ , solo necesitamos los valores de s ₁ , s ₂ y s ₃ . Estas son las raíces del polinomio

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

Sustituyendo los s _i por sus valores en términos de los xi _, este polinomio puede desarrollarse en un polinomio en s cuyos coeficientes son polinomios simétricos en los xi . Por el teorema fundamental de los polinomios simétricos , estos coeficientes pueden expresarse como polinomios en los coeficientes _del cuártico mónico. Si, para simplificar, suponemos que el cuártico está deprimido, es decir b = 0 , esto da como resultado el polinomio

${\displaystyle s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}}$

( 3 )

Este polinomio es de grado seis, pero sólo de grado tres en s ² , y por tanto la ecuación correspondiente es solucionable por el método descrito en el artículo sobre la función cúbica . Sustituyendo las raíces en la expresión de las x _i en función de las s _i , obtenemos la expresión para las raíces. De hecho obtenemos, aparentemente, varias expresiones, dependiendo de la numeración de las raíces del polinomio cúbico y de los signos dados a sus raíces cuadradas. Todas estas diferentes expresiones pueden deducirse de una de ellas simplemente cambiando la numeración de las x _i .

Estas expresiones son innecesariamente complicadas, ya que involucran las raíces cúbicas de la unidad , que se pueden evitar de la siguiente manera. Si s es cualquier raíz distinta de cero de ( 3 ), y si establecemos

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

Por lo tanto, podemos resolver la ecuación cuártica resolviendo s y luego resolviendo las raíces de los dos factores usando la fórmula cuadrática .

Esto da exactamente la misma fórmula para las raíces que la proporcionada por el método de Descartes.

Existe una solución alternativa que utiliza geometría algebraica ^[18]. En resumen, uno interpreta las raíces como la intersección de dos curvas cuadráticas, luego encuentra las tres curvas cuadráticas reducibles (pares de líneas) que pasan por estos puntos (esto corresponde a la cúbica resolvente, siendo los pares de líneas los resolventes de Lagrange), y luego usa estas ecuaciones lineales para resolver la cuadrática.

Las cuatro raíces de la ecuación cuártica deprimida x ⁴ + px ² + qx + r = 0 también se pueden expresar como las coordenadas x de las intersecciones de las dos ecuaciones cuadráticas y ² + py + qx + r = 0 e y − x ² = 0 , es decir, utilizando la sustitución y = x ² de que dos ecuaciones cuadráticas se intersecan en cuatro puntos es una instancia del teorema de Bézout . Explícitamente, los cuatro puntos son P _i ≔ ( x _i , x _i ² ) para las cuatro raíces x _i de la ecuación cuártica.

Estos cuatro puntos no son colineales porque se encuentran en la cuadrática irreducible y = x ² y, por lo tanto, existe una familia de cuadráticas de un parámetro (un lápiz de curvas ) que pasa por estos puntos. Escribiendo la proyectivización de las dos cuadráticas como formas cuadráticas en tres variables:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

El lápiz se da por las formas λF ₁ + μF ₂ para cualquier punto [ λ , μ ] en la línea proyectiva — en otras palabras, donde λ y μ no son ambos cero, y multiplicar una forma cuadrática por una constante no cambia su curva cuadrática de ceros.

Este lápiz contiene tres ecuaciones cuadráticas reducibles, cada una correspondiente a un par de líneas, cada una de las cuales pasa por dos de los cuatro puntos, lo que se puede hacer  de  6 maneras diferentes. Denotemos estas ecuaciones como Q ₁ = L ₁₂ + L ₃₄ , Q ₂ = L ₁₃ + L ₂₄ y Q ₃ = L ₁₄ + L ₂₃ . Dados dos de estos dos, su intersección tiene exactamente los cuatro puntos.${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$

Las cuadráticas reducibles, a su vez, pueden determinarse expresando la forma cuadrática λF ₁ + μF ₂ como una matriz 3×3  : las cuadráticas reducibles corresponden a que esta matriz sea singular, lo que equivale a que su determinante sea cero, y el determinante sea un polinomio homogéneo de grado tres en λ y μ y corresponda a la cúbica resolvente.

• Función lineal  – Mapa lineal o función polinómica de grado uno
• Función cuadrática  – Función polinómica de grado dos
• Función cúbica  – Función polinómica de grado 3
• Función quíntica  – Función polinómica de grado 5

^α Para los fines de este artículo, e se utiliza como variable en oposición a su uso convencional como número de Euler (excepto cuando se especifique lo contrario).

• Carpenter, W. (1966). "Sobre la solución de la ecuación cuártica real". Revista de Matemáticas . 39 (1): 28–30. doi :10.2307/2688990. JSTOR  2688990.
• Yacoub, MD; Fraidenraich, G. (julio de 2012). "Una solución a la ecuación de cuarto grado". Mathematical Gazette . 96 : 271–275. doi :10.1017/s002555720000454x. S2CID  124512391.

• Fórmula cuartica como cuatro ecuaciones simples en PlanetMath .
• El logro de Ferrari