Norma (matemáticas)

En matemáticas , una norma es una función de un espacio vectorial real o complejo para los números reales no negativos que se comporta de ciertas maneras como la distancia desde el origen : conmuta con escala, obedece una forma de la desigualdad triangular y es cero solo en el origen. En particular, la distancia euclidiana en un espacio euclidiano está definida por una norma en el espacio vectorial euclidiano asociado , llamada norma euclidiana, norma 2 o, a veces, la magnitud o longitud del vector. Esta norma se puede definir como la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo.

Una seminorma satisface las dos primeras propiedades de una norma, pero puede ser cero para vectores distintos del origen. ^[1] Un espacio vectorial con una norma especificada se denomina espacio vectorial normado . De manera similar, un espacio vectorial con una seminorma se denomina espacio vectorial seminormado .

El término pseudonorma se ha utilizado con varios significados relacionados. Puede ser un sinónimo de "seminorma". ^[1] Una pseudonorma puede satisfacer los mismos axiomas que una norma, con la igualdad reemplazada por una desigualdad " " en el axioma de homogeneidad. ^{[2] [ dudoso – discutir ]} También puede referirse a una norma que puede tomar valores infinitos, ^[3] o a ciertas funciones parametrizadas por un conjunto dirigido . ^[4]${\estilo de visualización \,\leq \,}$

Dado un espacio vectorial sobre un subcuerpo de números complejos, una norma sobre es una función de valor real con las siguientes propiedades, donde denota el valor absoluto habitual de un escalar : ^[5]${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización F}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |s|}$${\displaystyle s}$

1. Subaditividad / Desigualdad triangular : para todos${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta : para todos y cada uno de los escalares${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s.}$
3. Definitividad positiva /positividad ^[6] /Separación de puntos : para todossientonces${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0.}$
   • Porque la propiedad (2.) implica que algunos autores reemplazan la propiedad (3.) con la condición equivalente: para cada si y sólo si${\displaystyle p(0)=0,}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0.}$

Una seminorma en es una función que tiene las propiedades (1.) y (2.) ^[7] de modo que, en particular, toda norma es también una seminorma (y, por tanto, también una funcional sublineal ). Sin embargo, existen seminormas que no son normas. Las propiedades (1.) y (2.) implican que si es una norma (o, de forma más general, una seminorma), entonces y que también tiene la siguiente propiedad:${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(0)=0}$${\displaystyle p}$

4. No negatividad : ^[6] para todos${\displaystyle p(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$

Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de “norma”, aunque esto no es necesario. Aunque en este artículo se definió “ positivo ” como sinónimo de “positivo definido”, algunos autores definen “ positivo ” como sinónimo de “no negativo”; ^[8] estas definiciones no son equivalentes.

Supóngase que y son dos normas (o seminormas) en un espacio vectorial Entonces y se llaman equivalentes , si existen dos constantes reales positivas y con tales que para cada vector La relación " es equivalente a " es reflexiva , simétrica ( implica ) y transitiva y por lo tanto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las normas en Las normas y son equivalentes si y solo si inducen la misma topología en ^[9] Dos normas cualesquiera en un espacio de dimensión finita son equivalentes pero esto no se extiende a espacios de dimensión infinita. ^[9]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle cq\leq p\leq Cq}$${\displaystyle {\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$

Si se da una norma en un espacio vectorial , la norma de un vector se suele denotar encerrándola entre líneas verticales dobles: Esta notación también se utiliza a veces si es solo una seminorma. Para la longitud de un vector en el espacio euclidiano (que es un ejemplo de norma, como se explica a continuación), la notación con líneas verticales simples también está muy extendida.${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle \|z\|=p(z).}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |x|}$

Todo espacio vectorial (real o complejo) admite una norma: Si es una base de Hamel para un espacio vectorial , entonces la función de valor real que envía (donde todos los escalares, excepto un número finito, son ) a es una norma en ^[10]. También hay una gran cantidad de normas que exhiben propiedades adicionales que las hacen útiles para problemas específicos.${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}$${\displaystyle X.}$

El valor absoluto es una norma sobre el espacio vectorial formado por los números reales o complejos . Los números complejos forman un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismos y un espacio vectorial bidimensional sobre los reales; el valor absoluto es una norma para estas dos estructuras.${\displaystyle |x|}$

Cualquier norma en un espacio vectorial unidimensional es equivalente (hasta la escala) a la norma de valor absoluto, lo que significa que existe un isomorfismo de espacios vectoriales que preserva la norma donde es o y preserva la norma significa que Este isomorfismo se da enviando a un vector de norma que existe ya que dicho vector se obtiene multiplicando cualquier vector distinto de cero por la inversa de su norma.${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$${\displaystyle 1,}$

En el espacio euclidiano -dimensional la noción intuitiva de longitud del vector está capturada por la fórmula ^[11]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

Esta es la norma euclidiana , que da la distancia ordinaria desde el origen hasta el punto X —una consecuencia del teorema de Pitágoras— . Esta operación también puede denominarse "SRSS", que es un acrónimo de raíz cuadrada de la suma de cuadrados . ^[12]

La norma euclidiana es, con diferencia, la norma más utilizada en ^[11], pero existen otras normas en este espacio vectorial, como se demostrará a continuación. Sin embargo, todas estas normas son equivalentes en el sentido de que todas definen la misma topología en espacios de dimensión finita.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

El producto interno de dos vectores de un espacio vectorial euclidiano es el producto escalar de sus vectores de coordenadas sobre una base ortonormal . Por lo tanto, la norma euclidiana se puede escribir de manera libre de coordenadas como$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

La norma euclidiana también se denomina norma cuadrática , norma , ^[13] norma , 2-norma o norma cuadrada ; véase espacio . Define una función de distancia denominada longitud euclidiana , distancia o distancia .${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

El conjunto de vectores en cuya norma euclidiana es una constante positiva dada forma una -esfera .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle n}$

La norma euclidiana de un número complejo es el valor absoluto (también llamado módulo ) del mismo, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano. Esta identificación del número complejo como un vector en el plano euclidiano, hace que la cantidad (como sugirió por primera vez Euler) sea la norma euclidiana asociada con el número complejo. Para , la norma también se puede escribir como donde es el conjugado complejo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle x+iy}$${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}$${\displaystyle {\bar {z}}}$${\displaystyle z\,.}$

Existen exactamente cuatro álgebras euclidianas de Hurwitz sobre los números reales . Estos son los números reales, los números complejos, los cuaterniones y, por último, los octoniones, donde las dimensiones de estos espacios sobre los números reales son respectivamente. Las normas canónicas de y son sus funciones de valor absoluto , como se explicó anteriormente.${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} ,}$${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

La norma canónica de los cuaterniones se define por para cada cuaternión en Esto es lo mismo que la norma euclidiana de considerado como el espacio vectorial De manera similar, la norma canónica de los octoniones es simplemente la norma euclidiana de${\displaystyle \mathbb {H} }$$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbb {H} .}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

En un espacio complejo de dimensión - la norma más común es${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$$${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

En este caso, la norma se puede expresar como la raíz cuadrada del producto interno del vector por él mismo: donde se representa como un vector columna y denota su transpuesta conjugada .$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

Esta fórmula es válida para cualquier espacio de producto interno , incluidos los espacios euclidianos y complejos. Para los espacios complejos, el producto interno es equivalente al producto escalar complejo . Por lo tanto, la fórmula en este caso también se puede escribir utilizando la siguiente notación:$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$El nombre se relaciona con la distancia que un taxi tiene que recorrer en una cuadrícula de calles rectangular (como la del distrito neoyorquino de Manhattan ) para llegar desde el origen hasta el punto.${\displaystyle x.}$

El conjunto de vectores cuya 1-norma es una constante dada forma la superficie de un politopo cruzado , que tiene dimensión igual a la dimensión del espacio vectorial menos 1. La norma del taxi también se denomina norma . La distancia derivada de esta norma se denomina distancia de Manhattan o distancia .${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

La norma 1 es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.

Por el contrario, no es una norma porque puede producir resultados negativos.$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

Sea un número real. La -norma (también llamada -norma) del vector es ^[11] Para obtenemos la norma del taxi, para obtenemos la norma euclidiana, y a medida que se acerca a la -norma se acerca a la norma de infinito o norma máxima: La -norma está relacionada con la media generalizada o media de potencia.${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$${\displaystyle p=1,}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$${\displaystyle p}$

Para la norma - se induce incluso mediante un producto interno canónico , lo que significa que para todos los vectores, este producto interno se puede expresar en términos de la norma utilizando la identidad de polarización . En este producto interno está el${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle \ell ^{2},}$Producto interno euclidiano definido por mientras que para el espacioasociado con unespacio de medidaque consta de todaslas funciones integrables al cuadrado, este producto interno es$${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Esta definición todavía tiene cierto interés porque pero la función resultante no define una norma, ^[14] porque viola la desigualdad triangular . Lo que es cierto para este caso de incluso en el análogo medible, es que la clase correspondiente es un espacio vectorial, y también es cierto que la función (sin la raíz th) define una distancia que hace en un espacio vectorial topológico métrico completo . Estos espacios son de gran interés en el análisis funcional , la teoría de la probabilidad y el análisis armónico . Sin embargo, aparte de los casos triviales, este espacio vectorial topológico no es localmente convexo y no tiene formas lineales continuas distintas de cero. Por lo tanto, el espacio dual topológico contiene solo el funcional cero.${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p}(X)}$

La derivada parcial de la -norma está dada por${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

La derivada con respecto a por lo tanto, es donde denota el producto de Hadamard y se utiliza para el valor absoluto de cada componente del vector.${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle |\cdot |}$

Para el caso especial de esto se convierte en o${\displaystyle p=2,}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}.}$$

Si es algún vector tal que entonces:${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista${\displaystyle c,}$${\displaystyle 2c.}$

En probabilidad y análisis funcional, la norma cero induce una topología métrica completa para el espacio de funciones mensurables y para el espacio F de secuencias con norma F ^[15]. Aquí entendemos por norma F alguna función de valor real en un espacio F con distancia tal que La norma F descrita anteriormente no es una norma en el sentido habitual porque carece de la propiedad de homogeneidad requerida.${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle d,}$${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$

En geometría métrica , la métrica discreta toma el valor uno para puntos distintos y cero en caso contrario. Cuando se aplica a nivel de coordenadas a los elementos de un espacio vectorial, la distancia discreta define la distancia de Hamming , que es importante en codificación y teoría de la información . En el campo de los números reales o complejos, la distancia de la métrica discreta desde cero no es homogénea en el punto distinto de cero; de hecho, la distancia desde cero sigue siendo uno a medida que su argumento distinto de cero se acerca a cero. Sin embargo, la distancia discreta de un número desde cero satisface las otras propiedades de una norma, a saber, la desigualdad triangular y la definitividad positiva. Cuando se aplica a los vectores por componentes, la distancia discreta desde cero se comporta como una "norma" no homogénea, que cuenta el número de componentes distintos de cero en su argumento vectorial; nuevamente, esta "norma" no homogénea es discontinua.

En el procesamiento de señales y las estadísticas , David Donoho se refirió a la " norma " cero con comillas. Siguiendo la notación de Donoho, la "norma" cero de es simplemente el número de coordenadas distintas de cero de o la distancia de Hamming del vector desde cero. Cuando esta "norma" se localiza en un conjunto acotado, es el límite de las -normas cuando se acerca a 0. Por supuesto, la "norma" cero no es verdaderamente una norma, porque no es homogénea positiva . De hecho, ni siquiera es una F-norma en el sentido descrito anteriormente, ya que es discontinua, conjunta y solidariamente, con respecto al argumento escalar en la multiplicación escalar-vectorial y con respecto a su argumento vectorial. Abusando de la terminología , algunos ingenieros ^{[¿ quiénes? ]} omiten las comillas de Donoho y llaman inapropiadamente a la función de número de no ceros la norma, haciéndose eco de la notación para el espacio de Lebesgue de funciones mensurables .${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{0}}$

La generalización de las normas anteriores a un número infinito de componentes conduce a y espacios para con normas${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p\geq 1\,,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

para sucesiones y funciones de valores complejos en respectivamente, que pueden generalizarse aún más (véase la medida de Haar ). Estas normas también son válidas en el límite como , dando una norma suprema , y se denominan y${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

Cualquier producto interior induce de forma natural la norma.${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Se pueden encontrar otros ejemplos de espacios vectoriales normados de dimensión infinita en el artículo sobre el espacio de Banach .

En general, estas normas no dan las mismas topologías. Por ejemplo, un espacio de dimensión infinita da una topología estrictamente más fina que un espacio de dimensión infinita cuando${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{q}}$${\displaystyle p<q\,.}$

Se pueden construir otras normas sobre combinando las anteriores; por ejemplo, ¿ es una norma sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Para cualquier norma y cualquier transformación lineal inyectiva podemos definir una nueva norma de igual a En 2D, con una rotación de 45° y una escala adecuada, esto cambia la norma del taxi a la norma máxima. Cada una aplicada a la norma del taxi, hasta la inversión y el intercambio de ejes, da como resultado una bola unitaria diferente: un paralelogramo de una forma, tamaño y orientación particulares. ${\displaystyle A}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle \|Ax\|.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

En 3D, esto es similar pero diferente para la norma 1 ( octaedros ) y la norma máxima ( prismas con base de paralelogramo).

Existen ejemplos de normas que no se definen mediante fórmulas "por entrada". Por ejemplo, la función de Minkowski de un cuerpo convexo centralmente simétrico en (centrado en cero) define una norma en (véase § Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos más abajo).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Todas las fórmulas anteriores también producen normas sin modificación.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También existen normas sobre espacios de matrices (con entradas reales o complejas), las llamadas normas matriciales .

Sea una extensión finita de un cuerpo de grado inseparable y tenga clausura algebraica Si las incrustaciones distintas de son entonces la norma de la teoría de Galois de un elemento es el valor Como esa función es homogénea de grado , la norma de la teoría de Galois no es una norma en el sentido de este artículo. Sin embargo, la raíz -ésima de la norma (asumiendo que ese concepto tiene sentido) es una norma. ^[16]${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{\mu },}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$${\displaystyle [E:k]}$${\displaystyle [E:k]}$

El concepto de norma en las álgebras de composición no comparte las propiedades habituales de una norma, ya que se permiten vectores nulos . Un álgebra de composición consiste en un álgebra sobre un cuerpo, una involución y una forma cuadrática denominada "norma".${\displaystyle N(z)}$${\displaystyle (A,{}^{*},N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle {}^{*},}$ ${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$

La característica característica de las álgebras de composición es la propiedad de homomorfismo de : para el producto de dos elementos y del álgebra de composición, su norma satisface En el caso de las álgebras de división y la norma del álgebra de composición es el cuadrado de la norma discutida anteriormente. En esos casos la norma es una forma cuadrática definida . En las álgebras divididas la norma es una forma cuadrática isótropa .${\displaystyle N}$${\displaystyle wz}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} }$

Para cualquier norma en un espacio vectorial se cumple la desigualdad triangular inversa : Si es una función lineal continua entre espacios normados, entonces la norma de y la norma de la transpuesta de son iguales. ^[17]${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}$$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

Para las normas , tenemos la desigualdad de Hölder ^[18] Un caso especial de esto es la desigualdad de Cauchy-Schwarz : ^[18]${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$$${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}$$

Toda norma es una seminorma y, por lo tanto, satisface todas las propiedades de esta última . A su vez, toda seminorma es una función sublineal y, por lo tanto, satisface todas las propiedades de esta última . En particular, toda norma es una función convexa .

El concepto de círculo unitario (el conjunto de todos los vectores de norma 1) es diferente en distintas normas: para la norma 1, el círculo unitario es un cuadrado orientado como un diamante; para la norma 2 (norma euclidiana), es el conocido círculo unitario ; mientras que para la norma de infinito, es un cuadrado alineado con el eje. Para cualquier norma -, es una superelipse con ejes congruentes (ver la ilustración adjunta). Debido a la definición de la norma, el círculo unitario debe ser convexo y simétrico centralmente (por lo tanto, por ejemplo, la bola unitaria puede ser un rectángulo pero no puede ser un triángulo, y para una norma -).${\displaystyle p}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p}$

En términos del espacio vectorial, la seminorma define una topología en el espacio, y esta es una topología de Hausdorff precisamente cuando la seminorma puede distinguir entre vectores distintos, lo que nuevamente es equivalente a que la seminorma sea una norma. La topología así definida (ya sea por una norma o una seminorma) puede entenderse en términos de secuencias o conjuntos abiertos. Se dice que una secuencia de vectores converge en norma a si como De manera equivalente, la topología consiste en todos los conjuntos que pueden representarse como una unión de bolas abiertas . Si es un espacio normado entonces ^[19]${\displaystyle \{v_{n}\}}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

Dos normas y en un espacio vectorial se denominan${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle X}$equivalentes si inducen la misma topología,^[9]lo que sucede si y sólo si existen números reales positivosytales que para todos Por ejemplo, sienentonces^[20]${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$${\displaystyle p>r\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

En particular, es decir, si el espacio vectorial es un espacio real o complejo de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Por otra parte, en el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, no todas las normas son equivalentes.$${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

Las normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y convergencia y, para muchos propósitos, no es necesario distinguirlas. Para ser más precisos, la estructura uniforme definida por normas equivalentes en el espacio vectorial es uniformemente isomorfa .

Todas las seminormas de un espacio vectorial se pueden clasificar en términos de subconjuntos absorbentes absolutamente convexos de A cada uno de estos subconjuntos corresponde una seminorma llamada calibre de definida como donde es el ínfimo , con la propiedad de que A la inversa:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle A,}$$${\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}$$${\displaystyle \inf _{}}$$${\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}$$

Cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base local que consiste en conjuntos absolutamente convexos. Un método común para construir dicha base es utilizar una familia de seminormas que separa los puntos : la colección de todas las intersecciones finitas de conjuntos convierte el espacio en un espacio vectorial topológico localmente convexo de modo que cada p sea continuo .${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \{p<1/n\}}$

Este método se utiliza para diseñar topologías débiles y débiles* .

caso normal:

Supongamos ahora que contiene un único dado que separa , es una norma y es su bola unitaria abierta . Entonces es un entorno absolutamente convexo y acotado de 0 y es continuo.${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p:}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A=\{p<1\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p=p_{A}}$

La inversa se debe a Andrey Kolmogorov : cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo y localmente acotado es normable . Precisamente:

Si es un vecindario absolutamente convexo y acotado de 0, el calibre (por lo que es una norma).${\displaystyle X}$${\displaystyle g_{X}}$${\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}$

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• F-seminorma  : Un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métricaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Norma de Gower
• Norma de Kadec  : todos los espacios de Banach separables y de dimensión infinita son homeomorfosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Análisis espectral de mínimos cuadrados  : método de cálculo de periodicidad
• Distancia de Mahalanobis  : medida estadística de distancia
• Magnitud (matemáticas)  – Propiedad que determina la comparación y el ordenamiento
• Norma matricial  – Norma en un espacio vectorial de matrices
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normalizado
• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Norma del operador  : medida del "tamaño" de los operadores lineales
• Paranorm  – Un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métricaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Relación entre normas y métricas  – Espacio matemático con noción de distanciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad triangular y es absolutamente homogénea.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Función sublineal  – Tipo de función en álgebra lineal

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