Contracción de longitud

Special relativity
Principle of relativity Theory of relativity Formulations
Foundations Einstein's postulates Inertial frame of reference Speed of light Maxwell's equations Lorentz transformation
Consequences Time dilation Length contraction Relativistic mass Mass–energy equivalence Relativity of simultaneity Relativistic Doppler effect Thomas precession Relativistic disk Bell's spaceship paradox Ehrenfest paradox
Spacetime Minkowski spacetime Spacetime diagram World line Light cone
Dynamics Proper time Proper mass Four-momentum
History Precursors Galilean relativity Galilean transformation Aether theories
People Einstein Sommerfeld Michelson Morley FitzGerald Herglotz Lorentz Poincaré Minkowski Fizeau Abraham Born Planck von Laue Ehrenfest Tolman Dirac
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v t e

La contracción de longitud es el fenómeno por el cual la longitud de un objeto en movimiento se mide como más corta que su longitud propia , que es la longitud medida en el propio sistema de referencia en reposo del objeto . ^[1] También se conoce como contracción de Lorentz o contracción de Lorentz-FitzGerald (en honor a Hendrik Lorentz y George Francis FitzGerald ) y, por lo general, solo se nota a una fracción sustancial de la velocidad de la luz . La contracción de longitud solo se produce en la dirección en la que se desplaza el cuerpo. Para los objetos estándar, este efecto es insignificante a velocidades cotidianas y se puede ignorar para todos los fines habituales, y solo se vuelve significativo cuando el objeto se aproxima a la velocidad de la luz en relación con el observador.

La contracción de longitud fue postulada por George FitzGerald (1889) y Hendrik Antoon Lorentz (1892) para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley y rescatar la hipótesis del éter estacionario ( hipótesis de contracción de Lorentz-FitzGerald ). ^{[2] [3]} Aunque tanto FitzGerald como Lorentz aludieron al hecho de que los campos electrostáticos en movimiento se deformaban ("Elipsoide de Heaviside" en honor a Oliver Heaviside , quien derivó esta deformación de la teoría electromagnética en 1888), se consideró una hipótesis ad hoc , porque en ese momento no había razones suficientes para asumir que las fuerzas intermoleculares se comportaran de la misma manera que las electromagnéticas. En 1897 Joseph Larmor desarrolló un modelo en el que se considera que todas las fuerzas son de origen electromagnético, y la contracción de longitud parecía ser una consecuencia directa de este modelo. Sin embargo, Henri Poincaré (1905) demostró que las fuerzas electromagnéticas por sí solas no pueden explicar la estabilidad del electrón. Así que tuvo que introducir otra hipótesis ad hoc: fuerzas de enlace no eléctricas ( tensiones de Poincaré ) que aseguran la estabilidad del electrón, dan una explicación dinámica para la contracción de la longitud y, de este modo, ocultan el movimiento del éter estacionario. ^[4]

A Albert Einstein (1905) se le atribuye ^[4] haber eliminado el carácter ad hoc de la hipótesis de contracción, al derivar esta contracción a partir de sus postulados en lugar de datos experimentales. ^[5] Hermann Minkowski dio la interpretación geométrica de todos los efectos relativistas al introducir su concepto de espacio-tiempo de cuatro dimensiones . ^[6]

En primer lugar, es necesario considerar cuidadosamente los métodos para medir las longitudes de objetos en reposo y en movimiento. ^[7] Aquí, "objeto" simplemente significa una distancia con puntos finales que siempre están mutuamente en reposo, es decir , que están en reposo en el mismo marco de referencia inercial . Si la velocidad relativa entre un observador (o sus instrumentos de medición) y el objeto observado es cero, entonces la longitud propia del objeto puede determinarse simplemente superponiendo directamente una varilla de medición. Sin embargo, si la velocidad relativa es mayor que cero, entonces se puede proceder de la siguiente manera:${\displaystyle L_{0}}$

El observador instala una fila de relojes que están sincronizados a) intercambiando señales de luz según la sincronización de Poincaré-Einstein , o b) por "transporte lento de relojes", es decir, un reloj es transportado a lo largo de la fila de relojes en el límite de la velocidad de transporte que desaparece . Ahora, cuando el proceso de sincronización ha terminado, el objeto se mueve a lo largo de la fila de relojes y cada reloj almacena el tiempo exacto en el que pasa el extremo izquierdo o el derecho del objeto. Después de eso, el observador solo tiene que mirar la posición de un reloj A que almacenó el tiempo en el que pasaba el extremo izquierdo del objeto, y un reloj B en el que pasaba el extremo derecho del objeto al mismo tiempo . Está claro que la distancia AB es igual a la longitud del objeto en movimiento. ^[7] Usando este método, la definición de simultaneidad es crucial para medir la longitud de los objetos en movimiento.${\displaystyle L}$

Otro método consiste en utilizar un reloj que indique su tiempo propio , que viaja desde un extremo de la varilla al otro en el tiempo medido por relojes en el sistema de referencia en reposo de la varilla. La longitud de la varilla se puede calcular multiplicando su tiempo de viaje por su velocidad, es decir, en el sistema de referencia en reposo de la varilla o en el sistema de referencia en reposo del reloj. ^[8]${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L_{0}=T\cdot v}$${\displaystyle L=T_{0}\cdot v}$

En la mecánica newtoniana, la simultaneidad y la duración del tiempo son absolutas y, por lo tanto, ambos métodos conducen a la igualdad de y . Sin embargo, en la teoría de la relatividad, la constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales en conexión con la relatividad de la simultaneidad y la dilatación del tiempo destruye esta igualdad. En el primer método, un observador en un sistema afirma haber medido los puntos finales del objeto simultáneamente, pero los observadores en todos los demás sistemas inerciales argumentarán que los puntos finales del objeto no se midieron simultáneamente. En el segundo método, los tiempos y no son iguales debido a la dilatación del tiempo, lo que también da como resultado longitudes diferentes.${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$

La desviación entre las mediciones en todos los sistemas inerciales se obtiene mediante las fórmulas de la transformación de Lorentz y la dilatación del tiempo (véase Derivación). Resulta que la longitud propia permanece invariable y siempre denota la longitud máxima de un objeto, y la longitud del mismo objeto medida en otro sistema de referencia inercial es más corta que la longitud propia. Esta contracción sólo se produce a lo largo de la línea de movimiento y se puede representar mediante la relación

${\displaystyle L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}}$

dónde

• ${\displaystyle L}$es la longitud observada por un observador en movimiento con respecto al objeto
• ${\displaystyle L_{0}}$es la longitud adecuada (la longitud del objeto en su marco de reposo)
• ${\displaystyle \gamma (v)}$es el factor de Lorentz , definido como donde$${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$
  • ${\displaystyle v}$es la velocidad relativa entre el observador y el objeto en movimiento
  • ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz

Reemplazar el factor de Lorentz en la fórmula original conduce a la relación

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

En esta ecuación, tanto y como se miden en paralelo a la línea de movimiento del objeto. Para el observador en movimiento relativo, la longitud del objeto se mide restando las distancias medidas simultáneamente de ambos extremos del objeto. Para conversiones más generales, consulte las transformaciones de Lorentz . Un observador en reposo que observe un objeto que viaja muy cerca de la velocidad de la luz observaría la longitud del objeto en la dirección del movimiento como muy cercana a cero.${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$

Luego, a una velocidad de13 400 000  m/s (30 millones de mph, 0,0447 c ) la longitud contraída es el 99,9% de la longitud en reposo; a una velocidad de42 300 000  m/s (95 millones de mph, 0,141 c ), la longitud sigue siendo del 99%. A medida que la magnitud de la velocidad se acerca a la velocidad de la luz, el efecto se hace evidente.

El principio de relatividad (según el cual las leyes de la naturaleza son invariantes a través de sistemas de referencia inerciales) requiere que la contracción de la longitud sea simétrica: si una varilla está en reposo en un sistema inercial , tiene su longitud propia en y su longitud está contraída en . Sin embargo, si una varilla descansa en , tiene su longitud propia en y su longitud está contraída en . Esto se puede ilustrar vívidamente utilizando diagramas simétricos de Minkowski , porque la transformación de Lorentz corresponde geométricamente a una rotación en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones . ^{[9] [10]}${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$

Las fuerzas magnéticas son causadas por la contracción relativista cuando los electrones se mueven en relación con los núcleos atómicos. La fuerza magnética sobre una carga en movimiento junto a un cable que transporta corriente es el resultado del movimiento relativista entre electrones y protones. ^{[11] [12]}

En 1820, André-Marie Ampère demostró que los cables paralelos que tienen corrientes en la misma dirección se atraen entre sí. En el marco de referencia de los electrones, el cable en movimiento se contrae ligeramente, lo que hace que los protones del cable opuesto sean localmente más densos . Como los electrones del cable opuesto también se mueven, no se contraen (tanto). Esto da como resultado un desequilibrio local aparente entre electrones y protones; los electrones en movimiento en un cable son atraídos por los protones adicionales en el otro. También se puede considerar lo inverso. En el marco de referencia del protón estático, los electrones se mueven y se contraen, lo que da como resultado el mismo desequilibrio. La velocidad de deriva de los electrones es relativamente muy lenta, del orden de un metro por hora, pero la fuerza entre un electrón y un protón es tan enorme que incluso a esta velocidad muy lenta, la contracción relativista causa efectos significativos.

Este efecto también se aplica a partículas magnéticas sin corriente, donde la corriente es reemplazada por el espín del electrón. ^{[ cita requerida ]}

Cualquier observador que se mueva junto con el objeto observado no puede medir la contracción del objeto, porque puede juzgarse a sí mismo y al objeto como en reposo en el mismo marco inercial de acuerdo con el principio de relatividad (como se demostró mediante el experimento de Trouton-Rankine ). Por lo tanto, la contracción de la longitud no se puede medir en el marco de reposo del objeto, sino solo en un marco en el que el objeto observado está en movimiento. Además, incluso en un marco que no se mueva junto con el objeto observado, es difícil lograr confirmaciones experimentales directas de la contracción de la longitud, porque (a) en el estado actual de la tecnología, los objetos de extensión considerable no se pueden acelerar a velocidades relativistas, y (b) los únicos objetos que viajan a la velocidad requerida son partículas atómicas, cuyas extensiones espaciales son demasiado pequeñas para permitir una medición directa de la contracción.

Sin embargo, existen confirmaciones indirectas de este efecto en un marco que no se mueve conjuntamente:

• Fue el resultado negativo de un famoso experimento, que requirió la introducción de la contracción de longitud: el experimento de Michelson-Morley (y más tarde también el experimento de Kennedy-Thorndike ). En relatividad especial su explicación es la siguiente: En su sistema de referencia en reposo el interferómetro puede considerarse en reposo de acuerdo con el principio de relatividad, por lo que el tiempo de propagación de la luz es el mismo en todas las direcciones. Aunque en un sistema en el que el interferómetro está en movimiento, el haz transversal debe recorrer un camino diagonal más largo con respecto al sistema inmóvil, lo que hace que su tiempo de viaje sea más largo, el factor por el cual el haz longitudinal se retrasaría tomando tiempos L /( c − v ) y L /( c + v ) para los viajes de ida y vuelta respectivamente es aún mayor. Por lo tanto, en la dirección longitudinal se supone que el interferómetro está contraído, para restablecer la igualdad de ambos tiempos de viaje de acuerdo con el resultado o resultados experimentales negativos. Por tanto, la velocidad bidireccional de la luz permanece constante y el tiempo de propagación de ida y vuelta a lo largo de los brazos perpendiculares del interferómetro es independiente de su movimiento y orientación.
• Dado el espesor de la atmósfera medido en el sistema de referencia de la Tierra, la vida útil extremadamente corta de los muones no debería permitirles hacer el viaje a la superficie, incluso a la velocidad de la luz, pero lo hacen de todos modos. Sin embargo, desde el sistema de referencia de la Tierra, esto solo es posible porque el tiempo del muón se ralentiza debido a la dilatación del tiempo . Sin embargo, en el sistema del muón, el efecto se explica por la contracción de la atmósfera, lo que acorta el viaje. ^[13]
• Los iones pesados ​​que son esféricos cuando están en reposo deberían asumir la forma de "panqueques" o discos planos cuando viajan casi a la velocidad de la luz —y , de hecho, los resultados obtenidos a partir de colisiones de partículas solo se pueden explicar cuando se considera la mayor densidad de nucleones debido a la contracción de la longitud. ^{[14] [15] [16]}
• La capacidad de ionización de partículas cargadas eléctricamente con grandes velocidades relativas es mayor de lo esperado. En la física prerrelativista, la capacidad debería disminuir a altas velocidades, porque el tiempo en el que las partículas ionizantes en movimiento pueden interactuar con los electrones de otros átomos o moléculas es menor; sin embargo, en la relatividad, la capacidad de ionización mayor de lo esperado puede explicarse por la contracción de la longitud del campo de Coulomb en los sistemas en los que se mueven las partículas ionizantes, lo que aumenta la intensidad de su campo eléctrico normal a la línea de movimiento. ^{[13] [17]}
• En los sincrotrones y láseres de electrones libres , se inyectan electrones relativistas en un ondulador , de modo que se genera radiación de sincrotrón . En el marco de referencia propio de los electrones, el ondulador se contrae, lo que conduce a un aumento de la frecuencia de radiación. Además, para averiguar la frecuencia medida en el marco de referencia del laboratorio, hay que aplicar el efecto Doppler relativista . Por tanto, solo con la ayuda de la contracción de la longitud y del efecto Doppler relativista se puede explicar la longitud de onda extremadamente pequeña de la radiación del ondulador. ^{[18] [19]}

En 1911, Vladimir Varićak afirmó que, según Lorentz, la contracción de la longitud se ve de manera objetiva, mientras que, según Einstein, es "solo un fenómeno aparente y subjetivo, causado por la manera en que regulamos nuestros relojes y medimos la longitud". ^{[20] [21]} Einstein publicó una refutación:

El autor ha expuesto injustificadamente una diferencia entre la opinión de Lorentz y la mía en lo que respecta a los hechos físicos . La cuestión de si la contracción de la longitud existe realmente o no es engañosa. No existe "realmente", en la medida en que no existe para un observador comóvil; aunque "realmente" existe, es decir , de tal manera que podría demostrarse en principio por medios físicos por un observador no comóvil. ^[22]

—Albert  Einstein, 1911

Einstein también argumentó en ese artículo que la contracción de la longitud no es simplemente el producto de definiciones arbitrarias sobre la forma en que se realizan las regulaciones del reloj y las mediciones de longitud. Presentó el siguiente experimento mental: Sean A'B' y A"B" los puntos finales de dos varillas de la misma longitud propia L ₀ , medidas en x' y x" respectivamente. Dejemos que se muevan en direcciones opuestas a lo largo del eje x*, considerado en reposo, a la misma velocidad con respecto a él. Los puntos finales A'A" se encuentran entonces en el punto A*, y B'B" se encuentran en el punto B*. Einstein señaló que la longitud A*B* es más corta que A'B' o A"B", lo que también puede demostrarse llevando una de las varillas al reposo con respecto a ese eje. ^[22]

Debido a la aplicación superficial de la fórmula de contracción, pueden ocurrir algunas paradojas. Algunos ejemplos son la paradoja de la escalera y la paradoja de la nave espacial de Bell . Sin embargo, esas paradojas se pueden resolver mediante una aplicación correcta de la relatividad de la simultaneidad. Otra paradoja famosa es la paradoja de Ehrenfest , que demuestra que el concepto de cuerpos rígidos no es compatible con la relatividad, lo que reduce la aplicabilidad de la rigidez de Born y muestra que para un observador co-rotante la geometría es de hecho no euclidiana .

La contracción de longitud se refiere a las mediciones de posición realizadas en momentos simultáneos según un sistema de coordenadas. Esto podría sugerir que si uno pudiera tomar una fotografía de un objeto en rápido movimiento, la imagen mostraría el objeto contraído en la dirección del movimiento. Sin embargo, estos efectos visuales son mediciones completamente diferentes, ya que una fotografía de este tipo se toma desde la distancia, mientras que la contracción de longitud solo se puede medir directamente en la ubicación exacta de los puntos finales del objeto. Varios autores, como Roger Penrose y James Terrell, demostraron que los objetos en movimiento generalmente no aparecen contraídos en longitud en una fotografía. ^[23] Este resultado fue popularizado por Victor Weisskopf en un artículo de Physics Today. ^[24] Por ejemplo, para un diámetro angular pequeño, una esfera en movimiento permanece circular y rota. ^[25] Este tipo de efecto de rotación visual se llama rotación de Penrose-Terrell. ^[26]

La contracción de longitud se puede derivar de varias maneras:

En un sistema de referencia inercial S, sean y los puntos finales de un objeto en movimiento. En este sistema, la longitud del objeto se mide, según las convenciones anteriores, determinando las posiciones simultáneas de sus puntos finales en . Mientras tanto, la longitud propia de este objeto, medida en su sistema de referencia en reposo S', se puede calcular utilizando la transformación de Lorentz. Transformar las coordenadas temporales de S a S' da como resultado tiempos diferentes, pero esto no es problemático, ya que el objeto está en reposo en S', donde no importa cuándo se midan los puntos finales. Por lo tanto, la transformación de las coordenadas espaciales es suficiente, lo que da: ^[7]${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .}$

Dado que , y estableciendo y , la longitud adecuada en S' está dada por${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$

${\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma \ \ .}$

( 1 )

Por lo tanto, la longitud del objeto, medida en el marco S, se contrae por un factor :${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma \ \ .}$

( 2 )

De la misma manera, según el principio de relatividad, un objeto que está en reposo en S también estará contraído en S'. Al intercambiar los signos y primos anteriores simétricamente, se deduce que

${\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma \ \ .}$

( 3 )

Así, un objeto en reposo en S, cuando se mide en S', tendrá la longitud contraída

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma \ \ .}$

( 4 )

Por el contrario, si el objeto se encuentra en S y se conoce su longitud propia, la simultaneidad de las mediciones en los puntos extremos del objeto debe considerarse en otro sistema S', ya que el objeto cambia constantemente su posición allí. Por lo tanto, deben transformarse tanto las coordenadas espaciales como las temporales: ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}}$

Calculando el intervalo de longitud y asumiendo una medición de tiempo simultánea y conectando la longitud adecuada , se obtiene lo siguiente:${\displaystyle \Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$${\displaystyle \Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0}$${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{aligned}}}$

La ecuación (2) da

${\displaystyle \Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}}$

que, al insertarlo en (1), demuestra que se convierte en la longitud contraída :${\displaystyle \Delta x'}$${\displaystyle L'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$.

Del mismo modo, el mismo método da un resultado simétrico para un objeto en reposo en S':

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$.

La contracción de la longitud también puede derivarse de la dilatación del tiempo , ^[28] según la cual la velocidad de un solo reloj "en movimiento" (que indica su tiempo propio ) es menor con respecto a dos relojes "en reposo" sincronizados (que indican ). La dilatación del tiempo se confirmó experimentalmente varias veces y se representa mediante la relación:${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }$

Supongamos que una varilla de longitud adecuada en reposo en y un reloj en reposo en se mueven uno a lo largo del otro con velocidad . Dado que, según el principio de relatividad, la magnitud de la velocidad relativa es la misma en ambos marcos de referencia, los respectivos tiempos de viaje del reloj entre los puntos finales de la varilla están dados por en y en , por lo tanto y . Al insertar la fórmula de dilatación del tiempo, la relación entre esas longitudes es:${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T=L_{0}/v}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T'_{0}=L'/v}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle L_{0}=Tv}$${\displaystyle L'=T'_{0}v}$

${\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }$.

Por lo tanto, la longitud medida en viene dada por${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$

Por lo tanto, dado que el tiempo de recorrido del reloj a través de la varilla es mayor en que en (dilatación del tiempo en ), la longitud de la varilla también es mayor en que en (contracción de la longitud en ). Del mismo modo, si el reloj estuviera en reposo en y la varilla en , el procedimiento anterior daría${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }$

Consideraciones geométricas adicionales muestran que la contracción de longitud puede considerarse un fenómeno trigonométrico , con analogía a cortes paralelos a través de un cuboide antes y después de una rotación en E ³ (ver la mitad izquierda de la figura a la derecha). Este es el análogo euclidiano de impulsar un cuboide en E ^1,2 . En este último caso, sin embargo, podemos interpretar el cuboide impulsado como la losa del mundo de una placa en movimiento.

Imagen : Izquierda: un cuboide rotado en el espacio euclidiano tridimensional E ³ . La sección transversal es más larga en la dirección de la rotación de lo que era antes de la rotación. Derecha: la losa del mundo de una placa delgada en movimiento en el espacio-tiempo de Minkowski (con una dimensión espacial suprimida) E ^1,2 , que es un cuboide potenciado . La sección transversal es más delgada en la dirección del impulso de lo que era antes del impulso. En ambos casos, las direcciones transversales no se ven afectadas y los tres planos que se encuentran en cada esquina de los cuboides son mutuamente ortogonales (en el sentido de E ^1,2 a la derecha y en el sentido de E ³ a la izquierda).

En la relatividad especial, las transformaciones de Poincaré son una clase de transformaciones afines que pueden caracterizarse como las transformaciones entre gráficos de coordenadas cartesianas alternativas en el espacio-tiempo de Minkowski correspondientes a estados alternativos de movimiento inercial (y diferentes opciones de un origen ). Las transformaciones de Lorentz son transformaciones de Poincaré que son transformaciones lineales (preservan el origen). Las transformaciones de Lorentz desempeñan el mismo papel en la geometría de Minkowski (el grupo de Lorentz forma el grupo de isotropía de las autoisometrías del espacio-tiempo) que desempeñan las rotaciones en la geometría euclidiana. De hecho, la relatividad especial se reduce en gran medida al estudio de un tipo de trigonometría no euclidiana en el espacio-tiempo de Minkowski, como lo sugiere la siguiente tabla:

• Preguntas frecuentes sobre física: ¿Se puede ver la contracción de Lorentz-Fitzgerald? O bien: La rotación de Penrose-Terrell; El granero y el poste