Teorema de Cox

Parte de una serie sobre
Estadísticas bayesianas
Posterior = Probabilidad × Anterior ÷ Evidencia
Fondo
Inferencia bayesiana Probabilidad bayesiana Teorema de Bayes Teorema de Bernstein-von Mises Coherencia Teorema de Cox El gobierno de Cromwell Principio de verosimilitud Principio de indiferencia Principio de máxima entropía
Construcción de modelos
Conjugado anterior Regresión lineal Bayes empírico Modelo jerárquico
Aproximación posterior
Cadena de Markov Monte Carlo Aproximación de Laplace Aproximaciones de Laplace anidadas integradas Inferencia variacional Cálculo bayesiano aproximado
Estimadores
Estimador bayesiano Intervalo creíble Estimación máxima a posteriori
Aproximación de evidencia
Límite inferior de evidencia Muestreo anidado
Evaluación del modelo
Factor de Bayes Promedio del modelo Predicción posterior
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El teorema de Cox , llamado así en honor al físico Richard Threlkeld Cox , es una derivación de las leyes de la teoría de la probabilidad a partir de un determinado conjunto de postulados . ^{[1] [2]} Esta derivación justifica la llamada interpretación "lógica" de la probabilidad, ya que las leyes de probabilidad derivadas por el teorema de Cox son aplicables a cualquier proposición. La probabilidad lógica (también conocida como bayesiana objetiva) es un tipo de probabilidad bayesiana . Otras formas de bayesianismo, como la interpretación subjetiva, reciben otras justificaciones.

Cox quería que su sistema cumpliera las siguientes condiciones:

1. Divisibilidad y comparabilidad – La plausibilidad de una proposición es un número real y depende de la información que tenemos relacionada con la proposición.
2. Sentido común: las plausibilidades deben variar razonablemente con la evaluación de las plausibilidades en el modelo.
3. Coherencia – Si la plausibilidad de una proposición puede derivarse de muchas maneras, todos los resultados deben ser iguales.

Los postulados aquí enunciados están tomados de Arnborg y Sjödin. ^{[3] [4] [5]} El " sentido común " incluye la coherencia con la lógica aristotélica en el sentido de que las proposiciones lógicamente equivalentes deben tener la misma plausibilidad.

Los postulados originalmente enunciados por Cox no eran matemáticamente rigurosos (aunque más que la descripción informal anterior), como señaló Halpern . ^{[6] [7]} Sin embargo, parece ser posible aumentarlos con varias suposiciones matemáticas hechas implícita o explícitamente por Cox para producir una prueba válida.

Notación de Cox:

La plausibilidad de una proposición dada cierta información relacionada se denota por .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle A\mid X}$

Los postulados y ecuaciones funcionales de Cox son:

• La plausibilidad de la conjunción de dos proposiciones , dada cierta información relacionada , está determinada por la plausibilidad de la dada y la de la dada .${\estilo de visualización AB}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle AX}$

En forma de ecuación funcional

${\displaystyle AB\mid X=g(A\mid X,B\mid AX)}$

Debido a la naturaleza asociativa de la conjunción en la lógica proposicional, la consistencia con la lógica da una ecuación funcional que dice que la función es una operación binaria asociativa .${\estilo de visualización g}$

• Además, Cox postula que la función es monótona .${\estilo de visualización g}$

Todas las operaciones binarias asociativas estrictamente crecientes sobre los números reales son isomorfas a la multiplicación de números en un subintervalo de [0, +∞] , lo que significa que hay una función monótona que asigna plausibilidades a [0, +∞] tal que${\estilo de visualización w}$

${\displaystyle w(AB\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid AX)}$

• En el caso de que se dé una certeza, tenemos y debido al requisito de consistencia. La ecuación general conduce entonces a${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle AB\mid X=B\mid X}$${\displaystyle B\mid AX=B\mid X}$

${\displaystyle w(B\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid X)}$

Esto se aplica a cualquier proposición que conduzca a${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle w(A\mid X)=1}$

• En el caso de que sea imposible, tenemos y debido al requisito de consistencia. La ecuación general (con los factores A y B intercambiados) conduce entonces a${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle AB\mid X=A\mid X}$${\displaystyle A\mid BX=A\mid X}$

${\displaystyle w(A\mid X)=w(B\mid X)w(A\mid X)}$

Esto se aplica a cualquier proposición que, sin pérdida de generalidad, conduzca a una solución.${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle w(A\mid X)=0}$

Debido al requisito de monotonía, esto significa que las plausibilidades de los mapas se corresponden con el intervalo [0, 1] .${\estilo de visualización w}$

• La plausibilidad de una proposición determina la plausibilidad de la negación de la proposición .

Esto postula la existencia de una función tal que${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle w({\text{no }}A\mid X)=f(w(A\mid X))}$

Como "una doble negación es una afirmativa", la coherencia con la lógica da una ecuación funcional.

${\displaystyle f(f(x))=x,}$

diciendo que la función es una involución , es decir, es su propia inversa.${\estilo de visualización f}$

• Además, Cox postula que la función es monótona.${\estilo de visualización f}$

Las ecuaciones funcionales anteriores y su coherencia con la lógica implican que

${\displaystyle w(AB\mid X)=w(A\mid X)f(w({\text{not }}B\mid AX))=w(A\mid X)f\left({w(A{\text{ not }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)}$

Como es lógicamente equivalente a , también obtenemos${\displaystyle AB}$${\displaystyle BA}$

${\displaystyle w(A\mid X)f\left({w(A{\text{ not }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)=w(B\mid X)f\left({w(B{\text{ not }}A\mid X) \over w(B\mid X)}\right)}$

Si, en particular, , entonces también y y obtenemos${\displaystyle B={\text{ not }}(AD)}$${\displaystyle A{\text{ not }}B={\text{not }}B}$${\displaystyle B{\text{ not }}A={\text{ not }}A}$

${\displaystyle w(A{\text{ not }}B\mid X)=w({\text{not }}B\mid X)=f(w(B\mid X))}$

y

${\displaystyle w(B{\text{ not }}A\mid X)=w({\text{not }}A\mid X)=f(w(A\mid X))}$

Abreviando obtenemos la ecuación funcional${\displaystyle w(A\mid X)=x}$${\displaystyle w(B\mid X)=y}$

${\displaystyle x\,f\left({f(y) \over x}\right)=y\,f\left({f(x) \over y}\right)}$

Las leyes de probabilidad que se derivan de estos postulados son las siguientes. ^[8] Sea la plausibilidad de la proposición dada que satisface los postulados de Cox. Entonces existe una función que asigna plausibilidades al intervalo [0,1] y un número positivo tal que${\displaystyle A\mid B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle w}$${\displaystyle m}$

1. La certeza está representada por${\displaystyle w(A\mid B)=1.}$
2. ${\displaystyle w^{m}(A|B)+w^{m}({\text{not }}A\mid B)=1.}$
3. ${\displaystyle w(AB\mid C)=w(A\mid C)w(B\mid AC)=w(B\mid C)w(A\mid BC).}$

Es importante señalar que los postulados implican únicamente estas propiedades generales. Podemos recuperar las leyes de probabilidad habituales estableciendo una nueva función, convencionalmente denotada como , igual a . Entonces obtenemos las leyes de probabilidad en una forma más familiar:${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pr }$${\displaystyle w^{m}}$

1. Cierta verdad está representada por , y cierta falsedad por${\displaystyle \Pr(A\mid B)=1}$${\displaystyle \Pr(A\mid B)=0.}$
2. ${\displaystyle \Pr(A\mid B)+\Pr({\text{not }}A\mid B)=1.}$
3. ${\displaystyle \Pr(AB\mid C)=\Pr(A\mid C)\Pr(B\mid AC)=\Pr(B\mid C)\Pr(A\mid BC).}$

La regla 2 es una regla para la negación y la regla 3 es una regla para la conjunción. Dado que cualquier proposición que contenga conjunción, disyunción y negación puede reformularse de manera equivalente utilizando solo la conjunción y la negación (la forma normal conjuntiva ), ahora podemos manejar cualquier proposición compuesta.

Las leyes así derivadas dan como resultado una aditividad finita de probabilidad, pero no una aditividad contable . La formulación de Kolmogorov basada en la teoría de la medida supone que una medida de probabilidad es contablemente aditiva. Esta condición ligeramente más estricta es necesaria para ciertos resultados. Un ejemplo elemental (en el que esta suposición simplemente simplifica el cálculo en lugar de ser necesaria para él) es que la probabilidad de ver cara por primera vez después de un número par de lanzamientos en una secuencia de lanzamientos de moneda es . ^[9]${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

El teorema de Cox ha llegado a utilizarse como una de las justificaciones para el uso de la teoría de probabilidad bayesiana . Por ejemplo, en Jaynes se analiza en detalle en los capítulos 1 y 2 y es una piedra angular para el resto del libro. ^[8] La probabilidad se interpreta como un sistema formal de lógica , la extensión natural de la lógica aristotélica (en la que cada enunciado es verdadero o falso) en el ámbito del razonamiento en presencia de incertidumbre.

Se ha debatido hasta qué punto el teorema excluye modelos alternativos para razonar sobre la incertidumbre . Por ejemplo, si se descartaran ciertos supuestos matemáticos "no intuitivos", se podrían idear alternativas, por ejemplo, un ejemplo proporcionado por Halpern. ^[6] Sin embargo, Arnborg y Sjödin ^{[3] [4] [5] sugieren postulados adicionales de "sentido común", que permitirían relajar los supuestos en algunos casos mientras se sigue descartando el ejemplo de Halpern. Hardy [10]} o Dupré y Tipler idearon otros enfoques . ^[11]

La formulación original del teorema de Cox se encuentra en Cox (1946), que se amplía con resultados adicionales y más discusión en Cox (1961). Jaynes ^[8] cita a Abel ^[12] como el primer uso conocido de la ecuación funcional de asociatividad. János Aczél ^[13] proporciona una larga prueba de la "ecuación de asociatividad" (páginas 256-267). Jaynes ^{[8] : 27} reproduce la prueba más corta de Cox en la que se supone la diferenciabilidad. Una guía del teorema de Cox de Van Horn tiene como objetivo presentar de forma exhaustiva al lector todas estas referencias. ^[14]

Baoding Liu, el fundador de la teoría de la incertidumbre , critica el teorema de Cox por presumir que el valor de verdad de la conjunción es una función dos veces diferenciable de los valores de verdad de las dos proposiciones y , es decir, , lo que excluye la "medida incierta" de la teoría de la incertidumbre desde su inicio, porque la función , ^[a] utilizada en la teoría de la incertidumbre, no es diferenciable con respecto a y . ^[15] Según Liu, "no existe ninguna evidencia de que el valor de verdad de la conjunción esté completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones individuales, y mucho menos una función dos veces diferenciable". ^[15]${\displaystyle P\land Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle T(P\land Q)=f(T(P),T(Q))}$${\displaystyle f(x,y)=x\land y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• Axiomas de probabilidad
• Lógica de probabilidad

• Fine, Terrence L. (1973). Teorías de la probabilidad: un examen de los fundamentos . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-256450-2.
• Smith, C. Ray; Erickson, Gary (1989). "De la racionalidad y la consistencia a la probabilidad bayesiana". En Skilling, John (ed.). Máxima entropía y métodos bayesianos . Dordrecht: Kluwer. págs. 29–44. doi :10.1007/978-94-015-7860-8_2. ISBN. 0-7923-0224-9.