Longitud adecuada

La longitud propia ^[1] o longitud en reposo ^[2] es la longitud de un objeto en el marco de reposo del objeto .

La medición de longitudes es más complicada en la teoría de la relatividad que en la mecánica clásica . En la mecánica clásica, las longitudes se miden partiendo del supuesto de que las posiciones de todos los puntos implicados se miden simultáneamente. Pero en la teoría de la relatividad, la noción de simultaneidad depende del observador.

Un término diferente, distancia propia , proporciona una medida invariante cuyo valor es el mismo para todos los observadores.

La distancia propia es análoga al tiempo propio . La diferencia es que la distancia propia se define entre dos eventos separados por un espacio (o a lo largo de una trayectoria similar al espacio), mientras que el tiempo propio se define entre dos eventos separados por un tiempo (o a lo largo de una trayectoria similar al tiempo).

La longitud propia ^[1] o longitud en reposo ^[2] de un objeto es la longitud del objeto medida por un observador que se encuentra en reposo con respecto a él, aplicando varas de medición estándar sobre el objeto. La medición de los puntos finales del objeto no tiene por qué ser simultánea, ya que los puntos finales están constantemente en reposo en las mismas posiciones en el sistema de referencia en reposo del objeto, por lo que es independiente de Δ t . Esta longitud viene dada por:

${\displaystyle L_{0}=\Delta x.}$

Sin embargo, en sistemas de referencia que se mueven relativamente, los puntos finales del objeto deben medirse simultáneamente, ya que cambian constantemente de posición. La longitud resultante es menor que la longitud en reposo y se obtiene mediante la fórmula de contracción de longitud ( siendo γ el factor de Lorentz ):

${\displaystyle L={\frac {L_{0}}{\gamma }}.}$

En comparación, la distancia propia invariante entre dos eventos arbitrarios que ocurren en los puntos finales del mismo objeto está dada por:

${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.}$

Por lo tanto, Δ σ depende de Δ t , mientras que (como se explicó anteriormente) la longitud en reposo del objeto L ₀ se puede medir independientemente de Δ t . De ello se deduce que Δ σ y L ₀ , medidas en los puntos finales del mismo objeto, solo coinciden entre sí cuando los eventos de medición fueron simultáneos en el marco de reposo del objeto, de modo que Δ t es cero. Como explicó Fayngold: ^[1]

p. 407: "Obsérvese que la distancia propia entre dos eventos no es generalmente la misma que la longitud propia de un objeto cuyos puntos finales coinciden respectivamente con estos eventos. Consideremos una varilla sólida de longitud propia constante l ₀ . Si usted está en el sistema de reposo K ₀ de la varilla, y quiere medir su longitud, puede hacerlo marcando primero sus puntos finales. Y no es necesario que los marque simultáneamente en K ₀ . Puede marcar un extremo ahora (en un momento t ₁ ) y el otro extremo más tarde (en un momento t ₂ ) en K ₀ , y luego medir tranquilamente la distancia entre las marcas. Incluso podemos considerar dicha medición como una posible definición operativa de longitud propia. Desde el punto de vista de la física experimental, el requisito de que las marcas se hagan simultáneamente es redundante para un objeto estacionario con forma y tamaño constantes, y en este caso puede eliminarse de dicha definición. Dado que la varilla está estacionaria en K ₀ , la distancia entre las marcas es la longitud propia de la varilla independientemente del lapso de tiempo entre las dos marcas. Marcas. Por otra parte, no es la distancia adecuada entre los eventos de marcado si las marcas no se hacen simultáneamente en K ₀ ."

En relatividad especial , la distancia adecuada entre dos eventos separados en un espacio similar es la distancia entre los dos eventos, medida en un marco de referencia inercial en el que los eventos son simultáneos. ^{[3] [4]} En un marco tan específico, la distancia está dada por

$${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},}$$

dónde

• Δ x , Δ y y Δ z son diferencias en las coordenadas espaciales lineales y ortogonales de los dos eventos.

La definición se puede dar de manera equivalente con respecto a cualquier marco de referencia inercial (sin requerir que los eventos sean simultáneos en ese marco) mediante

$${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},}$$

dónde

• Δ t es la diferencia en las coordenadas temporales de los dos eventos, y
• c es la velocidad de la luz .

Las dos fórmulas son equivalentes debido a la invariancia de los intervalos espacio-temporales y dado que Δ t = 0 exactamente cuando los eventos son simultáneos en el marco dado.

Dos eventos están separados espacialmente si y solo si la fórmula anterior da un valor real distinto de cero para Δ σ .

La fórmula anterior para la distancia adecuada entre dos eventos supone que el espacio-tiempo en el que ocurren los dos eventos es plano. Por lo tanto, la fórmula anterior no se puede utilizar en general en la relatividad general , en la que se consideran los espacio-tiempos curvos. Sin embargo, es posible definir la distancia adecuada a lo largo de una trayectoria en cualquier espacio-tiempo, curvo o plano. En un espacio-tiempo plano, la distancia adecuada entre dos eventos es la distancia adecuada a lo largo de una trayectoria recta entre los dos eventos. En un espacio-tiempo curvo, puede haber más de una trayectoria recta ( geodésica ) entre dos eventos, por lo que la distancia adecuada a lo largo de una trayectoria recta entre dos eventos no definiría de forma única la distancia adecuada entre los dos eventos.

A lo largo de una trayectoria espacial arbitraria P , la distancia adecuada se da en sintaxis tensorial mediante la integral de línea

$${\displaystyle L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},}$$

dónde

• g _μν es el tensor métrico para el espacio-tiempo actual y el mapeo de coordenadas , y
• dx ^μ es la separación de coordenadas entre eventos vecinos a lo largo de la ruta P .

En la ecuación anterior, se supone que el tensor métrico utiliza la firma métrica y se supone que está normalizado para devolver un tiempo en lugar de una distancia. El signo − en la ecuación debe eliminarse con un tensor métrico que en su lugar utilice la firma métrica. Además, debe eliminarse con un tensor métrico que esté normalizado para utilizar una distancia o que utilice unidades geometrizadas .+−−− −+++${\displaystyle c}$

• Intervalo invariante
• Tiempo apropiado
• Distancia de comovimiento
• Relatividad de la simultaneidad